В зависимости от спина и статистики частицы делятся на две группы. Электроны и кварки имеют полуцелый спин и подчиняются статистике Ферми — Дирака; они называются фермионами. То же самое относится к связанным состояниям, составленным из нечетного числа фермионов, таким, как протоны, нейтроны или ядра ${\mathrm{H}}^3$. Фотон имеет целый спин и подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна, так же как и связанные состояния, составленные из четного числа фермионов, как, например, мезоны (в теории кварков и глюонов), ядра ${\mathrm{H}}^2$ или куперовы пары электронов в сверхпроводнике. Такие частицы называются бозонами. В $\mathrm{\$}6.2,6.3$ мы описали свободное поле Клейна — Гордона, преобразующееся по представлению группы Лоренца с нулевым спином и подчиняющееся бозе-статистике. Здесь мы опишем квантование свободного поля Дирака, преобразующегося с помощью (двузначного) представления группы Лоренца со спином $1/2$ и подчиненного фермистатистике.

В этом параграфе изложены две важные конструкции. Первая — построение фермионного пространства Фока и представления канонических антикоммутационных соотношений, а вторая введение античастиц как способ избавиться от состояния с отрицательной энергией при квантовании уравнения Дирака. Само уравнение Дирака приводится в § 15.3.

Для данного гильбертова пространства ${\mathcal{F}}_1$ пусть ${\mathcal{F}}_n$ обозначает антисимметрическое тензорное произведение $n$ экземпляров ${\mathcal{F}}_1$ :
$${\mathcal{F}}_n=A_n{\otimes }^n{\mathcal{F}}_1$$

где $A_n$ — антисимметризующий проекционный оператор. Тогда фермионное пространство Фока образуется как ортогональная сумма
$$\mathcal{F}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathcal{F}}_n.$$

Векторы из подпространства ${\mathcal{F}}_n\subset \mathcal{F}$ задают $n$-частичные состояния. Обычно ${\mathcal{F}}_1$ — это $L_2$-пространство векторнозначных функций, определенных на $R$ или $R^{d-1}$ со значениями в $C^v$ при некотором $v$. Тогда ${\mathcal{F}}_n$ — это пространство векторнозначных функций на $R^{nd}$ (со значениями в $C^{nv}$ ), компоненты которых принадлежат пространству $L_2\left(R^{nd}\right)$ (или пространству $L_2\left(R^{n(d-1)}\right)$ ) и которые антисимметричны при перестановке аргументов. Операторы рождения и уничтожения определяются так же, как в (6.3.5b), с той разницей, что $S_{n+1}$ надо заменить на $A_{n+1}$. В лоренц-инвариантной теории свободного поля группа Лоренца (а также евклидова группа) действует в пространстве ${\mathcal{F}}^2$ и в каждой его компоненте ${\mathcal{F}}_n$ при помощи тензорного произведения преобразований, определенных в одночастичном пространстве ${\mathcal{F}}_1$. Другими словами, закон преобразования $n$-частичного состояния определяется независимым действием преобразований на каждую из частиц этого состояния так, как это предписано правилом преобразований одночастичных состояний в ${\mathcal{F}}_1$. Конечномерное пространство $C^v$ называется спиновым пространством. В нем действует представление группы $SU(2)$ (которая является накрывающей группы пространственных вращений $O(3)$, содержащейся в группе Лоренца). Это представление определяется размерностью $v$, а спин равен $(v-1)/2$. Для скалярных бозонных полей $\mathrm{\S }6.2,6.3v=1$ и спин равен нулю. У фотонов спин равен единице $(v=3{)}^1$ ).
1) Точнее, спин поля равен $(v^{\ast }-1)/2$, где $v^{\ast }⩽v$ — наибольшая из размерностей неприводимых комионент представления группы $SU(2)$ (или $O(3)$ ), входящих в представление группы Лоренца в $C^v$. Так, в случае поля фотонов $\mathit{v}=4$, а ${\mathit{v}}^{\ast }=3$. Прим. ред.

