Рассмотрим две однопараметрические группы операторов $e^{t A}$ и $e^{t B}$, действующие в гильбертовом пространстве $\mathscr{C}$, инфинитезимальные генераторы которых равны соответственно $A$ и $B$. Если операторы $A$ и $B$ ограничены, то при помощи формулы Ли из двух данных групп можно построить группу $e^{t(A+B)}$.
Теорема 3.2.1. Для ограниченных операторов $A$ и $B$
\[
e^{A+B}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(e^{A / n} e^{B / n}\right)^{n} .
\]

Доказательство. Пусть $C=e^{(A+B) / n}, D=e^{A / n} e^{B / n}$. Мы покажем, что если $n \rightarrow \infty$, то $\left\|C^{n}-D^{n}\right\| \rightarrow 0$. Действительно,
\[
\left\|C^{n}-D^{n}\right\|=\left\|\sum_{m=0}^{n-1} C^{m}(C-D) D^{n-m-1}\right\| \leqslant \mathrm{const} \cdot n\|C-D\|, ?
\]

где использована оценка $\|C\|,\|D\| \leqslant \exp \left[\frac{\|A\|+\|B\|}{n}\right] \leqslant$ const $^{1 / n}$. Далее,
\[
\|C-D\| \leqslant \text { const } \cdot n^{-2},
\]

так как при разложении в степенной ряд $C-D=e^{(A+B) / n}-e^{A / n} e^{B / n}$ члены ну* левого и первого порядков взаимно уничтожаются. Подстановка (3.2.3) в (3.2.2) завершает доказательство.
Если $A$ и $B$ не ограничены, доказательство формулы (3.2.1) требует дополнительных предположений. Мы сформулируем одну из теорем для этого случая.
Теорема 3.2.2. Пусть операторы $H_{0}, V$ ограничены снизу и существенно-самосопряжены, а оператор $H=H_{0}+V$ также существенносамосопряжен. Тогда
\[
e^{-H}=\mathrm{s} . \lim _{n \rightarrow \infty}\left(e^{-H_{0} / n} e^{-V / n}\right)^{n} .
\]

Мы установим формулу Фейнмана – Қаца
\[
\mathscr{K}_{t}\left(q, q^{\prime}\right) \equiv\left(\text { ядро } e^{-t H}\right)\left(q, q^{\prime}\right)=\int \exp \left(-\int_{-t / 2}^{t / 2} V(q(s)) d s\right) d W_{q, q^{\prime}}^{t}
\]

для $H=H_{0}+V=-\frac{1}{2} \Delta+V$. Чтобы упростить доказательство, будем считать потенциал $V(q)$ достаточно регулярной функцией. Для потенциалов более общего вида формулу (3.2.5) можно получить при помощи подходящего предельного перехода. Заметим, что при вещественном $V$ из формулы Фенмана-Каца следует, что $\mathscr{K}_{t}\left(q, q^{\prime}\right)>0$.
Теорема 3.2.3. Пусть $V(q)$ – непрерывная ограниченная снизу вещественная функция на $R^{d}$, а оператор $H=-\frac{1}{2} \Delta+V$ существенно-самосопряжен. Тогда ядро $\mathscr{K}_{t}\left(q, q^{\prime}\right)$ оператора $e^{-t н}$ выражается формулой (3.2.5).
Замечание. Для $V \in L_{p}\left(R^{d}\right), p>d / 2$ из неравенства Соболева следует, что $V$ является возмущением оператора $\Delta$, удовлетворяющим условию Като $^{1}$ ), и, таким образом, $H$ существенно-самосопряжен. Если же $V$ – ограниченный снизу полином, то $H$ также существенно-самосопряжен.
Доказательство. По теореме 3.2.2
\[
e^{-t H}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(e^{-t H_{0} / n} e^{-t V / n}\right)^{n},
\]

где $H_{0}=-\frac{1}{2} \Delta$. Из следствия 3.1.2 вытекает, что
\[
\text { ядро } \left.\left(e^{-t H_{0} / n} e^{-t V / n}\right)^{n}\left(q, q^{\prime}\right)\right)=\int \exp \left[-\frac{t}{n} \sum_{j=1}^{n} V\left(q\left(-\frac{t}{2}+\frac{j t}{n}\right)\right)\right] d W_{q, q^{\prime}}^{t} \text {. }
\]

В силу (3.2.6) ядро в левой части (3.2.7) при $n \rightarrow \infty$ сходится к $\mathscr{K}_{t}\left(q, q^{\prime}\right)$ в смысле сходимости обобщенных функций. Далее, так как $V(q(s))$ интегрируема по Ри-
1) То есть выполнено неравенство $\|V \varphi\| \leqslant a\|\Delta \varphi\|+b\|\varphi\|$ для любои функции $\varphi \in D(\Delta) \subset L_{2}\left(R^{3}\right)$, где $0<a<1$ и $b>0$. Это неравенство влечет за собой самосопряженность $H=-\Delta+V$ (см. [Reed, Simon, 1972-1979, v. 2]). Прим. ред.

