В этом параграфе мы установим основной результат всей главы: в двумерном случае для ограниченного снизу полинома $P$ экспонента $e^{-: P:}$ интегрируема. Этот результат – ключевой момент в построении модели $P(\varphi)_{2}$, поскольку соответствующая ей мера в функциональном пространстве с точностью до нормирующего множителя имеет вид $e^{-: P:} d \varphi$. Наш результат относится к взаимодействию $P$, определенному в конечном объеме, и $: P:=$ $=\int_{\Lambda}: P(\varphi(x)):_{C} d x, Z=\int e^{-: P}: d \varphi$. В гл. 11 (а также с помощью другого метода в гл. 18) мы совершим предельный переход к бесконечному объему.

В дальнейшем нам понадобится изменять ковариацию. Для $C_{1}, C_{2} \in \mathscr{\mathscr { C }}_{m}$ определим функцию $\delta c(x)=\lim _{y \rightarrow x}\left[C_{2}(x, y)-C_{1}(x, y)\right]$. В этих обозначениях формула викова переупорядочения выглядит так:
\[
: \varphi(x)^{n}:_{C_{1}}=\sum_{j=0}^{[n / 2]} \frac{n !}{(n-2 j) ! j ! 2^{j}} \delta c(x)^{j}: \varphi(x)^{n-2 j}:_{C_{2}} .
\]

Обозначим $f=\left\{f_{0}, \ldots, f_{n}\right\}$ набор коэффициентов полинома $P(\xi, f)=\sum_{j=0}^{n} f_{j}(x) \xi^{i}$ и положим
\[
: P(\varphi, f):_{C} \equiv \sum_{j=0}^{n}: \varphi^{j}\left(f_{j}\right):_{C} .
\]

Виково переупорядочение можно рассматривать как преобразование $T$ коэффициентов $f$, определяемое тождеством
\[
: P(\varphi, f):_{c_{1}}=: P(\varphi, T f):_{C_{2}} .
\]
Поскольку мы интересуемся, главным образом, аппроксимацией трансляционно-инвариантных взаимодействий в конечном объеме, естественно было бы выбирать коэффициенты в виде $f_{j}=$ const $\chi \Lambda$, где $\chi_{\Lambda}$ – характеристическая функция ограниченной области $\Lambda$. Однако при изменении ковариаций и соответствующем виковом переупорядочении этот класс коэффициентных функций оказывается слишком узким (т. е. не инвариантным относительно преобразования T). Это видно также из определения характеристического функционала $S\{f\}$, приведенного в $\$ 6.1$. В самом деле, функционал $S\{g\}$ определен при помощи возмущения $f_{1} \rightarrow f_{1}+i g=f_{1}^{\prime}$, так что $S\{g\}=Z\left\{f^{\prime}\right\} / Z\{f\}$. Чтобы коэффициентные функции $f_{j}$ изучать более систематически, потребуем выполнения следующих условий:
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{supp} f_{i} \subset \operatorname{supp} f_{n}=\Lambda, \quad \Lambda \text { ограничено, } \\
f_{i} / f_{n} \in L_{n /(n-i)}, \quad 0 \leqslant f_{n} \in L_{\infty}, \\
0 \leqslant 1 / f_{n} \in L_{\infty}(\Lambda), \quad n=\operatorname{deg} P \text { четно. }
\end{array}
\]

Введем два функционала, измеряющих величину набора $f$ :
\[
\begin{array}{l}
N(f)=\sum_{j=0}^{n-1}\left\|f_{j} / f_{n}\right\|_{L_{n /(n-j)}^{n /(n-j)}}, \\
M(f)=\sum_{j=1}^{n}\left\|f_{j}\right\|_{L_{n /(n-j)}} .
\end{array}
\]

Предложение 8.6.1. Пусть в преобразовании $f \rightarrow T f$ викова переупорядочения, определяемом формулой (8.6.3), операторы $C_{1}, C_{2} \in \mathscr{C}_{m}^{M}$. Тогда отображение $T$ переводит класс наборов (8.6.4) в себя $и$, кроме того, $(T f)_{n}=f_{n}$.
\[
\begin{array}{l}
\text { Пусть } m^{-1}+(M / m)+n+|\Lambda| \leqslant K . \text { Тогда } \\
\quad N(T f) \leqslant \mathrm{const} \cdot N(f)+\text { const }, \quad M(T f) \leqslant \text { const } \cdot M(f),
\end{array}
\]

где константы зависят только от $K$.
Доказательство. Оценку для $\delta c(x)$ получим в два этапа. Представим операторы $C_{1}, C_{2}$ в виде выпуклых сумм операторов $\left(-\Delta_{B_{j}}+m_{j}^{2}\right)^{-1}$ Прежде всего перейдем от граничных условий $B_{j}$ в каждом операторе $\Delta_{B_{j}}$ к свободным граничным условиям для оператора Лапласа $\Delta$. На втором шаге заменим массу $m_{i}$ некоторым фиксированным значением $\bar{m} \in[m, M]$.