Қак мы видели выше, свободное поле полностью характеризуется своим одночастичным подпоостранством ${\mathcal{F}}_1$, статистикой и группой инвариантности, действующей в ${\mathcal{F}}_1$. Теперь перейдем к явному построению. Операторы уничтожения и рождения $a$ и $a^{\ast }$ определим формулами
$$\begin{array}{rl}{a}^{\ast }(g)f(x_1,\dots ,x_{n+1})& =(n+1{)}^{1/2}{A}_{n+1}g\left(x_{n+1}\right)f(x_1,\dots ,x_n),\\ a(g)f(x_1,\dots ,x_{n-1})& =n^{1/2}\int \overline{g\left(x_n\right)}f(x_1,\dots ,x_n)d{x}_n.\end{array}$$

Здесь $f\in {\mathcal{F}}_n,g\in {\mathcal{F}}_1$. В частности, $f$ и $g$ для каждого переменного $x_j$ имеют спиновый индекс (подразумеваемый и в (6.5.3)), а интегрирование $\int \dots d{x}_n$ содержит суммирование по этим индексам. При помощи непосредственных вычислений доказываются антикоммутационные соотношения
$$\begin{array}{c}\{a(f),a(g)\}=\{a^{\ast }(f),a^{\ast }(g)\}=0,\\ \{a(f),a^{\ast }(g)\}=⟨f,g⟩,\end{array}$$

где скалярное произведение берется в пространстве ${\mathcal{F}}_1$, и
$$⟨A_1,a(f)A_2⟩=⟨a^{\ast }(f)A_1,A_2⟩,$$

где скалярное произведение берется уже в $\mathcal{F}$ и $A_1,A_2\in \mathcal{F}$. Заметим, что ${\mathcal{F}}_0$ — одномерное подпространство, натянутое на вакуумный вектор $\mathrm{\Omega }$, и
$$a(f)\mathrm{\Omega }=0,a^{\ast }(g)\mathrm{\Omega }=g\in {\mathcal{F}}_1.$$

Простым алгебраическим следствнем соотношения (6.5.4b) является неравенство
$$0⩽a(f)a^{\ast }(f)⩽\{a(f),a^{\ast }(f)\}=\Vert f{\Vert }^2,$$

откуда следует, что $a(f)$ и $a^{\ast }(f)$ — ограниченные операторы в $\mathcal{F}$.
То, что операторы $a$ и $a^{\ast }$ ограничены, в отличие от бозонных операторов рождения и уничтожения, легко понять из физических соображений. Бозе-операторы $a$ и $a^{\ast }$ неограничены из-за того, что одно и то же состояние $f\in {\mathcal{F}}_1$ можно заполнить неограниченным числом бозе-частиц. Среднее значение бозе-операторов $a(f)$ и $a^{\ast }(f)$ на $n$-частичных состояниях, в которых каждая частица находится в состоянии $f\in {\mathcal{F}}_1$, равно примерно $n^{1/2}$. В ферми-случае максимальное значение $n$ равно единице. Из антисимметрической статистики Ферми — Дирака следует принцип запрета Паули, согласно которому каждое состояние $\theta$ в пространстве Фока $\mathcal{F}$ содержит не более одной частицы в данном состоянии $f\in {\mathcal{F}}_1$. Этот факт легко следует из соотношений (6.5.4). В самом деле,
$$a(f{)}^2\theta =\frac{1}{2}\{a(f),a(f)\}\theta =0$$

для любого $\theta \in \mathcal{F}$, поэтому $a(f)\theta$ не имеет ни одной частицы в состоянии $f\in {\mathcal{F}}_1$, а $\theta$ может иметь не более одной такой частицы. Линейное преобразование, переводящее систему операторов $a$ и $a^{\ast }$, удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям (6.5.4), снова в такую же систему, называется преобразованием Боголюбова. Эти преобразования полезны во многих случаях. Они позволяют переформулировать задачи линейных квантовых полей (например, в случае полей, взаимодействующих с внешним источником или потенциалом) при помощи свободного поля и решений (классических) дифференциальных уравнений в частных производных. Мы обсудим здесь одно конкретное преобразование Боголюбова, которое возникает при квантовании поля Дирака:
$$a^{\ast }(f)\to a(f),a(f)\to a^{\ast }(f).$$

