В зависимости от спина и статистики частицы делятся на две группы. Электроны и кварки имеют полуцелый спин и подчиняются статистике Ферми – Дирака; они называются фермионами. То же самое относится к связанным состояниям, составленным из нечетного числа фермионов, таким, как протоны, нейтроны или ядра $\mathrm{H}^{3}$. Фотон имеет целый спин и подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна, так же как и связанные состояния, составленные из четного числа фермионов, как, например, мезоны (в теории кварков и глюонов), ядра $\mathrm{H}^{2}$ или куперовы пары электронов в сверхпроводнике. Такие частицы называются бозонами. В $\$ 6.2,6.3$ мы описали свободное поле Клейна – Гордона, преобразующееся по представлению группы Лоренца с нулевым спином и подчиняющееся бозе-статистике. Здесь мы опишем квантование свободного поля Дирака, преобразующегося с помощью (двузначного) представления группы Лоренца со спином $1 / 2$ и подчиненного фермистатистике.

В этом параграфе изложены две важные конструкции. Первая – построение фермионного пространства Фока и представления канонических антикоммутационных соотношений, а вторая введение античастиц как способ избавиться от состояния с отрицательной энергией при квантовании уравнения Дирака. Само уравнение Дирака приводится в § 15.3.

Для данного гильбертова пространства $\mathscr{F}_{1}$ пусть $\mathscr{F}_{n}$ обозначает антисимметрическое тензорное произведение $n$ экземпляров $\mathscr{F}_{1}$ :
\[
\mathscr{F}_{n}=A_{n} \otimes^{n} \mathscr{F}_{1}
\]

где $A_{n}$ – антисимметризующий проекционный оператор. Тогда фермионное пространство Фока образуется как ортогональная сумма
\[
\mathscr{F}=\sum_{n=0}^{\infty} \mathscr{F}_{n} .
\]

Векторы из подпространства $\mathscr{F}_{n} \subset \mathscr{F}$ задают $n$-частичные состояния. Обычно $\mathscr{F}_{1}$ – это $L_{2}$-пространство векторнозначных функций, определенных на $R$ или $R^{d-1}$ со значениями в $C^{v}$ при некотором $v$. Тогда $\mathscr{F}_{n}$ – это пространство векторнозначных функций на $R^{n d}$ (со значениями в $C^{n v}$ ), компоненты которых принадлежат пространству $L_{2}\left(R^{n d}\right)$ (или пространству $L_{2}\left(R^{n(d-1)}\right)$ ) и которые антисимметричны при перестановке аргументов. Операторы рождения и уничтожения определяются так же, как в (6.3.5b), с той разницей, что $S_{n+1}$ надо заменить на $A_{n+1}$. В лоренц-инвариантной теории свободного поля группа Лоренца (а также евклидова группа) действует в пространстве $\mathscr{F}^{2}$ и в каждой его компоненте $\mathscr{F}_{n}$ при помощи тензорного произведения преобразований, определенных в одночастичном пространстве $\mathscr{F}_{1}$. Другими словами, закон преобразования $n$-частичного состояния определяется независимым действием преобразований на каждую из частиц этого состояния так, как это предписано правилом преобразований одночастичных состояний в $\mathscr{F}_{1}$. Конечномерное пространство $C^{v}$ называется спиновым пространством. В нем действует представление группы $S U(2)$ (которая является накрывающей группы пространственных вращений $O(3)$, содержащейся в группе Лоренца). Это представление определяется размерностью $v$, а спин равен $(v-1) / 2$. Для скалярных бозонных полей $\S 6.2,6.3 v=1$ и спин равен нулю. У фотонов спин равен единице $(v=3)^{1}$ ).
1) Точнее, спин поля равен $\left(v^{*}-1\right) / 2$, где $v^{*} \leqslant v$ – наибольшая из размерностей неприводимых комионент представления группы $S U(2)$ (или $O(3)$ ), входящих в представление группы Лоренца в $C^{v}$. Так, в случае поля фотонов $\boldsymbol{v}=4$, а $\boldsymbol{v}^{*}=3$. Прим. ред.