ману, то в пространстве траекторий имеет место поточечная сходимость
\[
\frac{t}{n} \sum_{j=1}^{n} V\left(q\left(-t / 2+\frac{j t}{n}\right)\right) \rightarrow \int_{-t / 2}^{t / 2} V(q(s)) d s .
\]

Поэтому подынтегральное выражение в правой части (3.2.7) сходится поточечно $к \exp \left[-\int_{-t / 2}^{t / 2} V(q(s)) d s\right]$. Так как функция $V(q)$ ограничена снизу, то подынтегральное выражение равномерно по $n$ ограничено сверху константой, которая интегрируема по $d W_{q, q^{\prime}}^{t}$. Применяя теорему Лебега о мажорированной сходимости, получаем, что (3.2.7) сходится к (3.2.5) при $n \rightarrow \infty$.

Рассмотрим далее две модификации формулы Фейнмана — Каца (3.2.5). В этом параграфе мы выбираем гамильтониан $H_{0}$ более общего вида и получим более общий класс ядер $\mathscr{H}_{t}^{0}\left(q, q^{\prime}\right)$ и более общую меру на пространстве траекторий, чем мера Винера. В $\$ 3.4$ мы установим формулу, выражающую в виде интегралов по пространству траекторий среднее по основному состоянию $\Omega$ гамильтониана $H$.

Первое обобщение заключается в замене $H_{0}=-\frac{1}{2} \Delta$ эллиптическим оператором второго порядка $H_{0}=-\frac{1}{2} \Delta+V$ (то, что $H_{0}$ является эллиптическим оператором второго порядка, следует из положительности ядра оператора $e^{-t H_{0}}$ ). Мы могли бы, например, заменить $\mathscr{K}_{t}^{0}\left(q, q^{\prime}\right)$ ядром $\mathscr{K}_{t}\left(q, q^{\prime}\right)$, задаваемым формулой (3.2.5). Однако часто бывает желательно, чтобы сам оператор $H_{0}$ приводил к точно решаемой задаче и индуцировал гауссову меру на проетранстве траекторий, наиболее удобную в вычислениях. Типичным примером является гамильтониан $H_{0}=-\frac{1}{2} \Delta+\frac{1}{2} q^{2}-$ $-\frac{1}{2}$, подробно рассмотренный в $\S 1.3$. С этим гамильтонианом ассоцируется диффузионный процесс, так называемый процесс скоростей Орнштейна – Уленбека, для которого ядро $\mathscr{K}_{t}^{0}\left(q, q^{\prime}\right)$ выражается формулой Мелера (1.5.26). Для процесса скоростей Орнштейна – Уленбека остаются справедливыми аналоги теоремы 3.1.1 и следствия 3.1.2. Пусть $d U_{q, q^{\prime}}^{t}$ обозначает меру на $\mathscr{P}\left(q, q^{\prime}, t\right)$, построенную тем же методом, что и мера Винера, только с помощью ядра Мелера. Тогда формула Фейнмана-Каца для $H_{0}=-\frac{1}{2} \Delta+\frac{1}{2} q^{2}-\frac{1}{2}, H=H_{0}+V$, запишется в виде
\[
\mathscr{K}_{t}\left(q, q^{\prime}\right)=\left(\text { ядро } e^{-t H}\left(q, q^{\prime}\right)\right)=\int \exp \left(-\int_{-t / 2}^{t / 2} V(q(s)) d s\right) d U_{q, q^{\prime}}^{t} .
\]

Перейдем ко второму обобщению формулы (3.2.5). Пусть $\Omega_{0}(q)$ – основное состояние (вакуумный вектор) гамильтониана $H_{0}=-\frac{1}{2} \Delta+\frac{1}{2} q^{2}-\frac{1}{2}$. В случае $d=1$ вектор $\Omega_{0}(q)$ выражается
формулой (1.5.8), а в случае $d>1$ – с помощью ее естественного обобщения: $\Omega_{0}(q)=\prod_{i=1}^{d} \Omega_{0}\left(q_{i}\right), q \in R^{d}$. Пусть
\[
d \varphi_{0}=\int_{R^{d} \times R^{d}} \Omega_{0}(q) \Omega_{0}\left(q^{\prime}\right) d U_{q, q^{\prime}}^{t} .
\]