Разность $\delta c(x)$, возникающую на перюом шаге после перехода к новым граничным условиям при фиксированной массе $m_{j} \geqslant m$, можно оценить при помощи логарифмических неравенств (7.6.2) и (7.6.19), используя допущения относительно объема $|\Lambda|$ и массы $m^{-1}$. Получим, что $\|\delta c(x)\|_{L_{p}(\Lambda)}<R$, причем постоянная $R$ зависит только от $K$ и $p<\infty$. Теперь оценки для $N(T f)$ и $M(T f)$ вытекают из равенства (8.6.1) и неравенства Гельдера, примененного следующим образом:
\[
\left\|(\delta c)^{l / 2} h\right\|_{L_{n /(n-j+l)}} \leqslant\|\delta c\|_{L_{n / 2}(\Lambda)}^{l / 2}\|h\|_{L_{n /(n-j)}} \leqslant R(K, n)^{l / 2}\|h\|_{L_{n /(n-f)}} .
\]

Здесь $h$ равно либо $f_{j}$, либо $f_{j} / f_{h}, l \leqslant j \leqslant n$. Поскольку $n$ по условию ограничено, постоянные можно выбрать зависящими только от $K$.

Таким образом, осталось рассмотреть, что происходит при изменении массы в свободной ковариации $C_{\varnothing}$. В этом случае $\delta c(x)=(2 \pi)^{-1} \ln \left(m_{j} / \bar{m}\right)$, что равномерно ограничено для всех $\bar{m}, m_{j} \in[m, M]$, так что $K^{-1} \leqslant m_{i} / \bar{m} \leqslant K$. Теперь оценки для $N(T f)$ и $M(T f)$ при замене массы снова следуют из допущения относительно $|\Lambda|$ и неравенства Гёльдера.
Основным результатом этого параграфа является

Теорема 8.6.2. Пусть функция $f$ удовлетворяет условиям (8.6.4), а операторы $C_{1}, C_{2} \in \mathscr{C}_{m}^{M}$. Если $m^{-1}+(M / m)+n+|\Lambda| \leqslant K$, то
\[
\begin{aligned}
\int \exp (- & \left.: P(\varphi, f):_{C_{1}}\right) d \varphi_{C_{2}} \leqslant \\
& \leqslant \text { const } \exp \left\{\text { const }\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}}\left[N(f)+(\ln (M(f)+1))^{n / 2}\right]\right\} .
\end{aligned}
\]

Если же $\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}}+m^{-1}+(M / m)+n+|\Lambda| \leqslant K$, то
\[
\int \exp \left(-: P(\varphi, f):_{C_{1}}\right) d \varphi_{C_{2}} \leqslant \exp (\operatorname{const}(N(f)+1)) .
\]

В обоих случаях постоянные зависят только от $K$.
Сначала мы рассмотрим случай $C_{1}=C_{2}=C$. Доказательство проведем в два этапа. Первым шагом будет установление полуограниченности функции : $P(\varphi, f): c$. Несмотря на то что многочлен $P(\varphi, f)$ ограничен снизу, при виковом упорядочении это свойство нарушается. Используя размазанную дельта-функцию $\delta_{\varkappa}$ (7.1.5), положим
\[
\varphi_{x}=\varphi * \delta_{x} \text {. }
\]

Тогда для $: P_{x}: \equiv: P\left(\varphi_{x}, f\right): c$ имеется зависящая от $x$ нижняя оценка: $-O(\ln x)^{(\operatorname{deg} P) / 2} \leqslant: P_{x}$. Эта оценка составляет содержание предложения 8.6.3.

