Неравенство ФКК ${}^1$ ) формулируется так же, как второе неравенство Гриффитса. При этом, однако, налагаются другие условия и на вид взаимодействия, и на допустимый класс наблюдаемых. Определим отношение порядка в $R^n$ следующим соотношением: $\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)⩽\chi =({\chi }_1,\dots ,{\chi }_n)\iff {\xi }_i⩽{\chi }_i$ для всех $i$.
Функция $F(\xi )$ называется монотонной, если она монотонна относительно этого порядка.
Теорема 4.4.1. Пусть $F$ и $G$-монотонно возрастающие функции от $\xi$, а среднее $⟨\cdot ⟩$ определяется выражениями (2.3.1) и (2.3.4). Тогда
$$⟨F⟩⟨G⟩⩽⟨FG⟩.$$

Замечание. Это неравенство сохранится, если к квадратичной форме в (2.3.4), определяющей гауссову часть меры, добавить любое число граничных членов вида ${\alpha }_j{({\xi }_j-{\gamma }_j)}^2,{\alpha }_j⩾0$, так как эти члены могут быть включены в полиномы $P_j$. При этом полином $P_j$ не обязательно должен иметь вид: четный + линейный.
Доказательство. Переходя к двойному набору переменных $\xi$ и $\chi$, необходимо показать, что
$$⟨[F(\xi )-F(\chi )][G(\xi )-G(\chi )]⟩⩾0.$$

Пусть $n=|\mathrm{\Lambda }|$ — число точек в $\mathrm{\Lambda }$. При $n=1$ утверждение справедливо, так как разности $F(\xi )-F(\chi )$ и $G(\xi )-G(\chi )$ имеют одинаковый знак в силу монотонности функций $F$ и $G$. Предположим теперь по индукции, что теорема доказана для всех $\mathrm{\Lambda }$, состоящих из $n-1$ точек. Введем обозначение
$$\xi =(\xi ,{\xi }_n),\xi ={\xi }_1,\dots ,{\xi }_{n-1},$$

и аналогично представим $\chi$. Перепишем левую часть неравенства (4.4.3) в виде повторного интеграла и покажем, что при всех значениях ${\xi }_n,{\chi }_n$ интеграл по $d\xi d\chi$ неотрицателен. Точнее, пусть
$$Z(\alpha )=⟨\delta ({\xi }_n-\alpha )⟩,⟨F{⟩}_{{\xi }_n=\alpha }=Z(\alpha {)}^{-1}⟨\delta ({\xi }_n-\alpha )F(\xi )⟩$$

и $⟨\cdot {⟩}_{{\xi }_n=\alpha ,{\chi }_n=\gamma }=⟨\cdot {⟩}_{\alpha \gamma }$ — аналогичное среднее по переменным $\xi ,\chi$. В силу нормировки (4.4.4) справедливо тождество
$$\begin{array}{l}⟨[F(\xi )-F(\chi )][G(\xi )-G(\chi )]{⟩}_{\alpha \gamma }=⟨FG{⟩}_{\alpha }+⟨FG{⟩}_{\gamma }-⟨F{⟩}_{\alpha }⟨G{⟩}_{\gamma }-⟨F{⟩}_{\gamma }⟨G{⟩}_{\alpha }=\\ =[⟨FG{⟩}_{\alpha }-⟨F{⟩}_{\alpha }⟨G{⟩}_{\alpha }]+[⟨FG{⟩}_{\gamma }-⟨F{⟩}_{\gamma }⟨G{⟩}_{\gamma }]+[⟨F{⟩}_{\alpha }-⟨F{⟩}_{\gamma }][⟨G{⟩}_{\alpha }-⟨G{⟩}_{\gamma }].\end{array}$$

Покажем, что выражение (4.4.5) неотрицательно. Первые два члена неотрицательны по предположению индукции, следовательно, достаточно проверить, что сомножители, составляющие третий член, имеют одинаковый знак. Воспользуемся зависимостью $Z$ от $\alpha$ (см. (4.4.4)) и определениями (2.3.3-4); получим, что
$$\frac{d}{d\alpha }⟨F{⟩}_{\alpha }=\beta \sum _l\{{⟨({\xi }_l-\alpha )F(\xi )⟩}_{\alpha }-{⟨{\xi }_l-\alpha ⟩}_{\alpha }⟨F(\xi ){⟩}_{\alpha }\}+{⟨\frac{dF}{d{\xi }_n}⟩}_{\alpha },$$

где суммирование проводится по ближайшим соседям $n$-й точки. Заметим, что члены, пропорциональные $P^{\prime }\left({\xi }_n\right)$, сокращаются. Поскольку линейная функция
1) Неравенство Фортуэна, Кастелена, Жинибра. — Прим. перев.

$\xi \to {\xi }_l-\alpha$ монотонна, вновь применимо индуктивное предположение, и, следовательно, $⟨F{⟩}_{\alpha }$ есть монотонно возрастающая функция от $\alpha$. То же самое верно и для $⟨G{⟩}_{\alpha }$, поэтому третий член в (4.4.5) неотрицателен.