Статистическое поведение семейства случайных величин $\xi_{i}$, описанное в гл. 2, следует из условия слабой зависимости: величина $\xi_{i}$ должна быть почти независима от остальных $\xi_{j}$, за исключением конечного числа. Это свойство выполняется для короткодействующих устойчивых взаимодействий, рассмотренных в гл. 2. Обсудим теперь другие различия между слабыми и сильными взаимодействиями. Слабое взаимодействие означает, что любая величина $\xi_{i}$ почти независима от всех $\xi_{i}, j
eq i$, в то время как для систем с сильным взаимодействием имеется существенная зависимость $\xi_{l}$ от конечного числа $\xi_{j} j
eq i$. Случай слабого взаимодействия изучается с помощью кластерных разложений наподобие рассмотренных в гл. 2 и может рассматриваться как возмущение невзаимодействующей модели, т. е. модели, в которой мера равна бесконечному произведению мер.

Модель Изинга и решеточные модели теории поля, введенные в гл. 2, описывают кооперативные явления. Каждая из случайных величин $\xi_{i}$ влияет на соседние так, чтобы уравнять их: $\left(\xi_{i}-\xi_{i+\varepsilon_{v}}\right)^{2} \approx 0$. Если это влияние достаточно сильное (случай низких температур или больших $\beta$ в (2.3.5)), то общая тенденция к выравниванию может привести к совпадению всех $\xi_{i}$. Предположим далее, что $\xi_{i}= \pm 1$ и оба значения равновероятны (как

в $(2.3 .2),(2.3 .5))$. В этом случае картина подавляющего совпадения спиновых переменных: $\xi_{i} \approx 1$ при всех $i$ или $\xi_{i} \approx-1$ при всех $i$ — не является единственно возможной и предельная мера $d \mu$ зависит от характера предельного перехода $\Lambda \uparrow R^{d}$
\[
d \mu=\alpha d \mu^{+}+(1-\alpha) d \mu^{-}, \quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 1,
\]

что и означает существование фазового перехода. Здесь меры $d \mu^{ \pm}$ являются чистыми фазами в том смысле, что для множества конфигураций, имеющего полную меру относительно $d \mu^{+}\left(d \mu^{-}\right), \xi_{i} \approx$ $\approx+1(-1)$ при почти всех $i$, или, иначе говоря,
\[
\left\langle\xi_{i}\right\rangle_{+} \equiv \int \xi_{i} d \mu^{+}>0,
\]

и аналогично $\left\langle\xi_{i}\right\rangle_{-}<0$. С математической точки зрения соотношение (5.1.1) означает, что мера $d \mu$ разложена на эргодические компоненты $d \mu^{+}$и $d \mu^{-}$. Чистые фазы $d \mu^{ \pm}$являются крайними точками некоторого выпуклого множества мер и в определенном смысле неразложимы. (Разложение на чистые фазы изучается в гл. 18.)

С понятием чистых фаз связаны следующие два вопроса. Более простой вопрос, обсуждаемый в этом параграфе: является ли мера, определенная для системы в бесконечном объеме, чистой или смешанной фазой, т. е. можно ли эту меру разложить, как в (5.1.1)? Другой вопрос, тесно связанный с первым, касается того, происходит или нет при заданном множестве значений параметров (т. е. $\left.\beta, P_{\text {в }}(2.3 .1-5)\right)$ фазовый переход (см. $\S 5.2$ и 16.1 ).

Мы приведем три критерия, характеризующие чистые фазы. Первый критерий состоит в том, что чистая фаза $d \mu$ эргодична относительно группы трансляций решетки. Второй критерий состоит в том, что функция 1 является единственной собственной функцией трансфер-матрицы с собственным значением 1. Трансфер-матрица строится в гл. 6, а эквивалентность двух критериев (для непрерывных полей) доказана в $§ 19.7$.

Во многих случаях эффективен более простой критерий. Этот критерий связан с исследованием поведения парной корреляционной функции
\[
\begin{array}{c}
\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle^{T} \equiv \int \xi_{i} \xi_{j} d \mu-\int \xi_{i} d \mu \int \xi_{j} d \mu=\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle-\left\langle\xi_{i}\right\rangle\left\langle\xi_{j}\right\rangle= \\
=\left\langle\left(\xi_{i}-\left\langle\xi_{i}\right\rangle\right)\left(\xi_{j}-\left\langle\xi_{j}\right\rangle\right)\right\rangle .
\end{array}
\]

Физический смысл (5.1.3) становится понятным в терминах отклонений $\delta$ переменных $\xi$ от их средних значений: $\delta_{i} \equiv \xi_{l}-\left\langle\xi_{i}\right\rangle$. В них парная корреляционная функция имеет вид
\[
\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle^{T}=\left\langle\delta_{i} \delta_{j}\right\rangle
\]

и характеризует совместное распределение флуктуаций в узлах $i$ и ј. Рассмотрим в качестве примера меру (5.1.1). Для чистых фаз

$d \mu^{ \pm}$имеем
\[
\begin{array}{c}
0< \pm\left\langle\xi_{i}\right\rangle_{ \pm}= \pm \int \xi_{l} d \mu^{ \pm}= \pm M_{ \pm}=M \\
\text { и } \lim _{|i-j| \rightarrow \infty}\left(\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle_{ \pm}-\left\langle\xi_{l}\right\rangle_{ \pm}\left\langle\xi_{j}\right\rangle_{ \pm}\right)=0 .
\end{array}
\]

Следовательно, $\left\langle\xi_{i}\right\rangle=-M(1-2 \alpha)$ и

поэтому
\[
\lim _{|i-j| \rightarrow \infty}\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle=\alpha M_{+}^{2}+(1-\alpha) M_{-}^{2}=M^{2},
\]
\[
\lim _{|i-j| \infty}\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle^{T}=4 \alpha(1-\alpha) M^{2} .
\]

Таким образом, (5.1.5) принимает максимальное значение при $\alpha=1 / 2$ и обращается в нуль только в случаях чистых фаз $\alpha=$ $=0$. 1 .

В $\S 16.1$ мы покажем, что обращение в нуль $\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle^{T}$ при $|i-j|=\infty$ является необходимым, а часто и достаточным условием для того, чтобы мера $d \mu$ была чистой фазой.

В статистической механике смешанные состояния имеют физический смысл (например, смесь льда и воды), в то время как в квантовой теории поля экспериментальные факты свидетельствуют о единственности вакуума.