Рассмотрим простейший случай, для которого удается доказать существование по крайней мере двух фаз и фазового перехода первого рода, а именно случай полиномиального взаимодействия вида
\[
V(\varphi)=\lambda:\left(\varphi^{2}-\lambda^{-1}\right)^{2}:_{\lambda^{1 / 2}}, \quad 0<\lambda \ll 1,
\]

в размерности $d=2$. Здесь индекс $\lambda^{1 / 2}$ обозначает виково упорядочение по отношению к ковариационному оператору $(-\Delta+\lambda)^{-1}$. Аналогичные методы применимы в случае, когда $\varphi^{4}$ заменяется четным положительным полиномом. С помощью соответствующего викова упорядочения любой четный полином четвертой степени, приводящий к двум фазам, можно представить в виде (16.2.1), см. [Glimm, Jaffe, Spencer, 1976b]. Обобщение изложенных здесь методов позволяет доказать существование двух фаз для некоторых взаимодействий $V$, не являющихся ни четными, ни симметричными относительно какого-нибудь $\varphi ;$ см. гл. 20.
Теорема 16.2.1. Пусть $d \mu$-мера на $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{2}\right)$, построенная, как в гл. 11, с помощью полиномиального взаимодействия $V$ вида (16.2.1) с массой $m=\lambda^{1 / 2}$. Тогда для достаточно малых $\lambda>0$
мере $d \mu$ соответствуют по крайней мере два вакуумных состояния, т. е. в системе имеется несколько фаз.

Доказательство этой теоремы строится по образцу доказательства аналогичного результата для модели Изинга в § 5.4. Для того чтобы исключить флуктуации поля на малых расстояниях, не имеющие отношения к проблеме фазовых переходов, мы усредним поле $\varphi$ по небольшим областям. Точнее, мы покроем $R^{2}$ решеткой единичных квадратов $\Delta_{i}$ и будем рассматривать
\[
\varphi(\Delta)=\int_{\Delta} \varphi(x) d x .
\]

Тогда выражение
\[
\sigma(\Delta)=\operatorname{sign} \varphi(\Delta)
\]

определяет изинговы переменные, так как $\sigma$ принимают значения $\pm 1$ и определены в узлах целочисленной решетки (центрах квадратов $\Delta_{i}$ ). В силу симметрии меры $d \mu$ относительно преобразования $\varphi \rightarrow-\varphi$,
\[
\langle\sigma(\Delta)\rangle=\int \sigma(\Delta) d \mu=0 .
\]

Для доказательства теоремы необходимо исследовать распределение вероятностей для границ фаз. Почти каждой конфигурации классического поля $\varphi \in \mathscr{P}^{\prime}\left(R^{2}\right)$ отвечает конфигурация модели Изинга $\sigma(\Delta)$. Здесь $\sigma \in\{ \pm 1\}^{Z^{2}}$, т. е. $\sigma$ есть функция на решетке $Z^{2}$ (рассматриваемой как множество центров квадратов $\Delta_{i}$ ) со значениями $\pm 1$. Граница фаз для конфигураций $\varphi$ или $\sigma$ есть граница множества $\sigma^{-1}(1)$, или, другими словами, множество таких отрезков, которые разделяют два квадрата с разными знаками $\sigma$. Поскольку мы имеем дело с трансляционно-инвариантной теорией в бесконечном объеме, множество конфигураций, соответствующих определенной границе фаз:
\[
\partial \sigma^{-1}(1)=\text { граница фаз } \sigma=\text { граница фаз } \varphi,
\]

имеет меру нуль. Поэтому в качестве элементарных событий мы рассматриваем множества
\[
\{\varphi: \Gamma \subset \text { граница фаз } \varphi\},
\]

где $\Gamma$ — некоторое конечное множество отрезков на решетке. Допуская некоторую вольность, мы будем использовать обозначение Г и для множества конфигураций (16.2.6) в $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{2}\right)$.
Теорема 16.2.2. Для достаточно малых $\lambda$
\[
\operatorname{Pr}(\Gamma)=\int_{\Gamma} d \mu \leqslant e^{- \text {const } \lambda^{-1 / 2}|\Gamma|},
\]

Доказательство теоремы 16.2.1 в предположении, что доказана теорема 16.2.2. $\mathrm{M}_{\mathrm{b}}$ покажем, что $\left\langle\sigma(\Delta) \sigma\left(\Delta^{\prime}\right)\right\rangle$ не стремится к нулю при $\operatorname{dist}\left(\Delta, \Delta^{\prime}\right) \rightarrow \infty$. Согласно (16.2.4), $\langle\sigma(\Delta)\rangle=0$, поэтому из предложения 16.1.3 будет следовать, что вакуумное состояние не единственно.

Пусть $\rho_{ \pm}(\Delta)=\frac{1}{2}\{1 \pm \sigma(\Delta)\}$ обозначает характеристические функции для положительных и отрицательных значений $\varphi(\Delta)$. Поскольку $\langle\varphi\rangle=\langle\sigma(\Delta)\rangle=0$, имеем $\left\langle\sigma(\Delta) \sigma\left(\Delta^{\prime}\right)\right\rangle=1-4\left\langle\rho_{+}(\Delta) \rho_{-}\left(\Delta^{\prime}\right)\right\rangle$, и для завершения доказательства достаточно показать, что $\left\langle\rho_{+}(\Delta) \rho_{-}\left(\Delta^{\prime}\right)\right\rangle \leqslant e^{-O^{\prime}\left(\lambda^{-1 / 2}\right)}$ при малых $\lambda$.