На втором шаге устанавливается, что множество конфигураций $\varphi \in \mathscr{D}^{\prime}$, на которых значения полинома $: P$ : меньше чем inf $: P_{x}:$, имеет малую меру, примерно порядка $O\left(e^{-x^{\delta}}\right)$, где $\delta>0$. Эта оценка следует из оценок гауссовых интегралов в § 8.5 и является содержанием предложения 8.6.4.

Предложение 8.6.3. Пусть функция $f$ удовлетворяет условиям (8.6.4), а оператор $C \in \mathscr{B}_{m}$. Тогда при $x \geqslant 2$
\[
\text { – const }\left[\left\|f_{n}\right\|_{L_{1}}(\ln x)^{(\operatorname{deg} P) / 2}+\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}} N(f)\right] \leqslant: P\left(\varphi_{x}, f\right):_{C} .
\]

Константа в этом неравенстве зависит только от массы $m$ и степени $n=\operatorname{deg} P$.

Замечание. Чтобы проиллюстрировать идею доказательства, рассмотрим моном $P$ степени $n=4$, т. е. возьмем $f_{0}=\ldots=f_{3}=0$.

Заметим, что, в силу (8.5.5),
\[
\begin{aligned}
: \varphi_{x}(x)^{4}: & =\varphi_{x}(x)^{4}-6 c_{x}(x) \varphi_{x}(x)^{2}+3 c_{x}(x)^{2}= \\
& =\left(\varphi_{x}(x)^{2}-3 c_{x}(x)\right)^{2}-6 c_{x}(x)^{2} .
\end{aligned}
\]

Тогда по теореме 7.1.1 последнее выражение ограничено снизу величиной $-6 c_{x}(x)^{2}=-O(\ln x)^{2}$. Интегрирование этой оценки дает неравенство (8.6.10).
Доказательство. Воспользуемся неравенством Гёльдера для интегралов по мере $f_{n}(x) d x$. Пусть $p_{1}^{-1}=0, p_{2}^{-1}=(j-2 l) / n, p_{3}^{-1}=(n-j) / n, p_{4}^{-1}=2 l / 4$, так что $\sum p_{v}^{-1}=1$. Оценим все члены со степенями $\varphi^{m}, m<n$, старшим членом $\varphi^{n}$ полинома $P$ :
\[
\begin{array}{l}
\left|\int c_{\chi}^{l}(x) \varphi_{\varkappa}^{j-2 l_{f}}(x) d x\right|=\left|\int\left[c_{\chi}^{l}(x)\right]\left[\varphi_{\varkappa}(x)^{j-2 t}\right]\left[f_{j} / f_{n}\right](x) f_{n}(x) d x\right| \leqslant \\
\leqslant\left\|c_{x}\right\|_{L_{\infty}}^{l}\left(\int \Phi_{x}(x)^{n} f_{n}(x) d x\right)^{(f-2 l) / n}\left(\int\left|f_{j} / f_{n}\right|^{n /(n-f)} f_{n} d x\right)^{(n-f) / n}\left\|f_{n}\right\|_{L_{1}}^{2 l / n} . \\
\end{array}
\]

Правая часть последнего неравенства в силу оценки $a b \leqslant a^{p}+b^{q}, a, b \geqslant 0$, $p^{-1}+q^{-1}=1$, не превосходит
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{e} \int \varphi_{x}(x)^{n} f_{n}(x) d x+a(\varepsilon)\left\|c_{x}\right\|_{L_{\infty}}^{n / 2}\left\|f_{n}\right\|_{L_{1}}+\int\left|f_{j} / f_{n}\right|^{n /(n-j)} f_{n} d x \leqslant \\
\quad \leqslant \varepsilon \int \varphi_{x}(x)^{n} f_{n}(x) d x+a(\varepsilon)\left\|c_{x}\right\|_{L_{\infty}}^{n / 2}\left\|f_{n}\right\|_{L_{1}}+\left\|f_{j} / f_{n}\right\|_{L_{n /(n-j)}^{n /(n-j)}}\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}} .
\end{array}
\]

Более того, если левую часть неравенства умножить на комбинаторный множитель $[j / 2] j ! /\left((j-2 l) ! t ! 2^{2}\right)$, то верна та же оценка с другой константой $a=a(\varepsilon, n)$. Фигурирующее в этой оценке $\varepsilon$ произвольно, но положительно. Выберем $\varepsilon$ малым и обозначим $\mathscr{P}$ общее число членов. Тогда, если $1-\mathscr{P}_{\varepsilon}>0$, то, просуммировав по $j$ и $l$ и воспользовавшись разложением (8.5.5), получим неравенство (8.6.10). Оиенка $\left\|c_{x}\right\|_{L_{\infty}} \leqslant O(\ln x)$ следует из свойства (LR3) (теорема 7.1.1).

