Главная > МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ (Дж.Глимм, А.Джаффе)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Рассмотрим две однопараметрические группы операторов etA и etB, действующие в гильбертовом пространстве C, инфинитезимальные генераторы которых равны соответственно A и B. Если операторы A и B ограничены, то при помощи формулы Ли из двух данных групп можно построить группу et(A+B).
Теорема 3.2.1. Для ограниченных операторов A и B
eA+B=limn(eA/neB/n)n.

Доказательство. Пусть C=e(A+B)/n,D=eA/neB/n. Мы покажем, что если n, то CnDn0. Действительно,
CnDn=m=0n1Cm(CD)Dnm1constnCD,?

где использована оценка C,Dexp[A+Bn] const 1/n. Далее,
CD const n2,

так как при разложении в степенной ряд CD=e(A+B)/neA/neB/n члены ну* левого и первого порядков взаимно уничтожаются. Подстановка (3.2.3) в (3.2.2) завершает доказательство.
Если A и B не ограничены, доказательство формулы (3.2.1) требует дополнительных предположений. Мы сформулируем одну из теорем для этого случая.
Теорема 3.2.2. Пусть операторы H0,V ограничены снизу и существенно-самосопряжены, а оператор H=H0+V также существенносамосопряжен. Тогда
eH=s.limn(eH0/neV/n)n.

Мы установим формулу Фейнмана — Қаца
Kt(q,q)( ядро etH)(q,q)=exp(t/2t/2V(q(s))ds)dWq,qt

для H=H0+V=12Δ+V. Чтобы упростить доказательство, будем считать потенциал V(q) достаточно регулярной функцией. Для потенциалов более общего вида формулу (3.2.5) можно получить при помощи подходящего предельного перехода. Заметим, что при вещественном V из формулы Фенмана-Каца следует, что Kt(q,q)>0.
Теорема 3.2.3. Пусть V(q) — непрерывная ограниченная снизу вещественная функция на Rd, а оператор H=12Δ+V существенно-самосопряжен. Тогда ядро Kt(q,q) оператора etн выражается формулой (3.2.5).
Замечание. Для VLp(Rd),p>d/2 из неравенства Соболева следует, что V является возмущением оператора Δ, удовлетворяющим условию Като 1 ), и, таким образом, H существенно-самосопряжен. Если же V — ограниченный снизу полином, то H также существенно-самосопряжен.
Доказательство. По теореме 3.2.2
etH=limn(etH0/netV/n)n,

где H0=12Δ. Из следствия 3.1.2 вытекает, что
 ядро (etH0/netV/n)n(q,q))=exp[tnj=1nV(q(t2+jtn))]dWq,qt

В силу (3.2.6) ядро в левой части (3.2.7) при n сходится к Kt(q,q) в смысле сходимости обобщенных функций. Далее, так как V(q(s)) интегрируема по Ри-
1) То есть выполнено неравенство VφaΔφ+bφ для любои функции φD(Δ)L2(R3), где 0<a<1 и b>0. Это неравенство влечет за собой самосопряженность H=Δ+V (см. [Reed, Simon, 1972-1979, v. 2]). Прим. ред.

ману, то в пространстве траекторий имеет место поточечная сходимость
tnj=1nV(q(t/2+jtn))t/2t/2V(q(s))ds.

Поэтому подынтегральное выражение в правой части (3.2.7) сходится поточечно кexp[t/2t/2V(q(s))ds]. Так как функция V(q) ограничена снизу, то подынтегральное выражение равномерно по n ограничено сверху константой, которая интегрируема по dWq,qt. Применяя теорему Лебега о мажорированной сходимости, получаем, что (3.2.7) сходится к (3.2.5) при n.

Рассмотрим далее две модификации формулы Фейнмана — Каца (3.2.5). В этом параграфе мы выбираем гамильтониан H0 более общего вида и получим более общий класс ядер Ht0(q,q) и более общую меру на пространстве траекторий, чем мера Винера. В $3.4 мы установим формулу, выражающую в виде интегралов по пространству траекторий среднее по основному состоянию Ω гамильтониана H.