Важное наблюдение состоит в том, что $\rho_{+}(\Delta) \rho_{-}\left(\Delta^{\prime}\right)
eq 0$ только д.тя таких конфигураций поля $\varphi$, для которых граница фаз содержит контур $\Gamma$, разделяющий $\Delta$ и $\Delta^{\prime}$. Поэтому
\[
\left\langle\rho_{+}(\Delta) \rho_{-}\left(\Delta^{\prime}\right)\right\rangle \leqslant \sum_{\left\{\Gamma: \Delta \subset \operatorname{Int} \Gamma \text { или } \Delta^{\prime} \subset \operatorname{Int} \Gamma\right\}} \operatorname{Pr}(\Gamma) .
\]

Очевидно, контур $\Gamma$ имеет длину $|\Gamma| \geqslant 4$. Кроме того, число различных контуров $\Gamma$ длины $n$ не превосходит $n^{2} 3^{n}$. Это утверждение доказывается по индукции. Начальную точку I можно выбрать не более чем $n^{2}$ способами. Если на решетке имеется кривая длины $j$, то ее можно продолжить до кривой длины $(j+1)$ без изменения начальной точки только тремя способами, а именно добавляя одно из ребер, примыкающих к последней точке. Таким образом, по теореме 16.2 .2
\[
\left\langle\rho_{+}(\Delta) \rho_{-}\left(\Delta^{\prime}\right)\right\rangle \leqslant \sum_{n=4}^{\infty} n^{2} 3^{n} e^{-n O\left(\lambda^{-1 / 2}\right)} \leqslant e^{-O\left(\lambda^{-1 / 2}\right)} .
\]

Для того чтобы доказать теорему 16.2.2, изучим возмущения евклидовой меры $d \mu$, определяемые полиномами вида
\[
Q(\xi, X)=\sum_{v=1}^{3} Q_{v}\left(\xi^{v}, X\right),
\]

где $X$ — некоторое объединение квадратов решетки $\Delta$ и
\[
\begin{array}{l}
Q_{1}\left(\xi^{(1)}, X\right)=\lambda^{1 / 2} \sum_{\Delta_{j} \in X} \xi_{j}^{(1)} \int_{\Delta_{j}}\left(: \varphi(x)^{2}:_{\lambda^{1 / 2}}-\lambda^{-1}\right) d x, \\
Q_{2}\left(\xi^{(2)}, X\right)=|\ln \lambda|^{-1} \sum_{\Delta_{j} \subset X} \xi_{j}^{(2)} \int_{\Delta_{j}}: \varphi(x)^{2}-\varphi\left(\Delta_{j}\right)^{2}:_{\lambda^{1 / 2}} d x, \\
Q_{3}\left(\xi^{(3)}, X\right)=\sum_{\substack{\Delta_{i}, \Delta_{j} \subset X \\
|i-j|=1}} \xi_{i j}^{(3)}\left(\varphi\left(\Delta_{i}\right)-\varphi\left(\Delta_{j}\right)\right) .
\end{array}
\]

Теорема 16.2.3. Существует такая константа $K<\infty$, что для всех $\left|\xi^{(v)}\right| \leqslant 1$ и для достаточно малых $\lambda$
\[
\left\langle e^{Q(\xi, X)}\right\rangle \leqslant e^{K \ln \lambda 1^{2}|X|} .
\]

Идея доказательства этой теоремы состоит в использований многократных отражений для сведения локальных оценок в бесконечном объеме к глобальным оценкам в конечном объеме. В силу предложения 10.6.1 и теоремы 12.4.2, достаточно оценить величину $\left\langle e^{Q_{v}\left(\xi^{(v)}, x\right)}\right\rangle_{\Lambda}$ в случае, когда все $\xi_{j}^{(v)}$ равны между собой,

а $X$ есть прямоугольник, площадь которого не меньше некоторой фиксированной доли площади $\Lambda$.
Доказательство теоремы 16.2 .2 в предположении, что доказана теорема 16.2.3. Начнем со следующего тождества:
\[
\left\langle\prod_{\left.i \Delta, \Delta^{\prime}\right) \in \mathscr{B}}\left[\rho_{+}(\Delta) \rho_{-}\left(\Delta^{\prime}\right)+\rho_{-}(\Delta) \rho_{+}\left(\Delta^{\prime}\right)\right]\right\rangle=\operatorname{Pr}(\Gamma),
\]

где $\mathscr{B}$ — множество пар соседних квадратов, таких, что ребра $\Delta \cap \Delta^{\prime}$ образуют $\Gamma$. Запишем $\rho_{+}$и $\rho_{-}$в виде
\[
\begin{array}{l}
\rho_{+}=\chi_{\left(0,(1 / 2) \lambda^{-1 / 2}\right)}+\chi_{\left((1 / 2) \lambda^{-1 / 2}, \infty\right)}=\rho_{+, s}+\rho_{+, l}, \\
\rho_{-}=\chi_{\left(-\infty,-(1 / 2) \lambda^{-1 / 2}\right)}+\chi_{\left(-(1 / 2) \lambda^{-1 / 2}, 0\right)}=\rho_{-, l}+\rho_{-, s},
\end{array}
\]

