Теперь мы докажем основную оценку, использованную при доказательстве существования предельной меры.
Теорема 11.3.1. Пусть $m>0$ и $d \mu_{\Lambda}$ определяется формулой (11.2.1). Пусть $P(\xi)$-ограниченный снизу полином степени $n$, имеющий вид $P(\xi)=$ четный полином + линейный член. Пусть $p=n /(n-1)$, и пусть функция $f \in L_{1} \cap L_{p}$ имеет носитель внутри прямоугольника $К$ площади $|K|$. Тогда существует такая константа $с<\infty$, не зависящая от $\Lambda$, что
\[
\left|\int e^{\varphi(f)} d \mu_{\Lambda}\right| \leqslant \exp \left\{c\left(|K|+\|f\|_{L_{p}}^{p}\right)\right\} .
\]

Замечание. В гл. 12 мы исключим $K$ из оценки (11.3.1), как это требуется аксиомой OS 1 .

Доказательство. Не теряя общности, можно считать, что $f \geqslant 0$. Действительно, в силу положительности функций Швингера (теорема 10.2.2), $\left|\int e^{\varphi(f)} d \mu_{\Lambda}\right| \leqslant$ $\leqslant \int e^{\varphi(|f|)} d \mu_{\Lambda}$. Из теоремы 10.2 .2 следует также, что при $f \geqslant 0$
\[
\left\langle e^{\varphi(f)}\right\rangle_{\Lambda}=S_{\Lambda}\{-i f\}
\]

монотонно возрастает с увеличением $\Lambda$.

Рис. 11.1. Прямоугольники $K, \Lambda$, используемые при доказательстве оценок по методу многократных отражений: (a) исходная картина; (b) после увеличения $\Lambda$ до $\Lambda^{1}$; (c) после одного отражения относительно каждой из осей: (d) после увеличения $\Lambda$ до $\Lambda^{(2)}$; (е) после $n$ отражений и увеличений объема (масштаб изменен).

Теперь мы начнем последовательно применять преобразования, при которых происходят увеличение объема и отражения. Пусть $K \subset \Lambda$ — прямоугольник, содержащий supp $f$, и пусть $\Lambda^{(1)} \supset \Lambda$ — другой прямоугольник с центром в одной из вершин $K$ и осями, параллельными осям $K$ (рис. $11.1(\mathrm{~b})$ ). Будем считать, что

Гл. 11. Поля без обрезания
стороны $K$ параллельны осям $x$ и $y$. Обозначим $\left\{a_{x}, a_{y}\right\}$ длины сторон $K$ и $\left\{b_{x}^{(1)}, b_{y}^{(1)}\right\}$ длины сторон $\Lambda^{(1)}$. Выполним отражения относительно осей прямоугольника $\Lambda^{(1)}$. Поскольку $\Lambda^{(1)}$ инвариантен относительно этих отражений, можно воспользоваться положительностью при отражениях меры $d \mu_{\Lambda^{(1)}}$ и получить оценку сверху. Положим
\[
\begin{array}{l}
f^{(1)}=f+\theta_{\Pi_{x}} f+\theta_{\Pi_{y}} f+\theta_{\Pi_{x}} \theta_{\Pi_{y}} f=\left(1+\theta_{\Pi_{x}}\right)\left(1+\theta_{\Pi_{y}}\right) f, \\
K^{(1)}=K \cup \theta_{\Pi_{x}} K \cup \theta_{\Pi_{y}} K \cup \theta_{\Pi_{x}} \theta_{\Pi_{y}} K .
\end{array}
\]

Легко видеть, что supp $f^{(1)} \subset K^{(1)}$. Пусть $R$ — оператор отражения (10.5.2). Тогда $R\left(e^{\varphi(f)}\right)=e^{\varphi\left(f^{(1)}\right)}$. По предложению 10.5.1 и теореме 10.2.2
\[
\int e^{\varphi(f)} d \mu_{\Lambda} \leqslant \int e^{\varphi(f)} d \mu_{\Lambda^{(1)}} \leqslant\left(\int e^{\varphi\left(f^{(1)}\right)} d \mu_{\Lambda^{(1)}}\right)^{1 / 4} .
\]

Отражения относительно осей $\Lambda^{(1)}$ изображены на рис. 11.1 (c).
Будем теперь повторять этот процесс. Вначале увеличиваем $\Lambda^{(j)}$, выбирая $\Lambda^{(j+1)}$ так, чтобы прямоугольник $K^{(j)}$ лежал в первом квадранте $\Lambda^{(j+1)}$. Затем производим отращение относительно осей $\Lambda^{(l+1)}$ и получаем функению $f^{(f+1)}$ с носителем в $K^{(t+1)}$, как на рис. $11.1(\mathrm{~d}-\mathrm{e})$. Этот процесс увеличений — отражений прекращается после того, как на $n$-м шаге будут получены прямоугольники $K^{(n)}$ и $\Lambda^{(n)}$, размеры которых имеют одинаковый порядок. Применяя $n$ раз неравенство (11.3.3), получаем
\[
\left\langle e^{\varphi(f)}\right\rangle_{\Lambda} \equiv\left\langle e^{\varphi(f)}\right\rangle_{\Lambda, c_{\partial \Lambda}} \leqslant\left\langle e^{\varphi(f)}\right\rangle_{\Lambda^{(1)}} \leqslant\left\langle e^{\varphi\left(f^{(n)}\right.}\right\rangle_{\Lambda^{(n)}}^{4^{-n}}
\]