Қак мы видели выше, свободное поле полностью характеризуется своим одночастичным подпоостранством $\mathscr{F}_{1}$, статистикой и группой инвариантности, действующей в $\mathscr{F}_{1}$. Теперь перейдем к явному построению. Операторы уничтожения и рождения $a$ и $a^{*}$ определим формулами
\[
\begin{aligned}
a^{*}(g) f\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) & =(n+1)^{1 / 2} A_{n+1} g\left(x_{n+1}\right) f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
a(g) f\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right) & =n^{1 / 2} \int \overline{g\left(x_{n}\right)} f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) d x_{n} .
\end{aligned}
\]

Здесь $f \in \mathscr{F}_{n}, g \in \mathscr{F}_{1}$. В частности, $f$ и $g$ для каждого переменного $x_{j}$ имеют спиновый индекс (подразумеваемый и в (6.5.3)), а интегрирование $\int \ldots d x_{n}$ содержит суммирование по этим индексам. При помощи непосредственных вычислений доказываются антикоммутационные соотношения
\[
\begin{array}{c}
\{a(f), a(g)\}=\left\{a^{*}(f), a^{*}(g)\right\}=0, \\
\left\{a(f), a^{*}(g)\right\}=\langle f, g\rangle,
\end{array}
\]

где скалярное произведение берется в пространстве $\mathscr{F}_{1}$, и
\[
\left\langle A_{1}, a(f) A_{2}\right\rangle=\left\langle a^{*}(f) A_{1}, A_{2}\right\rangle,
\]

где скалярное произведение берется уже в $\mathscr{F}$ и $A_{1}, A_{2} \in \mathscr{F}$. Заметим, что $\mathscr{F}_{0}$ – одномерное подпространство, натянутое на вакуумный вектор $\Omega$, и
\[
a(f) \Omega=0, \quad a^{*}(g) \Omega=g \in \mathscr{F}_{1} .
\]

Простым алгебраическим следствнем соотношения (6.5.4b) является неравенство
\[
0 \leqslant a(f) a^{*}(f) \leqslant\left\{a(f), a^{*}(f)\right\}=\|f\|^{2},
\]

откуда следует, что $a(f)$ и $a^{*}(f)$ – ограниченные операторы в $\mathscr{F}$.
То, что операторы $a$ и $a^{*}$ ограничены, в отличие от бозонных операторов рождения и уничтожения, легко понять из физических соображений. Бозе-операторы $a$ и $a^{*}$ неограничены из-за того, что одно и то же состояние $f \in \mathscr{F}_{1}$ можно заполнить неограниченным числом бозе-частиц. Среднее значение бозе-операторов $a(f)$ и $a^{*}(f)$ на $n$-частичных состояниях, в которых каждая частица находится в состоянии $f \in \mathscr{F}_{1}$, равно примерно $n^{1 / 2}$. В ферми-случае максимальное значение $n$ равно единице. Из антисимметрической статистики Ферми – Дирака следует принцип запрета Паули, согласно которому каждое состояние $\theta$ в пространстве Фока $\mathscr{F}$ содержит не более одной частицы в данном состоянии $f \in \mathscr{F}_{1}$. Этот факт легко следует из соотношений (6.5.4). В самом деле,
\[
a(f)^{2} \theta=\frac{1}{2}\{a(f), a(f)\} \theta=0
\]

для любого $\theta \in \mathscr{F}$, поэтому $a(f) \theta$ не имеет ни одной частицы в состоянии $f \in \mathscr{F}_{1}$, а $\theta$ может иметь не более одной такой частицы. Линейное преобразование, переводящее систему операторов $a$ и $a^{*}$, удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям (6.5.4), снова в такую же систему, называется преобразованием Боголюбова. Эти преобразования полезны во многих случаях. Они позволяют переформулировать задачи линейных квантовых полей (например, в случае полей, взаимодействующих с внешним источником или потенциалом) при помощи свободного поля и решений (классических) дифференциальных уравнений в частных производных. Мы обсудим здесь одно конкретное преобразование Боголюбова, которое возникает при квантовании поля Дирака:
\[
a^{*}(f) \rightarrow a(f), \quad a(f) \rightarrow a^{*}(f) .
\]