Первое обобщение заключается в замене H0=12Δ эллиптическим оператором второго порядка H0=12Δ+V (то, что H0 является эллиптическим оператором второго порядка, следует из положительности ядра оператора etH0 ). Мы могли бы, например, заменить Kt0(q,q) ядром Kt(q,q), задаваемым формулой (3.2.5). Однако часто бывает желательно, чтобы сам оператор H0 приводил к точно решаемой задаче и индуцировал гауссову меру на проетранстве траекторий, наиболее удобную в вычислениях. Типичным примером является гамильтониан H0=12Δ+12q2 12, подробно рассмотренный в §1.3. С этим гамильтонианом ассоцируется диффузионный процесс, так называемый процесс скоростей Орнштейна — Уленбека, для которого ядро Kt0(q,q) выражается формулой Мелера (1.5.26). Для процесса скоростей Орнштейна — Уленбека остаются справедливыми аналоги теоремы 3.1.1 и следствия 3.1.2. Пусть dUq,qt обозначает меру на P(q,q,t), построенную тем же методом, что и мера Винера, только с помощью ядра Мелера. Тогда формула Фейнмана-Каца для H0=12Δ+12q212,H=H0+V, запишется в виде
Kt(q,q)=( ядро etH(q,q))=exp(t/2t/2V(q(s))ds)dUq,qt.

Перейдем ко второму обобщению формулы (3.2.5). Пусть Ω0(q) — основное состояние (вакуумный вектор) гамильтониана H0=12Δ+12q212. В случае d=1 вектор Ω0(q) выражается
формулой (1.5.8), а в случае d>1 — с помощью ее естественного обобщения: Ω0(q)=i=1dΩ0(qi),qRd. Пусть
dφ0=Rd×RdΩ0(q)Ω0(q)dUq,qt.

Мера dφ0 определена на всех непрерывных траекториях q(s), s(t/2,t/2). Таким образом, если t/2<t1t2tn< <t/2 и Ai(q) — ограниченные функции q, то
i=1nAi(q(ti))dφ0=Ω0,A1e(t2t1)H0A2AnΩ0.

Так как интеграл (3.2.10) не зависит от t, мы можем распространить меру dφ0 на множество непрерывных траекторий q(s), определенных на произвольном конечном интервале значений s. Простые вычисления показывают, что мера dφ0 гауссова. Согласно предложениям §1.5,
q(t1)dφ0=Ω0,qΩ0=0,q(t1)q(t2)dφ0=Ω0,qe|t1t2|H0qΩ0=e|t1t2|Ω0,q2Ω0=12e|t1t2|.

Обозначим вещественное скалярное произведение q,f через q(f)=q(s)f(s)ds. Будем считать, что вещественная функция f гладкая и имеет компактный носитель. Аппроксимируя интеграл q(f) римановой интегральной суммой и воспользовавшись тем фактом, что преобразование Фурье функции e|t равно const (1+E2)1, получим, что
q(f)2dφ0=f,(1d2/ds2)1fL2=|f~(E)|2(1+E2)1dE=f12.

Другими словами, второй момент меры dφ0 определяется положительным оператором (1+E2)1, который задает скалярное произведение в соболевском пространстве H1 с нормой 1. Вычисления также показывают, что
eiq(f)dφ0=e(f,f)1/2,

и тем самым мера dφ0 гауссова. Следовательно,
q(f)2ndφ0=(2n1)!!f12n=(2n1)(2n3)1f12n,q(f)2n+1dφ0=0.

Равенство (3.2.12) проще всего доказать, представляя q=(1/2) X(A+A) подобно формулам (1.5.3) и используя (3.2.10) вместе с равенством (1.5.21). Положив f=zfff и продифференцировав (3.2.11), получим, что
q(f1)q(f2n)dφ0=fi1,ft21fi2n1,ft2n1,

где суммирование идет по всем ( 2n1) !! разбиениям множества из 2n функций ff,j=1,,2n, на пары.

1
Оглавление
email@scask.ru