Чтобы оценить (11.3.4), заметим, что $K^{(n)}$ есть прямоугольник со сторонами длины
\[
a_{x}^{(n)}=2^{n} a_{x}, \quad a_{y}^{(n)}=2^{n} a_{y} .
\]

Ero площадь равна $\left|K^{(n)}\right|=4^{n}|K|$. Прямоугольник $\Lambda^{(n)}$ имеет стороны длины
\[
\begin{array}{l}
b_{x}^{(n)}=b_{x}^{(1)}+\left(2^{n}-2\right) a_{x} \leqslant b_{x}^{(1)}+2^{n} a_{x}, \\
b_{y}^{(n)}=b_{y}^{(1)}+\left(2^{n}-2\right) a_{y} \leqslant b_{y}^{(1)}+2^{n} a_{y} .
\end{array}
\]

Это вытекает из равенства
\[
b_{x}^{(n)}=b_{x}^{(n-1)}+a_{x}^{(n-1)}=\left(2^{n-1}+\ldots+2\right) a_{x}+b_{x}^{(1)}=\left(2^{n}-2\right) a_{x}+b_{x}^{(1)} .
\]

При достаточно больших $n$
\[
b_{x}^{(1)} \leqslant 2^{n} a_{x}, \quad b_{y}^{(1)} \leqslant 2^{n} a_{y} .
\]

Тогда
\[
\left|\Lambda^{(n)}\right| \leqslant 4 \cdot\left(2^{n}\right)\left(2^{n}\right)|K|=4\left|K^{(n)}\right|,
\]

так что $K^{(n)}$ покрывает по крайней мере одну четверть площади $\Lambda^{(n)}$ (рис. 11.1(е)). Записывая (11.3.4) в виде отношения мы оцениваем числитель и знаменатель по отдельности. В силу предложения 10.3.1 и оценки (10.3.8),

где $\partial \varphi_{\partial \Lambda^{(n)}}^{N}$ обозначает гауссову меру с граничными условиями Неймана на всех единнчных квадратах в $\Lambda^{(n)}$. Так как правая часть (11.3.9) факторизуется, мы оцениваем ее с помощью теоремы 8.6.2. Действительно, (8.6.8) дает оценку сверху вида $\exp (O(N(g)+|\Lambda|))$, где $g_{j}=f_{j}$ при $j
eq 1$ суть коэффициенты полинома $P$, а $g_{1}=\hat{f}_{1}+f^{(n)}$ (см. $(8.6 .2,4)$ ). Норма $N(g)$ оценивается следующим образом: $N(g) \leqslant O(|\Lambda|)\left(1+\left\|f^{(n)}\right\|_{L_{p}}^{p}\right)$, где константа зависит от $P$, т. е. от функций $f_{l}$, но не зависит от $f$ и $f^{(n)}$. Таким образом,
\[
\left\langle e^{\varphi(f)}\right\rangle_{\Lambda, C} \leqslant\left[O(1)^{\Lambda^{(n)}} \exp \left\{c\left\|f^{(n)}\right\|_{L_{p}}^{p}\right\}\right]^{4-n} .
\]

Заметим, что $f^{(n)}$ есть сумма отражений $f$, причем носители $f$ при различных отражениях не пересекаются. Поэтому $\left\|f^{(n)}\right\|_{L_{p}}^{p}=4^{n}\|f\|_{L_{p}}^{p}$. Применяя (11.3.8), (11.3.10), окончательно получаем, что
\[
\left\langle e^{\varphi(f)}\right\rangle_{\Lambda, c} \leqslant \exp \left\{c\left(|K|+\|f\|_{L_{p}}^{p}\right)\right\} .
\]

Замечание (из истории вопроса). Впервые идея использовать многократные отражения относительно полной решеточной группы $Z^{d}$ для того, чтобы свести оценки локальных возмущений к оценкам свободной энергии, появилась в работе [Glimm, Jaffe, Spencer, 1975]. Этот метод значительно упростил исследование предельного перехода $V \rightarrow \infty$. Для полуограниченных $P$ общего вида граничные условия со слабой связью [Glimm, Jaffe, 1975b] определяются с помощью кластерного разложения при большом внешнем поле [Spencer, 1974b]; см. также гл. 18. Из неравенств ФКЖ $\S 10.2$ следует монотонность по внешнему полю. Монотонность и оценки многократных отражений позволяют избавиться от большого внешнего поля. См. [Fröhlich, Simon, 1977].