где $\chi_{(a, b)}(\xi)$ — характеристическая функция интервала $a<\xi<b$ и $\xi=\varphi(\Delta)$ или $\varphi\left(\Delta^{\prime}\right)$. Функции $\rho_{ \pm}$с индексами $s$, $l$ отвечают соответственно «малым» и «большим» значениям $\varphi$. Подставим (16.2.8) в (16.2.7); раскрыв скобки, получим $8^{|\mathscr{H}|}=8^{|\Gamma|}$ членов. Так как все они положительны, достаточно рассмотреть отдельный член и затем выбрать наибольший из них. Таким образом, для каждой пары $\left(\Delta_{l}, \Delta \mathrm{j}\right) € \mathscr{B}$ мы имеем произведение $\rho_{+}, l$ или $s$ и $\rho_{-, t \text { или } s .}$
Если в этом произведении оба $\rho$ имеют индекс $l$, мы воспользуемся оценкой
\[
\rho_{+, l}\left(\Delta_{i}\right) \rho_{-, l}\left(\Delta_{j}\right) \leqslant\left[\lambda^{1 / 2}\left(\varphi\left(\Delta_{i}\right)-\varphi\left(\Delta_{j}\right)\right)\right]^{M}=\left.\lambda^{M / 2}\left(d / d \xi_{i, j}^{(3)}\right)^{M} e^{Q_{3}}\right|_{\xi=0},
\]

где $M$-произвольное четное число. Остальные три типа произведений содержат $\rho_{+, 8}$ или $\rho_{-,}$. Эти члены мы оцениваем с помощью неравенства $1 \leqslant(4 / 3)\left(1-\lambda \varphi(\Delta)^{2}\right)$, справедливого при $2 \lambda^{1 / 2}|\varphi(\Delta)| \leqslant 1$. Заметим, что
\[
\begin{array}{l}
\lambda^{-1}-\varphi(\Delta)^{2}=\left(\lambda^{-1}-\int_{\Delta}: \varphi(x)^{2}: d x\right)+ \\
\quad+\left(\int_{\Delta}: \varphi(x)^{2}: d x-: \varphi(\Delta)^{2}:\right)+\int_{\Delta}(-\Delta+\lambda)^{-1}(x, y) d x d y .
\end{array}
\]

Последний член имеет порядок $O(|\ln \lambda|)$, поэтому, умножив его на $\lambda$, мы получим величину, меньшую $1 / 3$ при достаточно малых $\lambda$. Таким образом, находим оценку
\[
1 \leqslant 2 \lambda\left(\lambda^{-1}-\int_{\Delta}: \varphi(x)^{2}: d x\right)+2 \lambda\left(\int_{\Delta}: \varphi(x)^{2}: d x-: \varphi(\Delta)^{2}:\right) .
\]

Отсюда следует, что при четном $M$
\[
\rho_{s}(\Delta) \leqslant\left[4 \lambda \int_{\Delta}\left(: \varphi(x)^{2}:-\lambda^{-1}\right) d x\right]^{M}+\left[4 \lambda \int_{\Delta}: \varphi(x)^{2}-\varphi(\Delta)^{2}: d x\right]^{M} .
\]

Следовательно,
\[
\rho_{s}\left(\Delta_{j}\right) \leqslant\left(4 \lambda^{1 / 2}\right)^{M}\left[\left(\frac{d}{d \xi_{j}^{(1)}}\right)^{M} e^{Q_{1}}+\left(\frac{d}{d \xi_{j}^{(2)}}\right)^{M} \lambda^{M / 2}(\ln \lambda)^{M} e^{Q_{2}}\right]_{\xi=0} .
\]

Заметим, что $\lambda(\ln \lambda)^{2} \leqslant 1$ при $\lambda \leqslant 1 / 2$, поэтому множителем $\lambda^{M / 2}(\ln \lambda)^{M}$ можно пренебречь. Опять раскроем скобки и из полученных таким образом слагаемых (их число не превосходит $5 \mid \mathrm{Fl}$ ) выберем наибольшее. Максимальному члену соответствует некоторый выбор полиномов $Q_{v}$, отвечающих каждому квадрату $\Delta$, примыкающему к Г. Пусть $\mathscr{B}_{v}$ обозначает множество квадратов (или пар квадратов при $v=3$ ), соответствующих члену $Q_{v}$, и пусть $X_{v}$ — объединение квадратов, входящих в состав $\mathscr{B}_{v}$. Положим $\mathscr{B}=\bigcup_{v} \mathscr{B}_{v}$ и $X=\bigcup_{v} X_{v}$. Тогда
\[
\begin{aligned}
\operatorname{Pr}(\Gamma) \leqslant(40)^{|\Gamma|} \prod_{\Delta_{j} \in X_{1}}\left(4 \lambda^{1 / 2} d / d \xi_{j}^{(1)}\right)^{M} & \prod_{\Delta_{j} \in X_{2}}\left(4 \lambda^{1 / 2} d / d \xi_{j}^{(2)}\right)^{M} \times \\
& \times \prod_{\left(\Delta_{i}, \Delta_{j}\right) \in \mathscr{F}_{3}}\left(\lambda^{1 / 2} d / d \xi_{i j}^{(3)}\right)^{M}\left\langle e^{Q(\xi, X)\rangle\left.\right|_{\xi=0} .}\right.
\end{aligned}
\]