Перейдем ко второму этапу доказательства интегрируемости экспоненты $e^{-P}$, а именно покажем, что высокоэнергетическая часть $\delta P$ полинома $P$ принимает большие значения только на небольшом множестве конфигураций поля. Чтобы придать этому утверждению точный смысл, определим
\[
\delta P_{x} \equiv: P(\varphi, f):_{c} \longrightarrow: P\left(\varphi_{x}, f\right):_{c},
\]

так что $: P:=: P_{\varkappa}:+\delta P_{\varkappa}$. Обозначим $X(\varkappa)$ множество конфигураций $\varphi$, для которых $\left|\delta P_{x}\right| \geqslant 1$, т. е.
\[
X(x)=\left\{\varphi: \quad\left|\delta P_{x}\right| \geqslant 1\right\} .
\]

Предложение 8.6.4. Пусть $C \in \mathscr{C}_{m} u m^{-1}+n+|\Lambda| \leqslant K$. Тогда существует константа $\alpha$, зависящая только от $K$, такая, что при $x>2$
\[
\int_{X(x)} d \varphi_{C} \leqslant \exp \left[-\alpha\left(x^{\varepsilon} / M(f)\right)^{2 / \operatorname{deg} P}\right],
\]

где в-константа из теоремь 8.5.3.

Доказательство. Так как $\left|8 P_{x}\right| \geqslant 1$ на множестве $X(\chi)$, то для любого четного $;$ верно неравенство
\[
\int_{X(x)} d \varphi_{C} \leqslant \int_{\mathscr{\mathscr { S }}^{\prime}}\left(\delta P_{x}\right)^{l} d \varphi_{C^{\prime}}
\]

Имеем $\delta P_{x}=\sum_{l=1}^{n}:\left(\varphi^{l}-\varphi_{x}^{l}\right):_{C}\left(f_{l}\right)$. Заметим, что член с индексом $l=0$ отсутствует. Таким образом, $\delta P_{\varkappa}^{j}$ есть сумма не более чем $n^{j}$ мономов, каждый из которых имеет вид $\prod_{l=1}^{j}\left(R^{(l)}-R_{\chi}^{(l)}\right)$, где $R^{(l)}=: \varphi^{m}\left(f_{m_{l}}\right):_{C}$ и $1 \leqslant m_{l} \leqslant n$. При. меняя следствие 8.5 .4 при $r=1, \quad \sum n_{i}=m_{l} \leqslant n$ и $p_{l}=p_{m_{l}}=n /\left(n-m_{l}\right)$, получаем, что все такие мономы ограннчены. Далее, $\left\|w^{(l)}\right\|_{L_{p_{l}}}=\left\|f_{m_{l}}\right\|_{L_{p_{l}}} \leqslant M(f)$. В результате этих оценок получим, что
\[
\int_{X(x)} d \varphi_{C} \leqslant(j !)^{n / 2}\left(\text { const } M(f) x^{-\varepsilon}\right)^{j},
\]

где константа зависит только от $К$. Правая часть этого неравенства примет наименьшее значение, если в качестве $j$ взять наибольшее четное число, меньшее $\left(x^{\varepsilon} / \text { const } M(f)\right)^{2} / n$ (константа та же, что и в (8.6.13)). После этого применение формулы Стирлинга приводит к неравенству (8.6.12).

Для доказательства теоремы нам понадобится следующее элементарное тождество.

Лемма 8.6.5. Пусть $\{X, d \mu\}$ – вероятностное пространство $\boldsymbol{g}(\varphi) \in$ $\in L_{p}(X, d \mu)$ – определенная на нем функция. Обозначим

Тогда
\[
h(a) \equiv \mu\{\varphi: \quad a \leqslant|g(\varphi)|\} .
\]
\[
\int|g|^{p} d \mu=p \int_{0}^{\infty} a^{p-1} h(a) d a .
\]

Доказательство. Формула (8.6.15) получается из равенства $\int|g|^{p} d \mu=$ $=-\int_{0}^{\infty} a^{p} d h(a)$ при помощи интегрирования по частям.

