Доказательство предложения 18.4.3. Не ограничивая общности, можно считать, что ядро $w$ локализовано, т. е. его носитель заключен в произведении нескольких квадратов решетки, и в этом случае мы положим $|w|=|w|_{\iota_{2}}$. Мы хотим оценить выражение
\[
\left\langle\int \partial^{\Gamma} \int \prod_{i=1}^{n} \varphi\left(x_{i}\right) e^{-\lambda V(\Lambda)} d \varphi_{s(\Gamma)} d s(\Gamma), w\right\rangle .
\]

Пусть $\mathscr{P}(\Gamma)$ – семейство всех разбиений $\pi$ множества $Г$. Согласно (9.1.34) и правилу Лейбница, (18.7.1) равно
\[
\left\langle\int \sum_{\pi \in \mathcal{D}(\Gamma)} \int\left(\prod_{\gamma \in \pi} \frac{1}{2} \partial^{\gamma} C \cdot \Delta_{\varphi}\right) \prod_{i} \varphi\left(x_{i}\right) e^{-\lambda V(\Gamma)} d \varphi_{s(\Gamma)} d s(\Gamma), w\right\rangle,
\]

где $C=C(s(\Gamma)), \partial^{\gamma} C \cdot \Delta_{\varphi}=\Delta_{\partial \gamma_{C}} ;$ см. (9.1.10).
Пусть $j \in Z^{2}$. Будем обозначать символом $\Delta_{j}$ три объекта: (1) квадрат решетки, содержащий $j$, (2) характеристическую функцию этого квадрата, (3) оператор умножения на эту функцию $\Delta_{j}$. Имея в виду последнее значение символа $\Delta_{j}$, попожим
\[
\partial^{\gamma} C\left(j_{\gamma}\right)=\Delta_{j_{1}, \gamma} \partial^{\gamma} C_{j_{2}, \gamma},
\]

где $j_{\gamma}=\left(j_{1}, \gamma, i_{2}, \gamma\right) \in Z^{4}$, так что два дифференцирования в $\partial^{\gamma} C\left(j_{\gamma}\right)$ локализованы в $\Delta_{j_{1}}$ и $\Delta_{j_{2}}$ соответственно. Пусть
\[
\partial^{\gamma} C=\frac{\rangle^{\gamma}}{j_{\gamma}} \partial^{\gamma} C\left(j_{\gamma}\right)
\]

Подставим это тождество в (18.7.2). В результате мы получим сумму, члены которой помечены квадратами локализации $\left\{j_{\gamma}\right\}$ и разбиениями $\pi \in \mathscr{P}(\Gamma)$. Для каждого фиксированного члена обозначим $M=M\left(\pi,\left\{f_{\gamma}\right\}\right)$ число слагаемых, возникающих в результате применения дифференциальных операторов $\Delta_{\varphi}$ в подынтегральном выражении в (18.7.2). Согласно теореме 8.5.5, предложению 10.3.1 и следствию 10.3.2, каждое из полученных таким образом слагаемых допускает оценку
\[
\begin{aligned}
\left\|w^{\prime}\right\|_{L_{p}} & <\|w\|_{L^{2}}\left\|\prod_{\gamma \in \pi} \partial^{\gamma} C(j)\right\|_{L_{q}} \leqslant \\
& \leqslant\|w\|_{L_{2}} m_{0}^{-|\Gamma| / 2 q} \prod_{\gamma \Subset \pi} K_{4}(q, \gamma) e^{-m_{0} d\left(f_{\gamma}, \gamma\right) /^{2}} .
\end{aligned}
\]

Применяя теперь (18.6.5) для оценки суммы по всем разбиениям $\pi \in \mathscr{P}(\Gamma)$, мы получаем, что (18.7.2) не превосходит
\[
\|w\|_{L_{2}} e^{K_{5}|\Gamma|_{0}}{ }^{-|\Gamma| / 2 q} \sum_{\left\{j_{\gamma}\right\}} \max _{\pi \in \mathscr{D}(\Gamma)} M \prod_{\gamma \in \pi} e^{-m_{0} d\left(j_{\gamma}, \gamma\right) / 2} \prod_{\Delta} n(\Delta) !,
\]

где числа $n(\Delta)$ определены в $\S 12.5$.
Предложение 18.4 .3 вытекает из двух лемм, в которых оцениваются величина $M$ и сумма по парам $\left\{j_{\gamma}\right\}$. Пусть $M(\Delta)$ – число элементов множества
\[
\left\{j_{i, \gamma}: \Delta_{i, \gamma}=\Delta, i=1 \text { или } 2, \gamma \in \pi\right\} .
\]

Лемма 18.7.1. Существует такая константа $K_{10}$, не зависящая от $n_{0}, \quad ч T O$
$\iota$
\[
\begin{array}{c}
M \leqslant e^{K_{10}|\Gamma|} \prod_{\Delta}(M(\Delta) !)^{p} \\
\prod_{\Delta} n(\Delta) ! \leqslant e^{K_{1}|\Gamma|} \prod_{\Delta}(M(\Delta) !)^{p} .
\end{array}
\]