Преобразуя соответствующим образом сами состояния, мы получим видоизмененный вариант соотношения ( $6.5.4\mathrm{d}$ ):
$$a^{\ast }(f){\mathrm{\Omega }}^{\prime }=0,a(g){\mathrm{\Omega }}^{\prime }=g^{\prime }\Leftarrow {\mathcal{F}}_1^{\prime },$$

где ${\mathrm{\Omega }}^{\prime },g^{\prime }$ и ${\mathcal{F}}_1^{\prime }$ — преобразованные состояния. Подобно тому как соотношение (6.5.4d) описывает $\mathrm{\Omega }$ как состояние без частиц, стиц. В случае когда ${\mathcal{F}}_1$, как обычно и бывает, бесконечномерно, преобразованное пространство Фока ${\mathcal{F}}^{\prime }$ отлично от $\mathcal{F}$ в том смысле, что действие системы операторов $a$ и $a^{\ast }$ в $\mathcal{F}$ не унитарно эквивалентно действию этой же системы в ${\mathcal{F}}_1^{\prime }$. Пространство ${\mathcal{F}}_1^{\prime }$ можно мыслить как пространство дырок, а ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$ — как состояние поля, в котором все дырки заполнены. Пространство ${\mathcal{F}}^{\prime }$-это пространство Фока, порожденное состояниями с конечным числом дырок (образованных оператором а рождения дырок), точно так же как $\mathcal{F}$-пространство Фока, порожденное состояниями с конечным числом частиц.

При квантовании поля Дирака используется не одно $\mathcal{F}$ или ${\mathcal{F}}^{\prime }$, а их комбинация. Для оператора Дирака, действующего в пространстве ${\mathcal{F}}_1$, разложение
$${\mathcal{F}}_1={\mathcal{F}}_1^{(+)}\oplus {\mathcal{F}}_1^{(-1}$$

означает разложение на подпространства состояний соответственно с положительной и отрицательной энергией. Тогда пространство Фока ${\mathcal{F}}^{\prime \prime }$ для поля Дирака — это
$${\mathcal{F}}^{\prime \prime }=\sum _{m,n}{\mathcal{F}}_m^{(+)}\otimes {\mathcal{F}}_n^{(-{)}^{\prime }}.$$

Другими словами, пространство ${\mathcal{F}}^{\prime \prime }$ порождено частицами, т. е. состояниями с положительной энергией из ${\mathcal{F}}_1^{(+)}$, и дырками (называемыми иначе античастицами), т. е. состояниями с отрицательной энергией из пространства ${\mathcal{F}}_1^{(-)}$. Это приводит к уравнениям
$$\begin{array}{rl}a(f){\mathrm{\Omega }}^{\prime \prime }=0,& a^{\ast }(f){\mathrm{\Omega }}^{\prime \prime }=f^{\prime \prime }\in {\mathcal{F}}_1^{(+{)}^{\prime \prime },},\\ a^{\ast }(g){\mathrm{\Omega }}^{\prime \prime }=0,& a(g){\mathrm{\Omega }}^{\prime \prime }=g^{\prime \prime }\in {\mathcal{F}}_1^{(-{)}^{\prime \prime }},\end{array}$$

с помощью которых можно интерпретировать ${\mathrm{\Omega }}^{\prime \prime }$ как море Дирака: в нем заняты все состояния с отрицательной энергией и нет состояний с положительной энергией.

Чтобы явно произвести разложение (6.5.6), нужно задать оператор энергии Дирака (см. § 15.3). Однако здесь мы лишь заметим, что интерпретация классических состояний с отрицательной энергией как античастиц с положительной энергией приводит к положительному оператору энергии квантового поля. В самом деле, если $E(f)$ — классическая энергия состояния $f$, то, в силу антикоммутационных соотношений,
$$E(f)a^{\ast }(f)a(f)=-E(f)a(f)a^{\ast }(f)+E\Vert f{\Vert }^2.$$

Аддитивную постоянную $E\Vert f{\Vert }^2$ можно вычесть при нормировке, и тогда при $E<0$ оператор -Eaa* положителен.