Производные в точке $\xi=0$ вычислим с помощью интегральной формулы Коши. Для этого продолжим функцию $\langle\exp Q(\xi, X)\rangle$ в комплексную область по переменным $\xi_{j}^{(v)}, \xi_{i j}^{(3)}$ и проинтегрируем по произведению окружностей $\left|\xi_{j}^{(v)}\right|=$ $=\left|\xi_{i j}^{(3)}\right|=1$. Так как полином $Q$ линеен по $\xi$, имеем $|\exp (Q(\xi))| \leqslant \exp (Q(\operatorname{Re} \xi))$, и по теореме Коши получаем:
$\operatorname{Pr}(\Gamma) \leqslant(40)^{|\Gamma|}\left(4 \lambda^{1 / 2}\right)^{M\left(\left|\mathscr{H}_{1}\right|+\left|\mathscr{B}_{2}\right|+\left|\mathscr{B}_{3}\right|\right)}(M !)^{\left|\mathscr{B}_{1}\right|+\left|\mathscr{B}_{2}\right|+\left|\mathscr{F}_{3}\right|} \times$

Положим $\mathscr{N} \equiv\left|\mathscr{B}_{1}\right|+\left|\mathscr{B}_{2}\right|+\left|\mathscr{B}_{3}\right|$. Заметим, что $|\Gamma| \leqslant \mathscr{N} \leqslant 2|\Gamma|$ и $|X| \leqslant$ $\leqslant 2|\Gamma|$. По теореме 16.23
\[
\operatorname{Pr}(\Gamma) \leqslant(40)^{|\Gamma|}\left[\lambda^{1 / 2} 4 M !^{(1 / M)}\right]^{\mathscr{N} M} \exp \left[2 K(\ln \lambda)^{2}|\Gamma|\right] .
\]

Воспользуемся формулой Стирлинга $M !^{(1 / M)} \sim M / e$ и перепишем эту оценку в виде
\[
\operatorname{Pr}(\Gamma) \leqslant\left[\left(5 \lambda^{1 / 2} M / e\right)^{M} \exp \left\{2 K(\ln \lambda)^{2}+\ln (40)\right\}\right]^{\mid \Gamma ।} .
\]

Выберем в качестве $M$ наибольшее четное число, удовлетворяющее неравенству $5 \lambda^{1 / 2} M \leqslant 1$. Тогда существует такая константа $K_{1}$, не зависящая от $\lambda$ и $\Gamma$, что при достаточно малых $\lambda$
\[
\operatorname{Pr}(\Gamma) \leqslant \exp \left[\left\{-2 K_{1} \lambda^{-1 / 2}+2 K(\ln \lambda)^{2}+\ln (40)\right\}|\Gamma|\right] \leqslant \exp \left[-K_{1} \lambda^{-1 / 2}|\Gamma|\right] .
\]

Таким образом, теорема 16.2 .2 доказана и существование фазовых переходов сводится к доказательству теоремы 16.2.3.

Доказательство теоремы 16.2.3 основано на двух предварительных связанных между собой оценках.
Предложение 16.2.4. Пусть $0<\lambda \leqslant 1 / 2$, и пусть $\Lambda$ — прямоугольник $L \times T$. Предположим, что $L \leqslant T$ и $\lambda^{-3 / 2} \leqslant L$. Для вещественной функции $\xi(X) \Subset L_{\infty}(\Lambda)$ определим
\[
W=\int_{\Lambda} V d x+Q_{1}=\int_{\Lambda}: \lambda\left(\varphi^{2}-\lambda^{-1}\right)^{2}+\lambda^{1 / 2} \xi(x)\left(\varphi^{2}-\lambda^{-1}\right):_{\lambda^{1 / 2}} d x .
\]

Пусть $С=\left(-\Delta_{\partial \Lambda}+\lambda\right)^{-1}$ обозначает ковариационный оператор
\[
\exp [-K|\Lambda|] \leqslant \int \exp [-W] d \varphi_{C} \leqslant \exp \left[K(\ln \lambda)^{2}|\Lambda|\right],
\]

乞де К-константа, зависящая только от $\|\xi\|_{L_{\infty}}$.

Замечание. Множитель $(\ln \lambda)^{2}$ из оценки сверху можно исключить [Glimm, Jaffe, Spencer, 1976a].
Предложение 16.2.5. Существует такая константа $K<\infty$, что для любых $0<\lambda \leqslant 1 / 2$ и $\left|\xi_{i}^{(2)}\right|,\left|\xi_{i j}^{(3)}\right| \leqslant 24$, а также для любого пря. моугольника $X$
\[
\int \exp \left[Q_{2}\left(\xi^{(2)}, X\right)+Q_{3}\left(\xi^{(3)}, X\right)\right] d \varphi_{C} \leqslant \exp [K|X|] .
\]

Доказательство теоремы 16.2.3 в предположении, что доказаны предложения 16.2.4-5. В силу неравенства Гёльдера,
\[
\langle\exp Q(\xi, X)\rangle \leqslant \sup _{1 \leqslant v \leqslant 3}\left\langle\exp Q_{v}\left(3 \xi^{(v)}, X\right)\right\rangle
\]