Преобразуя соответствующим образом сами состояния, мы получим видоизмененный вариант соотношения ( $6.5 .4 \mathrm{~d}$ ):
\[
a^{*}(f) \Omega^{\prime}=0, \quad a(g) \Omega^{\prime}=g^{\prime} \Leftarrow \mathscr{F}_{1}^{\prime},
\]

где $\Omega^{\prime}, g^{\prime}$ и $\mathscr{F}_{1}^{\prime}$ – преобразованные состояния. Подобно тому как соотношение (6.5.4d) описывает $\Omega$ как состояние без частиц, стиц. В случае когда $\mathscr{F}_{1}$, как обычно и бывает, бесконечномерно, преобразованное пространство Фока $\mathscr{F}^{\prime}$ отлично от $\mathscr{F}$ в том смысле, что действие системы операторов $a$ и $a^{*}$ в $\mathscr{F}$ не унитарно эквивалентно действию этой же системы в $\mathscr{F}_{1}^{\prime}$. Пространство $\mathscr{F}_{1}^{\prime}$ можно мыслить как пространство дырок, а $\Omega^{\prime}$ – как состояние поля, в котором все дырки заполнены. Пространство $\mathscr{F}^{\prime}$-это пространство Фока, порожденное состояниями с конечным числом дырок (образованных оператором а рождения дырок), точно так же как $\mathscr{F}$-пространство Фока, порожденное состояниями с конечным числом частиц.

При квантовании поля Дирака используется не одно $\mathscr{F}$ или $\mathscr{F}^{\prime}$, а их комбинация. Для оператора Дирака, действующего в пространстве $\mathscr{F}_{1}$, разложение
\[
\mathscr{F}_{1}=\mathscr{F}_{1}^{(+)} \oplus \mathscr{F}_{1}^{(-1}
\]

означает разложение на подпространства состояний соответственно с положительной и отрицательной энергией. Тогда пространство Фока $\mathscr{F}^{\prime \prime}$ для поля Дирака – это
\[
\mathscr{F}^{\prime \prime}=\sum_{m, n} \mathscr{F}_{m}^{(+)} \otimes \mathscr{F}_{n}^{(-)^{\prime}} .
\]

Другими словами, пространство $\mathscr{F}^{\prime \prime}$ порождено частицами, т. е. состояниями с положительной энергией из $\mathscr{F}_{1}^{(+)}$, и дырками (называемыми иначе античастицами), т. е. состояниями с отрицательной энергией из пространства $\mathscr{F}_{1}^{(-)}$. Это приводит к уравнениям
\[
\begin{aligned}
a(f) \Omega^{\prime \prime}=0, & a^{*}(f) \Omega^{\prime \prime}=f^{\prime \prime} \in \mathscr{F}_{1}^{(+)^{\prime \prime},}, \\
a^{*}(g) \Omega^{\prime \prime}=0, & a(g) \Omega^{\prime \prime}=g^{\prime \prime} \in \mathscr{F}_{1}^{(-)^{\prime \prime}},
\end{aligned}
\]

с помощью которых можно интерпретировать $\Omega^{\prime \prime}$ как море Дирака: в нем заняты все состояния с отрицательной энергией и нет состояний с положительной энергией.

Чтобы явно произвести разложение (6.5.6), нужно задать оператор энергии Дирака (см. § 15.3). Однако здесь мы лишь заметим, что интерпретация классических состояний с отрицательной энергией как античастиц с положительной энергией приводит к положительному оператору энергии квантового поля. В самом деле, если $E(f)$ – классическая энергия состояния $f$, то, в силу антикоммутационных соотношений,
\[
E(f) a^{*}(f) a(f)=-E(f) a(f) a^{*}(f)+E\|f\|^{2} .
\]

Аддитивную постоянную $E\|f\|^{2}$ можно вычесть при нормировке, и тогда при $E<0$ оператор -Eaa* положителен.