Лемма 18.7.2. Пусть заданы разбиение $\pi \in \mathscr{P}(\Gamma)$ и $r>0$. Тогда существует такая константа $K_{11}$, не зависящая от $m_{0}$, что
\[
\sum_{\left\{{ }^{j}\right\}} \prod_{\gamma \in \pi} e^{-m_{0} d\left(j_{\gamma}, \gamma\right) / 2} \prod_{\Delta}(M(\Delta) !)^{r} \leqslant e^{K_{\mathrm{H}}|\Gamma|} .
\]
Доказательство леммы 18.7.1. Пусть $N_{0}(\Delta)$ – число точек $x_{t}, 1 \leqslant \leqslant$, расположенных в $\Delta$. Количество слагаемых, возникающих в результатс $M(\Delta)$ дифференцирований в $\Delta$, не превосходит
\[
\left(N_{0}(\Delta)+1\right)\left(N_{0}(\Delta)+p+1\right) \ldots\left(N_{0}(\Delta)+p(M(\Delta)-1)+1\right) .
\]

Поскольку $N_{0}(\Delta) \leqslant \sum_{\Delta} N_{0}(\Delta)=n$, то, применяя неравенства $(a+b) ! \leqslant(a+$ $+b)^{a}(b !)$ и $(a b) ! \leqslant a^{a b}(b !)^{a}$, мы получаем для полного числа членов, возникающих в результате дифференцирований $\partial / \partial \varphi(y)$, следующую оценку:
\[
M \leqslant \prod_{\Delta} p^{p M(\Delta)}\left(N_{0}(\Delta)+1+p M(\Delta)\right)^{N_{0}(\Delta)+1}(M(\Delta) !)^{p} .
\]

Далее, если $n(\Delta)$ – число отростков, выходящих из $\Delta$ после дифференцирования (как это определялось в $§ 12.5$ ), то
\[
n(\Delta) \leqslant N_{0}(\Delta)+(p-1) M(\Delta),
\]

откуда и получаем оценку для $n(\Delta)$ !.
Доказательство леммы 18.7.2. Сумма $\sum_{\left\{i_{\gamma}\right\}}$ экспоненциально убывает с ростом расстояния, поэтому достаточно убедиться, чтс
\[
\prod_{\Delta}(M(\Delta) !)^{r} \leqslant \prod_{\Delta} e^{\text {const }|\gamma|_{e} e^{\text {const } \sum_{\gamma} d(j, \gamma)}},
\]

где константы не зависят от $m_{0}, \gamma,\left\{j_{\gamma}\right\}$ и $\pi$.
Напомним, что величина $d(j, \gamma)$, определенная в (18.6.2), представляет собой сумму расстояний от некоторого ребра $b \in \gamma$ до квадратов с номерами $j_{1}, \gamma$ и $2, \gamma$ Следовательно, существует не более $O(1) r^{2}$ значений $\gamma$ (при фиксированном разбиении $\pi$ ), таких, что
\[
\Delta_{f_{v, \gamma}}=\Delta, \quad v=1 \text { или } 2,
\]

и $d(j, \gamma) \leqslant r$. По определению существует $M(\Delta)$ контуров $\gamma$, удовлетворяющих (18.7.4). По крайней мере для половины из них (для наиболее протяженных контуров) выполнена также оценка
\[
M(\Delta)^{1 / 2} \leqslant \text { const } d(j, \gamma)+\text { const },
\]

поскольку они не перекрываются. Следовательно,
\[
M(\Delta)^{3 / 2} \leqslant \text { const } \sum_{\gamma}\left(\left\{d(j, \gamma): \Delta_{j, \gamma}=\Delta\right\}+\text { const }\right),
\]

и для завершения доказательства осталось воспользоваться неравенствами
\[
\begin{array}{l}
\prod_{\Delta}(M(\Delta) !)^{r} \leqslant \exp \left\{r \sum_{\gamma} M(\Delta) \ln M(\Delta)\right\} \leqslant \\
\quad \leqslant \exp \left(O\left(\sum_{\gamma}\left\{M(\Delta)^{1+\delta}: M(\Delta)>0\right\}\right)\right) \leqslant \exp \left\{O\left(\sum_{\gamma} d(j, \gamma)\right)\right\} \exp (O(|\Gamma|)) .
\end{array}
\]

Методы этой главы были в дальнейшем усовершенствованы так, что их можно применять к исследованию других взаимодействий и других функций Швингера (связных, неприводимых, и т. п.), а также в теории фазовых переходов.
Литературные ссылки
[Glimm, Jaffe, Spencer, 1973, 1974], [Spencer, 1974b], [Glimm. Jaffe, Spencer, 1976a], [Spencer, 1975]. См. также гл. 14 и 20.