Рассмотрим газ диполей с кулоновым взаимодействием. Қак и в предыдущем параграфе, для того чтобы избежать особенностей потенциала в нуле, будем изучать $d$-мерный решеточный газ. Решеточный диполь D – это пара зарядов $\left(q_{i}, q_{j}\right)$, одинаковых по величине, но противоположных по знаку и расположенных в соседних узлах решетки $(i, j)$. Пусть $\mathbf{D}$ обозначает вектор длины $2 \delta e$, направленный от отрицательного к положительному заряду. Этот вектор есть не что иное, как дипольный момент. Будем помечать $\mathbf{D}=\mathbf{D}_{b}$ ребром решетки $b$, соединяющим вершины $(i, j)$.

Энергия взаимодействия пары диполей $\mathbf{D}_{b}, \mathbf{D}_{b}$, отвечающих ребрам $b, b^{\prime}$, имеет вид
\[
\left\langle\mathbf{D}_{b}, V \mathbf{D}_{b^{\prime}}\right\rangle=\sum_{a, b=1}^{d} D_{b, \alpha} V_{\alpha, \beta}\left(b, b^{\prime}\right) D_{b^{\prime}, \beta} .
\]

Здесь $V_{\alpha \beta}\left(b, b^{\prime}\right)$ есть $d \times d$-матрица, определяемая парным кулоновым взаимодействием между зарядами, входящими в диполи, исключая взаимодействия внутри диполя. Асимптотически при удаленных друг от друга на вектор $\mathbf{r}_{b b}=\mathbf{r}$ большой длины $r$ ребрах $b, b^{\prime}$ это взаимодействие имеет вид
\[
V_{\alpha \beta}\left(b, b^{\prime}\right) \sim\left\{\begin{array}{ll}
(d-2) \Omega(d-1)^{-1} r^{-d}\left(\delta_{\alpha \beta}-(d-1) \frac{r_{a} r_{\beta}}{r^{2}}\right) \\
(2 \pi)^{-1} r^{-2}\left(2 \frac{r_{\alpha} r_{\beta}}{r^{2}}-\delta_{\alpha \beta}\right) & \text { при } d>2,
\end{array}\right.
\]

Этот потенциал взаимодействия диполей не является абсолютно интегрируемым, но его среднее по сфере равно нулю.
Большая статистическая сумма определяется формулой
\[
\Xi_{\text {дип }}=\sum_{n=0}^{\infty} z^{n} \delta^{n d} \sum_{\substack{b_{k} \in \Lambda \\ D_{k}= \pm k=1,2, \ldots, n}} \mu_{\text {кан, } n,}
\]

где $D_{k}= \pm$ обозначает сумму по двум направлениям в диполе, отвечающем ребру $b_{k}$, и
\[
\mu_{\text {кан, } n}=(n !)^{-1} \exp \left[-\frac{\beta}{2} \sum_{\substack{k
eq l \\ 1 \leqslant k, l \leqslant n}}\left\langle\mathbf{D}_{b_{k}}, V \mathbf{D}_{b_{l}}\right\rangle\right] .
\]

Парная корреляционная функция диполей определяется формулой
\[
\left\langle\mathbf{D}_{b} \mathbf{D}_{b^{\prime}}\right\rangle=\lim _{\Lambda \uparrow Z^{d}} \Xi_{\text {дип }}^{-1} \sum_{n=0}^{\infty} z^{n} \delta^{n d} \sum_{\substack{b_{k} \\ D_{k}= \pm k=1,2, \ldots, n}} \mathbf{D}_{b} \mathbf{D}_{b^{\prime}} \mu_{\text {кан, } n} .
\]

В противоположность случаю кулонова газа мы не ожидаем, что в разреженном газе диполей возникнет экранирование. Повторив рассуждения $\S 20.6$, можно показать, что
\[
\Xi_{\text {дип }}=Z_{V=2 z \cos \left(\beta^{1 / 2} e|
abla \varphi|\right)}=\int \exp \left[2 z \sum_{j \in \Lambda} \delta^{d}: \cos \left(\beta^{1 / 2} e|
abla \varphi|_{i}\right):\right] d \varphi .
\]

Здесь по сравнению с формулой (20.6.5) $\varphi^{2}$ заменено на $(
abla \varphi)^{2}$. Представление (20.7.6) показывает, что при $|z| \ll 1$ разложение косинуса приводит к квадратичному члену
\[
-2 z e^{2} \beta\left(\frac{1}{2} \delta^{d} \sum_{j}(
abla \varphi)_{j}^{2}\right) .
\]

Но теперь этот член дает уже не массу, а вклад в коэффициент $\left(1+2 z e^{2} \beta\right)$ при кинетической энергии. Приближение среднего поля
по формуле (20.7.7) предсказывает, что корреляционная функция (20.7.5) при малых $z, e^{2} \beta$ ведет себя следующим образом:
\[
\left\langle\mathbf{D}_{b} \mathbf{D}_{b},\right\rangle \sim \varepsilon\left(z, e^{2} \beta\right)^{-1}\left\langle\mathbf{D}_{b}, V \mathbf{D}_{b},\right\rangle+O\left(r^{-6}\right) .
\]

Здесь диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$ имеет вид
\[
\varepsilon=1+z e^{2} \beta+\sum_{n+m>1} a_{n m} z^{n}\left(\beta e^{2}\right)^{m} .
\]

На языке перенормировок теории поля $\varepsilon=Z^{-1}$, где $Z$ – константа перенормировки величины поля. Ввиду того, что дипольные силы. приводят к эффективному дальнодействию, применение здесь кластерной техники значительно затруднено по сравнению со случаем разреженного кулонова газа. Для изучения свободной энергии в дипольном газе с успехом применялись методы группировки спинов в блоки [Glimm, Jaffe, 1977b]. Отсутствие экранирования в этой модели установлено в работе [Park, 1979], [Fröhlich, Spencer, 1981a]. K соответствующему $(
abla \varphi)^{4}$-взаимодействию применялись методы, связанные с ренормгруппой [Gawędzki, Kupiainen, 1980]; см. также [Bricmont, Fontaine, Lebowitz, Spencer, 1980, 1981], [Bricmont, Fontaine, Lebowitz, Lieb, Spencer, 1981].

Несмотря на отсутствие экранирования можно ожидать, что в газе диполей при $d \geqslant 2$ происходит фазовый переход из неупорядоченной фазы в конденсированную (рис. 20.2). Наиболее тру-
(a)
(b)

Рис. 20.2. (a) Неупорядоченные диполи. (b) Конденсированная фаза диполей. ден для изучения случай $d=2$, так как с математической точки зрения эти переходы относятся к так называемым переходам с размыванием (см. $\S 20.8$ ) и переходам типа модели ротаторов ( $\$ 5.5$ ). Очень интересно было бы установить их существование (см. [Fröhlich, Spencer, 1981b]).