Необрезанная шеститочечная вершинная функция определяется следующим образом:
\[
\begin{array}{r}
\Gamma^{\left(6^{\prime}\right.}(x x x y y y)=\langle x x x y y y\rangle^{T}+\int\langle x x x z\rangle^{T} \Gamma\left(z z^{\prime}\right)\left\langle z^{\prime} y y y\right\rangle^{T} d z d z^{\prime}+ \\
+9 \int\langle x x y z\rangle^{T} \Gamma\left(z z^{\prime}\right)\left\langle z^{\prime} x y y\right)^{T} d z d z^{\prime} .
\end{array}
\]

Здесь $\Gamma=-S_{2}^{-1}$, где $S_{2}^{-1}$ – ядро интегрального оператора, обратного к оператору с ядром $S_{2}(x, y)$. Из гнитезы о том, что
\[
\Gamma^{(6)}(x x x y y y) \leqslant 0
\]

удается получить большое число интересных следствий, например: отсутствие трехчастичных связанных состояний для пропагатора, существование скейлингового предела и некоторые оценки критических индексов (см. [Glimm, Jaffe, 1975c, 1976b].

Некоторые факты позволяют думать, что для однофазных четных $\varphi^{4}$-моделей неравенство (17.10.2) действительно имеет место. В частности, оно получено по теории возмущений (например, при $\sigma \gg 0$ или при высоких температурах); имеются также эвристические соображения, свидетельствующие о его справедливости вблизи $\sigma_{c}$. Однако для доказательства этого неравенства требуются свежие идеи.

В этом параграфе мы приведем некоторые примеры применения неравенства (17.10.2). Например, имеет место
Теорема 17.10.1. Если выполнено (17.10.2), то
\[
0 \leqslant \Gamma(x) \leqslant e^{-3 m|x|}, \quad|x| \rightarrow \infty .
\]

Замечание. Из оценки (17.10.3) следует, что у $\Gamma(x)$ нет спектра в интервале $(0,3 m)$, а следовательно, носитель $d \sigma(a)$ не пересекается с интервалом $(m, 3 m)$. По этой причине в пропагаторе, т. е. среди состояний, порожденных векторами $\varphi(x) \Omega$, отсутствуют трехчастичные связанные состояния.
Набросок доказательства. Воспользуемся формулой интегрирования по частям [Glimm, Jaffe, 1975c]:
\[
\int \varphi(x) A(\varphi) d \mu(\varphi)=\langle\varphi(x) A\rangle=\int d y S(x-y)\left[\left\langle\frac{\delta A}{\delta \varphi(y)}\right\rangle-\left\langle V^{\prime}(y)\left(I-P_{1}\right) A\right\rangle\right] .
\]

Здесь $V=\lambda \int: \varphi^{4}: d x-$ взаимодействие и
\[
P_{1} A=\int \varphi(z) \Gamma\left(z-z^{\prime}\right)\left\langle\varphi\left(z^{\prime}\right) A\right\rangle d z d z^{\prime} .
\]

Из (17.10.4) следует, что при $x
eq y$
\[
\Gamma(x-y)=\left\langle V^{\prime}(x)\left(I-P_{1}\right) V^{\prime}(y)\right\rangle=16 \lambda^{2}\left\langle\varphi^{3}(x)\left(I-P_{1}\right) \varphi^{3}(y)\right\rangle .
\]

Раскрывая скобки в (17.10.5) и применяя неравенство (17.10.1), получаем (16)
\[
\begin{array}{l}
)^{-1} \lambda^{-2} \Gamma(x-y)=6\langle x y\rangle^{3}+9\langle x x y y\rangle^{T}\langle x y\rangle- \\
-9 \int\langle x x y z\rangle^{T} \Gamma\left(z z^{\prime}\right)\left\langle z^{\prime} x y y\right\rangle^{T} d z d z^{\prime}+\Gamma^{(6)}(x x x y y y) .
\end{array}
\]

Первый член в (17.10.6) есть $O\left(e^{-m|x-y|}\right)^{3}$ при $|x-y| \rightarrow \infty$. Второй член отрицателен. Убывание в третьем члене определяется трехчастичным спектром, что вытекает из отсутствия двухчастичных связанных состояний у $\langle x x y z\rangle^{T}$; см. [Glimm, Jaffe, 1975c]. Таким образом, (17.10.6) означает, что
\[
\Gamma(x-y) \leqslant e^{-3 m|x-y|}, \quad|x-y| \rightarrow \infty .
\]

Положительность функци $Г(x-y)$ следует из того факта, что она является

В заключение приведем еще одно следствие неравенства (17.10.2).

Теорема 17.10.2 [Glimn, Jaffe, 1976b]. Пyсть $d \geqslant 6, g_{0}(\delta)=$ $=\lambda \delta^{4-d} \leqslant \mathrm{const}$ (коненная перенормировка заряда), и пусть, кроме того, выполнено (17.10.2). Если предел при $\delta \rightarrow 0$ ренеточной $\lambda \varphi_{d}^{4}$-теории полч евклидово-инсариантен, то он представляет собой свободное поле.
Замечание. Этот результат выражает в слабой форме идею о том, что перенормировки необходимы (т. е. что неперенормированные теории некорректны). Однако он не проясняет вопроса о том, являются ли перенормированиы модели $\varphi^{4}$, Юкавы и КЭД корректными (нетривиальными) в размерности $d=4$.