Для доказательства некоторых тождеств гл. 9, связанных с интегрированием по частям, нам понадобится аппроксимация экспоненты $e^{-: P(\varphi, f):}$ функцией, зависящей лишь от конечного числа переменных. Существенным шагом при этом является конструкция из $\$ 8.6$, где функция $e^{-: P(\varphi, f):}$ аппроксимирована экспонентой $e^{-: P\left(\varphi_{x}, f\right):}$. Далее мы приблизим набор функций $f$ функциями класса $C_{0}^{\infty}$, а затем аппоксимируем риманов интеграл в определении $: P\left(\varphi_{\varkappa}, f\right)$ : римановой интегральной суммой. Другую конечномерную аппоксимацию, основанную на разностной (решеточной) аппроксимации оператора Лапласа, мы изложим в § 9.5-6. Переход к разностному оператору сохраняет ферромагнитное свойство оператора Лапласа, а оно очень полезно при доказательстве коррөляционных неравенств.

Пусть $\chi_{\Lambda}$ – характеристическая функция множества $\Lambda=$ $=\operatorname{supp} f_{n} ;$ положим
\[
f_{i, \lambda}=\chi_{\Lambda}\left(f_{j}=\delta_{\lambda}\right), \quad f_{\lambda}=\left\{f_{j, \lambda}: j=0, \ldots, n\right\},
\]

где $\delta_{\lambda}$ определено формулой (7.1.5). Тогда $f_{\lambda} \rightarrow f$ при $\lambda \rightarrow \infty$ в пространстве $L_{p}$ для некоторого $p>1$, а также $N\left(f_{\lambda}\right) \rightarrow N(f)$ (см. $(8.6 .5))$. Пусть $P^{(\delta, \lambda, \varkappa)}$ – аппроксимация интеграла $: P\left(\varphi_{x}, f_{\lambda}\right): c$ римановыми суммами, т. е.
\[
P^{(\delta, \lambda, x)}=\delta^{2} \sum_{j=0}^{n} \sum_{x \in \delta Z^{2}}: \varphi_{x}(x)^{l}:_{c} f_{j, \lambda}(x) .
\]

Предложение 8.7.1. Для любого $C \in \mathscr{B}$ и любого $1 \leqslant p<\infty$ существует следующий двойной предел в пространстве $L_{p}\left(d \varphi_{C}\right)$ :
\[
\lim _{\lambda \rightarrow \infty} \lim _{\delta \rightarrow \infty} P^{(\delta, \lambda, x)}=: P\left(\varphi_{x}, f\right): c .
\]

Замечание. Сходимость при $x \rightarrow \infty$ была установлена в теореме 8.5.3.

Доказательство. Пусть $f_{\lambda, 0}$ – семейство $\delta$-функций, выбранных, как в (8.7.2), так чтобы
\[
P^{(\delta, \lambda, x)}=: P\left(\varphi_{\varkappa}, f_{\lambda, \delta}\right): c^{*}
\]

Как и в доказательстве теоремы 8.5.3, $L_{p}$-сходимость полиномов $P^{(\delta, \lambda, x)}$ сводится к сходимости
\[
\left\langle f_{j}, \lambda, \delta, C_{w}^{I} f_{j, \lambda, \delta}\right\rangle \rightarrow\left\langle f_{j}, C_{x}^{f} f_{j}\right\rangle .
\]

Предел при $\delta \rightarrow 0$ в соотношении (8.7.3) существует по определению интеграла Римана, а сходимость при $\lambda \rightarrow \infty$ следует из $L_{p}$-сходимости последовательности $\hat{f}$, так как функции $C_{x}$ и $C_{\chi}^{j}$ принадлежат пространству $L_{\infty}$.

