Неравенство ФКК ${ }^{1}$ ) формулируется так же, как второе неравенство Гриффитса. При этом, однако, налагаются другие условия и на вид взаимодействия, и на допустимый класс наблюдаемых. Определим отношение порядка в $R^{n}$ следующим соотношением: $\xi=\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right) \leqslant \chi=\left(\chi_{1}, \ldots, \chi_{n}\right) \Leftrightarrow \xi_{i} \leqslant \chi_{i}$ для всех $i$.
Функция $F(\xi)$ называется монотонной, если она монотонна относительно этого порядка.
Теорема 4.4.1. Пусть $F$ и $G$-монотонно возрастающие функции от $\xi$, а среднее $\langle\cdot\rangle$ определяется выражениями (2.3.1) и (2.3.4). Тогда
\[
\langle F\rangle\langle G\rangle \leqslant\langle F G\rangle .
\]

Замечание. Это неравенство сохранится, если к квадратичной форме в (2.3.4), определяющей гауссову часть меры, добавить любое число граничных членов вида $\alpha_{j}\left(\xi_{j}-\gamma_{j}\right)^{2}, \alpha_{j} \geqslant 0$, так как эти члены могут быть включены в полиномы $P_{j}$. При этом полином $P_{j}$ не обязательно должен иметь вид: четный + линейный.
Доказательство. Переходя к двойному набору переменных $\xi$ и $\chi$, необходимо показать, что
\[
\langle[F(\xi)-F(\chi)][G(\xi)-G(\chi)]\rangle \geqslant 0 .
\]

Пусть $n=|\Lambda|$ – число точек в $\Lambda$. При $n=1$ утверждение справедливо, так как разности $F(\xi)-F(\chi)$ и $G(\xi)-G(\chi)$ имеют одинаковый знак в силу монотонности функций $F$ и $G$. Предположим теперь по индукции, что теорема доказана для всех $\Lambda$, состоящих из $n-1$ точек. Введем обозначение
\[
\xi=\left(\xi, \xi_{n}\right), \quad \xi=\xi_{1}, \ldots, \xi_{n-1},
\]

и аналогично представим $\chi$. Перепишем левую часть неравенства (4.4.3) в виде повторного интеграла и покажем, что при всех значениях $\xi_{n}, \chi_{n}$ интеграл по $d \xi d \chi$ неотрицателен. Точнее, пусть
\[
Z(\alpha)=\left\langle\delta\left(\xi_{n}-\alpha\right)\right\rangle, \quad\langle F\rangle_{\xi_{n}=\alpha}=Z(\alpha)^{-1}\left\langle\delta\left(\xi_{n}-\alpha\right) F(\xi)\right\rangle
\]

и $\langle\cdot\rangle_{\xi_{n}=\alpha, \chi_{n}=\gamma}=\langle\cdot\rangle_{\alpha \gamma}$ – аналогичное среднее по переменным $\xi, \chi$. В силу нормировки (4.4.4) справедливо тождество
\[
\begin{array}{l}
\langle[F(\xi)-F(\chi)][G(\xi)-G(\chi)]\rangle_{\alpha \gamma}=\langle F G\rangle_{\alpha}+\langle F G\rangle_{\gamma}-\langle F\rangle_{\alpha}\langle G\rangle_{\gamma}-\langle F\rangle_{\gamma}\langle G\rangle_{\alpha}= \\
=\left[\langle F G\rangle_{\alpha}-\langle F\rangle_{\alpha}\langle G\rangle_{\alpha}\right]+\left[\langle F G\rangle_{\gamma}-\langle F\rangle_{\gamma}\langle G\rangle_{\gamma}\right]+\left[\langle F\rangle_{\alpha}-\langle F\rangle_{\gamma}\right]\left[\langle G\rangle_{\alpha}-\langle G\rangle_{\gamma}\right] .
\end{array}
\]

Покажем, что выражение (4.4.5) неотрицательно. Первые два члена неотрицательны по предположению индукции, следовательно, достаточно проверить, что сомножители, составляющие третий член, имеют одинаковый знак. Воспользуемся зависимостью $Z$ от $\alpha$ (см. (4.4.4)) и определениями (2.3.3-4); получим, что
\[
\frac{d}{d \alpha}\langle F\rangle_{\alpha}=\beta \sum_{l}\left\{\left\langle\left(\xi_{l}-\alpha\right) F(\xi)\right\rangle_{\alpha}-\left\langle\xi_{l}-\alpha\right\rangle_{\alpha}\langle F(\xi)\rangle_{\alpha}\right\}+\left\langle\frac{d F}{d \xi_{n}}\right\rangle_{\alpha},
\]

где суммирование проводится по ближайшим соседям $n$-й точки. Заметим, что члены, пропорциональные $P^{\prime}\left(\xi_{n}\right)$, сокращаются. Поскольку линейная функция
1) Неравенство Фортуэна, Кастелена, Жинибра. – Прим. перев.

$\xi \rightarrow \xi_{l}-\alpha$ монотонна, вновь применимо индуктивное предположение, и, следовательно, $\langle F\rangle_{\alpha}$ есть монотонно возрастающая функция от $\alpha$. То же самое верно и для $\langle G\rangle_{\alpha}$, поэтому третий член в (4.4.5) неотрицателен.