Для модели $\lambda \varphi^{4}+\sigma \varphi^{2}$ мы покажем, что функции Швингера непрерывны по $\sigma$ на замкнутом луче $\sigma_{c} \leqslant \sigma<\infty$. В частности, они имеют предел при $\sigma \downarrow \sigma_{c}$. Из того что функции $S_{\Lambda}^{(n)}$ монотонны относительно $\Lambda$ и $\boldsymbol{\sigma}$ (это было установлено при доказательстве теоремы 17.5 .1 для случая $S_{\Lambda}^{(2)}$, следует, что функции Швингера $S^{(n)}$ в бесконечном объеме непрерывны относительно $\sigma$ справа и монотонно возрастают по $\sigma$ и $-\mu, \mu \geqslant 0$. Поскольку возможны фазовые переходы, это общее соображение устанавливает только одностороннюю непрерывность. Двусторонняя же непрерывность для

$\sigma>\sigma_{c}$ следует из приводимой ниже теоремы 17.6.1 о существовании производной.

При достаточно больших $\sigma$ (или $\mu$ ) мы попадаем в область сходящихся кластерных разложений (ср. гл. 18). Можно определить функцию $S^{(n)}$, исходя из ее значений в этой области и монотонно уменьшая $\sigma$ и – . Такое продолжение $S^{(n)}$ известно как определение с помощью граничных условий в области малого взаимодействия [Glimm, Jaffe, 1975b].
Теорема 17.6.1. При $\sigma>\sigma_{c}$ (где $\sigma_{c}$ определено в $\left.\$ 17.1\right)$ существуют производные
\[
\partial S^{(n)}(x) / \partial \sigma .
\]

Доказательство. Следует применить неравенства Лебовица из следствия 4.3.3, как и в § 17.5 или в работе [Glimm, Jaffe, 1975b]. Производные (17.6.1) огранічены сверху суммами произведений двухточечных функций $S^{(2)}$.
Замечание. Этот результат обобщается на усеченные функции Швингера, определенные в $§ 14.1$, а также и на вершинные функции $\Gamma$; см. [Glimm, Jaffe, 1975b]. Производные, как правило, стремятся к $\infty$ в точке $\sigma=\sigma_{c}$ со скоростью, определяемой некоторым критическим индексом. Производные $\partial S^{(n)} / \partial \sigma$ сами являются (частично) усеченными функциями Швингера с одной : $\varphi^{2}$ :-вершиной. В силу монотонности (теорема 17.1.1), производная $\partial S^{(n)} / \partial \sigma$ абсолютно непрерывна по б. Значит,
\[
\left.S^{(n)}\right|_{\sigma=\sigma_{0}}=\left.S^{(n)}\right|_{\sigma=\sigma_{1}}-\int_{\sigma_{0}}^{\sigma_{1}} \frac{\partial S^{(n)}}{\partial \sigma} d \sigma,
\]

и поэтому производная $\partial S^{(n)} / \partial \sigma$ может быть использована для изучения асимптотического поведения $S^{(n)}$ при $\sigma \downarrow \sigma_{c}$. В случае когда производная допускает оценку с помощью корреляционных неравенств, можно получить дифференциальное неравенство для функций $S^{(n)}$. Решение этого дифференциального неравенства дает строгую оценку сверху некоторого критического индекса. Дальнейшее развитие этой точки зрения приводит к уравнению Қаллана – Симанзика [Domb, Green, 1972, v. 6] и методам, связанным с ренормгруппой.