поэтому достаточно оценить члены, соответствующие отдельным $Q_{v}$, при условии что $\|\xi\|_{L_{\infty}} \leqslant 3$. При $v=1,2$ оценку можно свести к случаю, когда $X$ — прямоугольник, если воспользоваться оценкой по методу многократных отражений, доказанной в следствии 10.5.8, положив $k^{(i)}=\exp Q_{
u}\left(\xi^{(
u)}, \Delta_{j}\right)$. После отражений функций $k^{(j)}$ получим функции вида $\exp Q_{v}\left(\xi^{(v)}, Y\right)$, где $Y$ — прямоугольник. Тогда необходимая оценка для (16.2.11) при $v=1,2$ получится из оценки
\[
\left\langle\exp Q_{v}\left(\xi^{(
u)}, Y\right)\right\rangle \leqslant \exp \left[K(\ln \lambda)^{2}|Y|\right]
\]

для прямоугольников $Y$, которую мы докажем ниже. Соответствующая редукция в случае $v=3$ проводится следующим образом. Вначале, пользуясь неравенством Гёльдера, мы сводим задачу к случаю, когда $Q_{3}$ есть сумма по непересекающимся парам. (В результате условие $|\xi| \leqslant 1$ заменяется условием $|\xi| \leqslant 4$.) Далее применяем следствие 10.5 .8 , заменив квадрат $\Delta_{j}$ прямоугольником $\Delta U \Delta^{\prime}$, где $\left(\Delta, \Delta^{\prime}\right) \in \mathscr{B}_{3}$. Таким образом, необходимо оценить среднее с $v=3$ величиной (16.2.12) в случае, когда $Y$ есть прямоугольник $2 L_{1} \times L_{2}$, а $\xi_{i j}^{(3)}
eq 0$ только для $\left(\Delta_{i}, \Delta_{j}\right)$, для которых объединение $\Delta_{i} \cup \Delta_{j}$ принадлежит множеству $\mathscr{B}$, состоящему из $L_{1} L_{2}$ непересекающихся прямоугольников $2 \times 1$, покрывающих $Y$.

Среднее в конечном объеме $\langle\cdot\rangle_{\Lambda}$, определяемое мерой $d \mu_{\Lambda}$ вида (11.2.1), сходится к среднему $\langle\cdot\rangle$ при $\Lambda \uparrow R^{2}$. Поэтому
\[
\left\langle\exp Q_{v}\left(\xi^{(v)}, Y\right)\right\rangle \leqslant 2\left\langle\exp Q_{v}\left(\xi^{(v)}, Y\right)\right\rangle_{\Lambda},
\]

если $\Lambda$ содержит достаточно большее множество, зависящее от $\xi, Y, \lambda$ и $v$. Допустим, что $\Lambda \supset \Lambda(\xi, Y, \lambda, v)$. Мы будем оценивать (16.2.13) при фиксированых $(\xi, Y, \lambda, v)$, но получим оценку $\exp \left[K(\ln \lambda)^{2}|Y|\right]$, в которой $K$ не зависит от $(\xi, y, \lambda, v)$. Не теряя общности, можно выбрать в качестве $\Lambda$ прямоугольник $L \times T$, удовлетворяющий условиям $\lambda-3 / 2 \leqslant L \ll T$.

Следующий шаг оценки величины (16.2.13) состоит в том, что $Y$ увеличивается по сравнению с $\Lambda$ до тех пор, пока не будет выполнено условие $|\Lambda| \leqslant$ $\leqslant 4|Y|$. Применим несимметричную оценку по методу многократных отражений, доказанную в теореме 12.4.2, положив $B=\exp Q_{v}\left(\xi^{(v)}, Y\right)$ и $K=Y$. Тогда $\left|\Lambda^{(n)}\right| \leqslant 4\left|K^{(n)}\right|$ и $B^{(n)}=\exp Q_{v}\left(\xi^{(v)}, K^{(n)}\right)$. Условие (12.4.9), налагаемое на $Z(\Lambda)$, вытекает из оценки (16.2.9) предложения 16.2 .4 в случае $\xi \equiv 0$. Таким образом, осталось оценить
\[
\left\langle B^{(n)}\right\rangle_{\Lambda}=\left\langle\exp Q_{
u}\left(\xi^{(v)}, K^{(n)}\right)\right\rangle_{\Lambda}=Z(\Lambda)^{-1} \int \exp \left[Q_{
u}\left(\xi^{(v)}, K^{(n)}\right)-V(\Lambda)\right] d \varphi_{C},
\]

где $\Lambda=\Lambda^{(n)}$. Для доказательства (16.2.12) достаточно получить оценку
\[
\left\langle B^{(n)}\right\rangle_{\Lambda(n)} \leqslant \exp \left[K(\ln \lambda)^{2}\left|\Lambda^{(n)}\right|\right] .
\]
Из предложения 16.2 .4 в случае $\xi=0$ вытекает, что $Z\left(\Lambda^{(n)}\right)$ оценивается снизу величиной $\exp \left[-K\left|\Lambda^{(n)}\right|\right]$. Оценка сверху для $\int \exp \left[Q_{1}-V\right] d \varphi_{c}$ также следует из предложения 162.4 . При $v=2,3$ применяем неравенство Шварца:
\[
\int \exp \left[Q_{v}-V\right] d \varphi_{C} \leqslant\left\{\int \exp \left[2 Q_{v}\right] d \varphi_{C} \cdot \int \exp [-2 V] d \varphi_{C}\right\}^{1 / 2} .
\]

Два миожителя в правой части оцениваются сверху с помощью предложений 16.2 .5 и 16.2 .4 соответственно.