Применим тождество (8.6.15) в частном случае $p=1$. Для доказательства того, что $g \in L_{1}(d \mu)$, достаточно показать, что функция $h(a)$ интегрируема на бесконечности. Пусть, далее, $a(x)$ – непрерывно дифференцируемая монотонно возрастающая функция и $a(x) \rightarrow \infty$ при $x \rightarrow \infty$; тогда, если функция $h(a(x)) d a(x) / d x$ интегрируема по $x$ на бесконечности, то $g \in L_{1}(d \mu)$. Предположим, что $d a(x) / d x \leqslant a(x)^{2}$. Тогда для $e \leqslant x_{0} \leqslant x$ справедливо неравенство
\[
\int|g| d \mu \leqslant a\left(x_{0}\right)+\sup _{x \geqslant x_{0}} x^{2}\left(a(x)^{2} h(a(x)) .\right.
\]

Доказательство теоремы 8.6.2. В качестве функции $g(\varphi)$ возьмем $\exp [-: P(\varphi, f): c]$, а функцию $a(x)$ выберем в виде экспоненты от выражения, стоящего в левой части оценки (8.6.10), т. е.
\[
a(x)=\exp \left\{1+\operatorname{const}\left[\left\|f_{n}\right\|_{L_{1}}(\ln x)^{(\operatorname{deg} P) / 2}+\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}} N(f)\right]\right\} .
\]

При таком определении $d a(x) / d x \leqslant a(x)^{2}$. Разложим экспоненту: $e^{-: P:}=$ $=e^{-: P_{x}:} e^{-\delta P_{x}}$. По предложению 8.6.3
\[
h(a(x)) \leqslant \int_{X(x)} d \varphi_{C} \leqslant \exp \left[-\alpha\left(x^{\ell} / M(f)\right)^{2 / \operatorname{deg} P}\right],
\]

причем второе неравенство следует из предложения 8.6.4. Итак,
\[
\begin{aligned}
\ln \left\{x^{2} a(x)^{2} h(a(x))\right\} \leqslant \mathrm{const}\left\{\ln x+\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}}(\right. & \left.(\ln x)^{n / 2}+N(f)\right)- \\
& \left.-\left(x^{\varepsilon} / M(f)\right)^{2 / n}\right\}+ \text { const. }
\end{aligned}
\]

Предположим, что правая часть этого неравенства не превосходит
\[
\text { const }\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}}\left[N(f)+\{\ln (1+M(f))\}^{n / 2}\right]+\text { const. }
\]

Отсюда следует неравенство (8.6.7). Более того, так как
\[
M(f) \leqslant\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}}(N(f)+n),
\]

то верно и второе утверждение теоремы.
Теперь займемся доказательством оценки (8.6.18). Выберем $x_{0}$ настолько большим, чтобы из $x_{0} \leqslant x$ следовало $1 \leqslant(\ln x)^{n^{2}} \leqslant x^{2}$.

Случай $1: x^{8} \leqslant(1+M(f))^{n+1}$. Отбросим отрицательные члены в правой части (8.6.17). Заметим, что $\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}} \leqslant M(f)$. Следовательно,
\[
\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}} \leqslant \operatorname{const}\left[1+\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}}\{\ln (1+M(f))\}^{n / 2}\right] .
\]

Используя оценки (8.6.19-20), получим, что
\[
\begin{array}{c}
\ln x \leqslant(n+1) e^{-1} \ln (1+M(f)) \leqslant \text { const } M(f) \leqslant \text { const }\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}}(N(f)+n) \leqslant \\
\leqslant \text { const }\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}}\left[N(f)+\{\ln (1+M(f))\}^{n / 2}\right]+\text { const. }
\end{array}
\]

Более того, в силу нашего предположения,
\[
\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}}(\ln x)^{n / 2} \leqslant \text { const }\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}}\{\ln (1+M(f))\}^{n / 2} .
\]

Неравенства (8.6.21-22) в совокупности дают требуемую оценку (8.6.18).
Случай 2: $x^{\varepsilon}>(1+M(f))^{n+1}$. В этом случае
\[
x^{\varepsilon}=x^{3 e / 4} x^{\varepsilon / 4} \geqslant(1+M(f))^{3(n+1) / 4}(\ln x)^{n^{2} / 4} .
\]
8.6 Негауссовы интегралы для случая $d=2 \quad 185$.
В силу элементарного неравенства $\{(3(n+1) / 4)-1\}(2 / n)=1+\frac{1}{2}\left(1-n^{-1}\right) \geqslant 1$. и оценки $M(f) \geqslant\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}}$, получаем, что
\[
\left(x^{\varepsilon} / M(f)\right)^{2 / n} \geqslant(1+M(f))(\ln x)^{n / 2} \geqslant \ln x+\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}}(\ln x)^{n / 2} .
\]

Поэтому выражение (8.6.17) ограничено сверху величиной const $\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}} N(f)$, и тем самым оценка (8.6.18) доказана.