Мера $d \varphi_{0}$ определена на всех непрерывных траекториях $q(s)$, $s \in(-t / 2, t / 2)$. Таким образом, если $-t / 2<t_{1} \leqslant t_{2} \ldots \leqslant t_{n}<$ $<t / 2$ и $A_{i}(q)$ – ограниченные функции $q$, то
\[
\int \prod_{i=1}^{n} A_{i}\left(q\left(t_{i}\right)\right) d \varphi_{0}=\left\langle\Omega_{0}, A_{1} e^{-\left(t_{2}-t_{1}\right) H_{0}} A_{2} \ldots A_{n} \Omega_{0}\right\rangle .
\]

Так как интеграл (3.2.10) не зависит от $t$, мы можем распространить меру $d \varphi_{0}$ на множество непрерывных траекторий $q(s)$, определенных на произвольном конечном интервале значений $s$. Простые вычисления показывают, что мера $d \varphi_{0}$ гауссова. Согласно предложениям $\S 1.5$,
\[
\begin{aligned}
\int q\left(t_{1}\right) d \varphi_{0} & =\left\langle\Omega_{0}, q \Omega_{0}\right\rangle=0, \\
\int q\left(t_{1}\right) q\left(t_{2}\right) d \varphi_{0} & =\left\langle\Omega_{0}, q e^{-\left|t_{1}-t_{2}\right| H_{0}} q \Omega_{0}\right\rangle=e^{\left|t_{1}-t_{2}\right|}\left\langle\Omega_{0}, q^{2} \Omega_{0}\right\rangle=\frac{1}{2} e^{-\left|t_{1}-t_{2}\right|} .
\end{aligned}
\]

Обозначим вещественное скалярное произведение $\langle q, f\rangle$ через $q(f)=\int q(s) f(s) d s$. Будем считать, что вещественная функция $f$ гладкая и имеет компактный носитель. Аппроксимируя интеграл $q(f)$ римановой интегральной суммой и воспользовавшись тем фактом, что преобразование Фурье функции $e^{-\left.\right|^{t \mid}}$ равно const $\left(1+E^{2}\right)^{-1}$, получим, что
\[
\int q(f)^{2} d \varphi_{0}=\left\langle f,\left(1-d^{2} / d s^{2}\right)^{-1} f\right\rangle_{L_{2}}=\int|\tilde{f}(E)|^{2}\left(1+E^{2}\right)^{-1} d E=\|f\|_{-1}^{2} .
\]

Другими словами, второй момент меры $d \varphi_{0}$ определяется положительным оператором $\left(1+E^{2}\right)^{-1}$, который задает скалярное произведение в соболевском пространстве $H_{-1}$ с нормой $\|\cdot\|_{-1}$. Вычисления также показывают, что
\[
\int e^{i q(f)} d \varphi_{0}=e^{(f, f)}-1 / 2,
\]

и тем самым мера $d \varphi_{0}$ гауссова. Следовательно,
\[
\begin{aligned}
\int q(f)^{2 n} d \varphi_{0}=(2 n-1) ! !\|f\|_{-1}^{2 n} & =(2 n-1)(2 n-3) \ldots 1\|f\|_{-1}^{2 n}, \\
\int q(f)^{2 n+1} d \varphi_{0} & =0 .
\end{aligned}
\]

Равенство (3.2.12) проще всего доказать, представляя $q=(1 / \sqrt{2})$ $X\left(A+A^{*}\right)$ подобно формулам (1.5.3) и используя (3.2.10) вместе с равенством (1.5.21). Положив $f=\sum z_{f} f_{f}$ и продифференцировав (3.2.11), получим, что
\[
\int q\left(f_{1}\right) \ldots q\left(f_{2 n}\right) d \varphi_{0}=\sum\left\langle f_{i_{1}}, f_{t_{2}}\right\rangle_{-1} \ldots\left\langle f_{i_{2 n-1}}, f_{t_{2 n}}\right\rangle_{-1},
\]

где суммирование идет по всем ( $2 n-1)$ !! разбиениям множества из $2 n$ функций $f_{f}, j=1, \ldots, 2 n$, на пары.