Доказательство предложения 16.2.4. Применяя масштабное тождество с $\alpha=\Lambda^{1 / 2}$, получаем (в обозначениях §8.6)
\[
\int \exp [-W] d \Phi_{C}=\int \exp \left[-: P(\varphi, f):_{C_{\varnothing}}\right] d \Phi_{C_{B}} .
\]

Здесь $C_{\varnothing}=(-\Delta+I)^{-1}$ и $C_{B}=\left(-\Delta_{\partial\left(\lambda^{1 / 2} \Lambda\right)}+I\right)^{-1}$. Пусть $\chi_{x}(x)$ обозначает характеристическую функцию множества $X$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
f_{4}=\chi_{\lambda^{1 / 2} \Lambda^{\prime}}, \quad f_{2}=\left\{-2 \lambda^{-1}+\lambda^{-1 / 2} \xi(x \sqrt{\lambda})\right\} \chi_{\lambda^{1 / 2} \Lambda^{\prime}} \\
f_{0}=\left\{\lambda^{-2}-\lambda^{-3 / 2} \xi(x / \sqrt{\lambda})\right\} \chi_{\lambda^{1 / 2} \Lambda^{*}}
\end{array}
\]

В качестве следующего шага произведем виково переупорядочение полинома $P$. Для этого воспользуемся преобразованием (8.6.1) и найдем пару функций $g=\left(g_{0}, g_{2}\right)$, удовлетворяющую уравнению
\[
: P(\varphi, f):_{\varnothing} \rightleftharpoons: P(\varphi, f+g){ }_{c_{B}} .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{l}
g_{2}=-6 \delta c(x) \chi_{\lambda^{1 / 2} \Lambda^{\prime}} \\
g_{0}=\left\{3(\delta c(x))^{2}+2 \lambda^{-1} \delta c(x)-\lambda^{-1 / 2} \xi(x / \sqrt{\lambda}) \delta c(x)\right\} \chi_{\lambda^{1 / 2} \Lambda} .
\end{array}
\]

Предварительно заметим, что
\[
|\delta c(x)| \leqslant O(1) e^{-d}(1+|\ln d|)
\]

где $d=\operatorname{dist}\left(x, \partial\left(\lambda^{1 / 2} \Lambda\right)\right)$. Следовательно,
\[
\left|\int g_{0}(x) d x\right| \leqslant K|\Lambda|,
\]

тде константа $K$ завнсит только от $\|\xi\|_{L_{\infty}}$. Здесь мы воспользовались тем фактом, что $\left|\lambda^{1 / 2} \Lambda\right|=\lambda|\Lambda|$. В силу неравенства (16.2.17), вклад, отвечающий $g_{0}$, при доказательстве (16.2.9) можно не учитывать.
(i) Оценка снизу. Пусть $\psi(x)=\varphi(x)+h(x)$ обозначает сдвинутую переменную поля. Функция $h \in C_{0}^{\infty}\left(\lambda^{1 / 2} \Lambda\right)$ выбирается ниже. Применяем формулу для сдвига поля (9.1.27′)
\[
\int \exp \left[-: P\left(\varphi, f+g_{2}\right):_{C_{B}}\right] d \varphi_{C_{B}}=\int \exp \left[-: P(\psi, l):_{C_{B}}\right] d \Psi_{C_{B}},
\]

где $l=\left\{l_{i}\right\}$ — множество констант связи, определяемое самим этим равенством. Согласно замечанию 1 к следствию 10.3.2,
\[
\exp \left[-\int l_{0}(x) d x\right] \leqslant \int \exp \left[-: P(\psi, l):_{C_{B}}\right] d \psi_{C_{B}}
\]
и можно выбрагь $h$ так, чтобы оптимизировать эту оценку. В частности, выбирая $h$ специальным образом, получим верхнюю оценку
\[
\int l_{0}(x) d x \leqslant K|\Lambda| .
\]

Из нее следует нижняя оценка (16.2.9). Заметим, что
\[
\begin{array}{l}
\int l_{0}(x) d x=P\left(h, f+g_{2}\right)+\frac{1}{2}\left\langle h, C_{B}^{-1} h\right\rangle= \\
=\int_{\lambda^{1 / 2} \Lambda}\left[\left(h(x)^{2}-\lambda^{-1}\right)^{2}+\lambda^{-1 / 2}\left(h(x)^{2}-\lambda^{-1}\right) \xi(x / \sqrt{\lambda})-\right. \\
\left.\quad-6 \delta c(x) h(x)^{2}\right] d x+\frac{1}{2}\langle h,(-\Delta+I) h\rangle .
\end{array}
\]

Пусть $h(x)=\lambda^{-1 / 2} \chi_{s}(x)$, где $\chi_{s}$ — сглаженная характеристическая функция множества $\lambda^{1 / 2} \Lambda$, удовлетворяющая следующим условиям:
\[
\begin{array}{c}
0 \leqslant \chi_{s}(x) \leqslant 1, \quad \chi_{s} \in C_{0}^{\infty}\left(\lambda^{1 / 2} \Lambda\right), \\
\chi_{s}(x)=1, \quad \text { если dist }\left(x, \partial\left(\lambda^{1 / 2} \Lambda\right)\right) \geqslant 1 .
\end{array}
\]

