Главная > МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ (Дж.Глимм, А.Джаффе)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Статистическое поведение семейства случайных величин $\xi_{i}$, описанное в гл. 2, следует из условия слабой зависимости: величина $\xi_{i}$ должна быть почти независима от остальных $\xi_{j}$, за исключением конечного числа. Это свойство выполняется для короткодействующих устойчивых взаимодействий, рассмотренных в гл. 2. Обсудим теперь другие различия между слабыми и сильными взаимодействиями. Слабое взаимодействие означает, что любая величина $\xi_{i}$ почти независима от всех $\xi_{i}, j
eq i$, в то время как для систем с сильным взаимодействием имеется существенная зависимость $\xi_{l}$ от конечного числа $\xi_{j} j
eq i$. Случай слабого взаимодействия изучается с помощью кластерных разложений наподобие рассмотренных в гл. 2 и может рассматриваться как возмущение невзаимодействующей модели, т. е. модели, в которой мера равна бесконечному произведению мер.

Модель Изинга и решеточные модели теории поля, введенные в гл. 2, описывают кооперативные явления. Каждая из случайных величин $\xi_{i}$ влияет на соседние так, чтобы уравнять их: $\left(\xi_{i}-\xi_{i+\varepsilon_{v}}\right)^{2} \approx 0$. Если это влияние достаточно сильное (случай низких температур или больших $\beta$ в (2.3.5)), то общая тенденция к выравниванию может привести к совпадению всех $\xi_{i}$. Предположим далее, что $\xi_{i}= \pm 1$ и оба значения равновероятны (как

в $(2.3 .2),(2.3 .5))$. В этом случае картина подавляющего совпадения спиновых переменных: $\xi_{i} \approx 1$ при всех $i$ или $\xi_{i} \approx-1$ при всех $i$ – не является единственно возможной и предельная мера $d \mu$ зависит от характера предельного перехода $\Lambda \uparrow R^{d}$
\[
d \mu=\alpha d \mu^{+}+(1-\alpha) d \mu^{-}, \quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 1,
\]

что и означает существование фазового перехода. Здесь меры $d \mu^{ \pm}$ являются чистыми фазами в том смысле, что для множества конфигураций, имеющего полную меру относительно $d \mu^{+}\left(d \mu^{-}\right), \xi_{i} \approx$ $\approx+1(-1)$ при почти всех $i$, или, иначе говоря,
\[
\left\langle\xi_{i}\right\rangle_{+} \equiv \int \xi_{i} d \mu^{+}>0,
\]

и аналогично $\left\langle\xi_{i}\right\rangle_{-}<0$. С математической точки зрения соотношение (5.1.1) означает, что мера $d \mu$ разложена на эргодические компоненты $d \mu^{+}$и $d \mu^{-}$. Чистые фазы $d \mu^{ \pm}$являются крайними точками некоторого выпуклого множества мер и в определенном смысле неразложимы. (Разложение на чистые фазы изучается в гл. 18.)

С понятием чистых фаз связаны следующие два вопроса. Более простой вопрос, обсуждаемый в этом параграфе: является ли мера, определенная для системы в бесконечном объеме, чистой или смешанной фазой, т. е. можно ли эту меру разложить, как в (5.1.1)? Другой вопрос, тесно связанный с первым, касается того, происходит или нет при заданном множестве значений параметров (т. е. $\left.\beta, P_{\text {в }}(2.3 .1-5)\right)$ фазовый переход (см. $\S 5.2$ и 16.1 ).

Мы приведем три критерия, характеризующие чистые фазы. Первый критерий состоит в том, что чистая фаза $d \mu$ эргодична относительно группы трансляций решетки. Второй критерий состоит в том, что функция 1 является единственной собственной функцией трансфер-матрицы с собственным значением 1. Трансфер-матрица строится в гл. 6, а эквивалентность двух критериев (для непрерывных полей) доказана в $§ 19.7$.

Во многих случаях эффективен более простой критерий. Этот критерий связан с исследованием поведения парной корреляционной функции
\[
\begin{array}{c}
\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle^{T} \equiv \int \xi_{i} \xi_{j} d \mu-\int \xi_{i} d \mu \int \xi_{j} d \mu=\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle-\left\langle\xi_{i}\right\rangle\left\langle\xi_{j}\right\rangle= \\
=\left\langle\left(\xi_{i}-\left\langle\xi_{i}\right\rangle\right)\left(\xi_{j}-\left\langle\xi_{j}\right\rangle\right)\right\rangle .
\end{array}
\]

Физический смысл (5.1.3) становится понятным в терминах отклонений $\delta$ переменных $\xi$ от их средних значений: $\delta_{i} \equiv \xi_{l}-\left\langle\xi_{i}\right\rangle$. В них парная корреляционная функция имеет вид
\[
\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle^{T}=\left\langle\delta_{i} \delta_{j}\right\rangle
\]

и характеризует совместное распределение флуктуаций в узлах $i$ и ј. Рассмотрим в качестве примера меру (5.1.1). Для чистых фаз

$d \mu^{ \pm}$имеем
\[
\begin{array}{c}
0< \pm\left\langle\xi_{i}\right\rangle_{ \pm}= \pm \int \xi_{l} d \mu^{ \pm}= \pm M_{ \pm}=M \\
\text { и } \lim _{|i-j| \rightarrow \infty}\left(\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle_{ \pm}-\left\langle\xi_{l}\right\rangle_{ \pm}\left\langle\xi_{j}\right\rangle_{ \pm}\right)=0 .
\end{array}
\]

Следовательно, $\left\langle\xi_{i}\right\rangle=-M(1-2 \alpha)$ и

поэтому
\[
\lim _{|i-j| \rightarrow \infty}\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle=\alpha M_{+}^{2}+(1-\alpha) M_{-}^{2}=M^{2},
\]
\[
\lim _{|i-j| \infty}\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle^{T}=4 \alpha(1-\alpha) M^{2} .
\]

Таким образом, (5.1.5) принимает максимальное значение при $\alpha=1 / 2$ и обращается в нуль только в случаях чистых фаз $\alpha=$ $=0$. 1 .

В $\S 16.1$ мы покажем, что обращение в нуль $\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle^{T}$ при $|i-j|=\infty$ является необходимым, а часто и достаточным условием для того, чтобы мера $d \mu$ была чистой фазой.

В статистической механике смешанные состояния имеют физический смысл (например, смесь льда и воды), в то время как в квантовой теории поля экспериментальные факты свидетельствуют о единственности вакуума.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru