Здесь мы рассматриваем каноническую однофазную модель $\varphi^{4}$ (слово «каноническая» означает, что величина поля не перенормирована). Мы установим оценку
\[
d m^{2}(\sigma) / d \sigma \leqslant Z(\sigma)
\]

для $\sigma>\sigma_{c}$. Здесь $Z(\sigma)$ есть константа перенормировки величины поля, определяемая из формулы (17.4.2) (см. также (14.3.2)). Из (17.4.1) при помощи аппроксимаций мы получим следующий результат.
Теорема 17.4.1 [Glimm, Jaffe, 1977a]. Для почти всех значений $m$ существуют частицы, т. е. $Z
eq 0$.
Доказательство оценки (17.4.1). Рассмотрим $\Gamma(p)=-S(p)^{-1}$, где $S(p)$ – преобразование Фурье функцин $\langle\varphi(x) \varphi(0)\rangle$, а $p$ – евклидов импульс. Заметим, что
\[
S(p)=\int\langle\varphi(x) \varphi(0)\rangle e^{-i p x} d x=\frac{Z}{p^{2}+m^{2}}+\int_{m^{2}+0}^{\infty} \frac{d \rho(a)}{p^{2}+a} .
\]

Условне каноничности состоит в том, что $Z+\int_{m^{2}+0}^{\infty} d \rho(a)=1$ и
\[
Z^{-1}=-\left(d \Gamma / d p^{2}\right)_{p^{2}=-m^{2}}
\]

Поскольку Г $=0$ на одночастичной кривой $p^{2}=-m^{2}(\sigma)$, вектор $
abla \Gamma$ должен быть ортогонален вектору $\left(d m^{2} / d \sigma, 1\right)$ в ( $\left.-p^{2}, \sigma\right)$-плоскости. Таким образом, при $p^{2}=-m^{2}$
\[
0=-\frac{\partial \Gamma}{\partial p^{2}} \frac{d n^{2}}{d \sigma}+\frac{\partial \Gamma}{\partial \sigma}=Z^{-1} \frac{d m^{2}}{d \sigma}+\frac{\partial \Gamma}{\partial \sigma} .
\]

Неравенство (17.4.1) вытекает теперь из следующего утверждения.
Теорема 17.4.2. При сделанных выше предположениях
\[
-1 \leqslant(\partial \Gamma / \partial \sigma)_{p^{2}=-m^{2}} \leqslant 0 .
\]

Доказательство.
\[
-d S(-i p) / d \sigma=(1 / 2) \iint[\langle x 0 z z\rangle-\langle x 0\rangle\langle z z\rangle] d z e^{-p x} d x,
\]

и для вещественных $p$
\[
0 \leqslant \iint\langle x z\rangle\langle y z\rangle e^{-p(x-z)} e^{-p z} d x d z=S(-p)^{2} .
\]

Поэтому, согласно следствию 4.3 .3 и (17.3.1), $0 \leqslant d S(i p)^{-1} / d \sigma \leqslant 1$. Однако при $p=0$ имеем $\left.S(-i p)^{-1}\right|_{p^{2}=m^{2}}=-\left.\Gamma(p)\right|_{p^{2}=-m^{2}}$ для вещественных $p$, и, значит, (17.4.4) доказано.