Кроме того, мы выбираем $\chi_{s}$ так, что
\[
\left|
abla \chi_{s}(x)\right| \leqslant \text { const, }
\]

где константа не зависит от $\lambda, \Lambda$. Заметим, что
\[

abla \chi_{s}(x)=0, \quad \text { если dist }\left(x, \partial\left(\lambda^{1 / 2} \Lambda\right)\right) \geqslant 1 .
\]

Используя (16.2.21-22) и предположение $\lambda^{-3 / 2} \leqslant L$, получаем, что
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2}\langle h,(-\Delta+I) h\rangle & =(2 \lambda)^{-1}\left(\left\|
abla \chi_{s}\right\|^{2}+\left\|\chi_{s}\right\|^{2}\right) \leqslant \\
& \leqslant(2 \lambda)^{-1}\left\{\text { const } \lambda^{1 / 2}(L+T)+\lambda|\Lambda|\right\} \leqslant \\
& \leqslant \text { const }\left\{\lambda^{-1 / 2}(L+T)+|\Lambda|\right\} \leqslant \text { const }|\Lambda| .
\end{aligned}
\]

Таким образом, второй член в (16.2.20) удовлетворяет оценке (16.2.19).
Оценим теперь первый член. Для этого заметим, что $h(x)^{2}-\lambda^{-1} \equiv 0$ при $\operatorname{dist}\left(x, \partial\left(\lambda^{1 / 2} \Lambda\right)\right) \leqslant 1$. Кроме того, $0 \leqslant \lambda^{-1}-h(x)^{2} \leqslant 2 \lambda^{-1}$. Позтому
\[
\begin{array}{l}
\int\left[\left(h(x)^{2}-\lambda^{-1}\right)^{2}+\lambda^{-1 / 2}\left(h(x)^{2}-\lambda^{-1}\right) \xi(x / \sqrt{\lambda})\right] d x \leqslant \\
\leqslant 2\left(4 \lambda^{-2}\right) \lambda^{1 / 2}(L+T)+4 \lambda^{-3 / 2}\|\xi\|_{L_{\infty}} \lambda^{1 / 2}(L+T) \leqslant \\
\quad \leqslant \text { const } \lambda^{-3 / 2}(L+T) \leqslant \mathrm{const}|\Lambda|
\end{array}
\]

где константа зависит только от $\|\xi\|_{L_{\infty}}$. Наконец, учитывая (16.2.16), имеем
\[
\left|\int \delta c(x) h(x)^{2} d x\right| \leqslant \lambda^{-1} \int_{\lambda^{1 / 2} \Lambda}|\delta c(x)| d x \leqslant \text { const } \lambda^{-1} \lambda|\Lambda| \leqslant \text { const }|\Lambda| .
\]

Суммируя эти оценки, получаем (16.2.19).
(ii) Оценка сверху. Мы получим искомую оценку сверху в (16.2.9) из оценок: для единичных квадратов, покрываюних $\lambda^{1 / 2} \Lambda$. Воспользуемся неравенством об условленности (10.3.7) и оценим (16.2.15) сверху. Учитывая (16.2.17), получаем, что
\[
\begin{aligned}
\int \exp [-W] d \varphi_{C}=\int \exp \left[-: P(\varphi, f+g):_{C_{B}}\right] d \varphi_{C_{B}}=Z_{B}(f+g) \leqslant \\
\leqslant \prod_{\Delta} Z_{N}\left((f+g) \chi_{\Delta}\right) \leqslant \exp [K|\Lambda|] \prod_{\Delta} Z_{N}\left(\left(f+g_{2}\right) \chi_{\Delta}\right) .
\end{aligned}
\]

Здесь $Z_{N}$ обозначает статистическую сумму, отвечающую ковариационному оператору $C_{N}=\left(-\Delta_{N}+I\right)^{-1}$ с граничными условиями Неймана. При этом оператор $\bar{C}_{N}$ задает и виково упорядочение, и ковариацию гауссовой меры. Оценим сверху $Z_{N}\left(\left(f+g_{2}\right) \chi_{\Delta}\right)$. Для этого мы получим оценку снизу для $: P\left(\Phi_{x^{\prime}}(f+\right.$ $\left.\left.+g_{2}\right) \chi_{\Delta}\right):_{C_{N}}$. Используя затем эту оценку и неравенство (8.6.23), получим, что
\[
Z_{N}\left(\left(f+g_{2}\right) \chi_{\Delta}\right) \leqslant \exp \left[K \lambda^{-1}(\ln \lambda)^{2}\right],
\]

откуда вытекает требуемое неравенство
\[
\int \exp [-W] d \varphi_{C} \leqslant \exp \left[K \lambda^{-1}\left\{1+(\ln \lambda)^{2}\right\} \lambda|\Lambda|\right] \leqslant \exp \left[\text { const }(\ln \lambda)^{2}|\Lambda|\right] .
\]
(Заметим, что $Z_{N}\left(\left(f+g_{2}\right) \chi_{\Delta}\right.$ ) можно было бы оценить с помощью предложения 8.6.2, однако в этой оценке имеется сильная расходимость при $\lambda \rightarrow 0$.)