Предложение 8.7.2. Для определенной выше последовательности $P^{(\delta, \lambda, x)}$ при любом $1 \leqslant p<\infty$ в пространстве $L_{p}\left(d \varphi_{c}\right)$ существуют предельы
\[
\lim _{x \rightarrow \infty} \lim _{\lambda \rightarrow \infty} \lim _{\delta \rightarrow 0} \exp \left(-P^{(\delta, \lambda, x)}\right)=\exp \left(-: P(\varphi, f):_{C}\right) .
\]

Доказательство. Қак следует из теоремы 8.6 .2 и ее доказательства, экспонента $\exp \left(-P^{(\delta, \lambda, x)}\right)$ при фиксированных $\lambda$ и $\%$ ограничена в $L_{p}$ равномерно по $\delta$. В силу неравенства Шварца, то же самое верно и для интерполяции экспоненты
\[
\exp \left(-P^{(t)}\right)=\exp \left[-t P^{(\delta, \lambda, x)}-(1-t) P^{(0, \lambda, x)}\right]
\]

при $0 \leqslant t \leqslant 1$. Сходимость в пространстве $L_{p}$ вытекает из следующей цепочки неравенств:
\[
\begin{array}{c}
\left\|e^{-P^{(0)}}-e^{-P^{(1)}}\right\|_{L_{p}} \leqslant \int_{0}^{1}\left\|\frac{d}{d t} e^{-P^{(t)}}\right\|_{L_{p}} \leqslant \sup _{t}\left\|\frac{d}{d t} e^{-P^{(t)}}\right\|_{L_{p}}= \\
=\sup _{t}\left\|\left(P^{(0)}-P^{(1)}\right) e^{-P^{(t)}}\right\|_{L_{p}} \leqslant\left\|P^{(0)}-P^{(1)}\right\|_{L_{2 p}} \sup _{t}\left\|e^{-P^{(t)}}\right\|_{L_{2 p}} .
\end{array}
\]

В силу сделанных замечаний, второй сомножитель ограничен равномерно по $\delta$, а первый сходится по предложению 8.7.1. Пределы при $\lambda \rightarrow \infty$ и $x \rightarrow \infty$ рассматриваются аналогично.

Предложение 8.7.3. Определим формальные производные
\[
\begin{aligned}
\langle v, \delta / \delta \varphi\rangle & =\int v(x)(\delta / \delta \varphi(x)) d x, \\
\Delta_{w} \equiv\left\langle\frac{\delta}{\delta \varphi}, w \frac{\delta}{\delta \varphi}\right\rangle & =\int w(x, y) \frac{\delta^{2}}{\delta \varphi(x) \delta \varphi(y)} d x d y,
\end{aligned}
\]

действующие на полиномы $R(\varphi)$ от $\varphi$. Тогда для введенных выше полиномов $P^{(\delta, \lambda, к)} u: P(\varphi, f): c \equiv: P:$ и непрерывных функций $v$ и ш с компактными носителями существуют пределы в $L_{p}$ для всех $1 \leqslant p<\infty$ :
\[
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow \infty} \lim _{\lambda \rightarrow \infty} \lim _{\delta \rightarrow 0}\left\langle v, \frac{\delta}{\delta \varphi}\right\rangle P^{(\delta, \lambda, x)} & =\left\langle v, \frac{\delta}{\delta \varphi}\right\rangle: P: \\
\lim _{x \rightarrow \infty} \lim _{\lambda \rightarrow \infty} \lim _{\delta \rightarrow 0} \Delta_{w} P^{(\delta, \lambda, x)} & =\Delta_{w}: P: .
\end{aligned}
\]

Доказательство аналогично доказательству предложения 8.7.1, причем следует. применить теорему 8.5.3.

Замечание. В предложениях 8.7.1 и 8.7.3 $P$ могут быть и неограниченными снизу. Кроме того, если считать в последних трех предложениях полиномы $P$ различными, то в результате получим следующие пределы:
\[
\left(\partial R^{(\delta, \lambda, x)}\right) e^{-P^{(\delta, \lambda, ~ x)}} \rightarrow(\partial R) e^{-: P ;},
\]

где $\partial=I, \delta / \delta \varphi$ или $\delta^{2} / \delta \varphi \delta \varphi$.