Этим завершается доказательство теоремы в частном случае $C_{1}=C_{2}$, к ко торому мы сведем сейчас общий случай. Достаточно установить оценку (8.6.7). Пусть $: P(\varphi, f):_{C_{1}}=: P(\varphi, T f){ }_{C_{2}}$. Воспользуемся доказанной уже в частном случае оценкой (8.6.7), в которой набор $f$ заменен на Tf. С помощью предложения 8.6.1 и неравенства (8.6.20) получим, что
\[
\left\|f_{n^{*}}\right\|_{L_{\infty}}\left[N(T f)+\{\ln (1+M(T f))\}^{n / 2}\right] \leqslant
\]
\[
\leqslant \text { const }\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}}\left[N(f)+\{\ln (1+M(f))\}^{n / 2}\right]+\text { const } .
\]

Отсюда и вытекает оценка (8.6.7).
Замечание 1. Из доказательства теоремы 8.6.2 можно извлечь еще одну оценку, которая пригодится нам при изучении фазовых переходов в гл. 16. Пусть $m^{-1}+(M / m)+n+|\Lambda| \leqslant K$ и существуют функция $L(f)$ и постоянная, зависящая только от $K$, такие, что
\[
– \text { const }\left[(1+M(f))(\ln x)^{n / 2}+L(f)\right] \leqslant: P\left(\varphi_{x}, f\right):_{c_{1}} .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{l}
\int \exp \left(-: P(\varphi, f):_{C_{1}}\right) d \varphi_{C_{2}} \leqslant \\
\quad \leqslant \text { const } \exp \left\{\text { const }\left[L(f)+\{1+M(f)\}\{\ln (1+M(f))\}^{n / 2}\right]\right\},
\end{array}
\]

причем константы здесь также зависят только от $K$.
Замечание 2. При помощи масштабных преобразований из доказанных неравенств можно получить еще один результат. Для произвольного $\alpha>0$ рассмотрим преобразование массы $m \rightarrow m / \alpha$ и расстояния $x \rightarrow \alpha x$. Пусть $C_{B}(m)=\left(-\Delta_{B}+m^{2}\right)^{-1}$, где $B$ обозначает какие-нибудь классические граничные условия на множестве Г. Определим масштабный ковариационный оператор $C_{\alpha B}(\alpha m)=$ $=\left(-\Delta_{\alpha B}+(m / \alpha)^{2}\right)^{-1}$, где $\Delta_{\alpha B}$ обозначает оператор $\Delta$ с аналогичными граничными условиями на множестве $\alpha \Gamma$, т. е. на множестве точек $\alpha x, x \in \Gamma$. В случае $d=2$
\[
C_{B}(m ; x, y)=C_{\alpha B}(m / \alpha ; \alpha x, \alpha y),
\]

подобно формуле (7.2.2) для свободной ковариации.
Определим масштабное преобразование $R_{\alpha}$ (для $d=2$ ) равенствами
\[
R_{\alpha} C_{B}(m)=C_{\alpha B}(m / \alpha) \quad \text { и } \quad\left(R_{\alpha} f\right)_{j}(x)=\alpha^{-2} f_{j}(x / \alpha) .
\]

Гл. 8. Квантование $=$ интегрирование
При этих обозначениях верно следующее так называемое масштабное тождество:
\[
\int \exp \left(-: P(\varphi, f):_{c_{1}}\right) d \varphi_{C_{2}}=\int \exp \left(-: P\left(\varphi, R_{\alpha} f\right):_{R_{\alpha} C_{1}}\right) d \varphi_{R_{\alpha} c_{2}} .
\]

В гауссовом случае (т. е. когда $P$-линейная функция) оно следует из свойств (8.6.24-25) и определения гауссова интеграла. В общем случае оно получается с помощью гауссова тождества и определения (8.5.5) викова упорядочения