Для того чтобы оценить снизу : $P\left(\varphi_{\varkappa},\left(f+g_{2}\right) \chi_{\Delta}\right):_{c_{N}}$, воспользуемся формулой викова упорядочения (8.5.5) и запишем
\[
-\int_{\Delta} B(x) d x \leqslant \int_{\Delta}\left[A(x)^{2}-B(x)\right] d x=: P\left(\Phi_{X^{\prime}}\left(f+g_{2}\right) \chi_{\Delta}\right): c_{N} .
\]

Здесь $A$ определяется с помощью приведения к полному квадрату, а $B$ состоит из остальных членов, причем в $B$ расходимости старшего порядка сокращаются:
\[
\begin{array}{l}
A(x)=\left\{\varphi_{\chi}(x)^{2}+\frac{1}{2} f_{2}(x)+\frac{1}{2} g_{2}(x)-3 c_{x}(x)\right\} \chi_{\lambda^{1 / 2} \Lambda}(x), \\
B(x)=\left\{\frac{1}{4}\left(f_{2}(x)+g_{2}(x)-6 c_{\varkappa}(x)\right)^{2}-f_{0}(x)+c_{x}(x)\left(f_{2}(x)+g_{2}(x)\right)-\right. \\
\left.-3 c_{\chi}(x)^{2}\right\} \chi_{\lambda} \mathrm{t} / 2_{\Lambda}(x)=\left\{6 \lambda^{-1} \delta c(x)-3 \lambda^{-1 / 2} \xi \delta c+9(\delta c(x))^{2}-2 c_{x}(x)\left(f_{2}(x)+\right.\right. \\
\left.\left.+g_{2}(x)\right)+(4 \lambda)^{-1} \xi^{2}+6 c_{\varkappa}(x)^{2}\right\} \chi_{\lambda^{1 / 2} \Lambda}(x) \text {, } \\
\end{array}
\]

где $c_{\chi}(x)=\delta_{\varkappa} * C_{N} * \delta_{\varkappa}=O(\ln x)$, а функция $\delta c(x)$ определена выше. Таким образом,
\[
\int_{\Delta} B(x) d x \leqslant \text { const }\left[\lambda^{-1}+(\ln x)^{2}+\lambda^{-1} \ln x\right]
\]

и константа зависит только от $\|\xi\|_{L_{\infty}}$. Заметим, что норма $M\left(\left(f+g_{2}\right) \chi_{\Delta}\right)$, определяемая выражением (8.6.6), удовлетворяет неравенствам const $\lambda^{-1} \leqslant M((f+$ $\left.\left.+g_{2}\right) \chi_{\Delta}\right) \leqslant$ const $\lambda^{-1}$, где константы зависят только от $\|\xi\|_{L_{\infty}}$. Следовательно,
\[
-\left\{1+M\left(\left(f+g_{2}\right) \chi_{\Delta}\right)\right\}(\ln x)^{2} \leqslant: P\left(\varphi_{\varkappa^{\prime}}\left(f+g_{2}\right) \chi_{\Delta}\right):_{c_{N}}
\]

Применим оценку (8.6.23), положив $m=M=1, \Lambda=\Delta, n=4, L=0$. В результате получим требуемое неравенство
\[
Z_{N}\left(\left(f+g_{2}\right) \chi_{\Delta}\right) \leqslant \exp \left[K \lambda^{-1}(\ln \lambda)^{2}\right] .
\]

Доказательство предложения 16.2.5. С учетом неравенства Іварца случаи $Q_{2}$ и $Q_{3}$ можно оценивать по отдельности. При этом область значений увеличивается в два раза. Рассмотрим вначале $Q_{3}$. Как и при доказательстве теоремы 16.2 .3 , применяя неравенство Гёльдера, мы можем считать, что $Q_{3}$ есть сумма по непересекающимся парам квадратов $\left(\Delta, \Delta^{\prime}\right)$. Пусть $\mathscr{B}$ обозначает множество таких пар.

Положим $C_{N}=\left(-\Delta_{N}+\lambda\right)^{-1}$, где оператор $\Delta_{N}$ определяется граничными условиями Неймана на $\partial\left(\Delta U \Delta^{\prime}\right)$ для всех пар $\left(\Delta, \Delta^{\prime}\right) \in \mathscr{\mathscr { R }}$. По неравенству обусловленности предложения 10.3.1
\[
\int \exp \left[Q_{3}\left(\xi^{(3)}, X\right)\right] d \varphi_{C} \leqslant \int \exp \left[Q_{3}\left(\xi^{(3)}, X\right)\right] d \varphi_{C_{N}} .
\]

Пусть $\left(\Delta, \Delta^{\prime}\right) \in \mathscr{B}$; полоким $h \equiv \chi_{\Delta}-\chi_{\Delta^{\prime}}$. Так как правая часть неравенства (16.2.24) факторизуется, мы получаем
\[
\int \exp \left[Q_{3}\left(\xi^{(3)}, X\right)\right] d \varphi_{C_{N}} \leqslant \exp \left[\frac{1}{2}\left\langle h, C_{N} h\right\rangle\left\|\xi^{(3)}\right\|_{L_{\infty}}^{2}|\mathscr{B}|\right] .
\]

Функция $h$ ортогональна функциям, постоянным на $\Delta U \Delta^{\prime}$. Поэтому $h$ ортогональна основному состоянию оператора — $\Delta_{N}$ в $L_{2}\left(\Delta U \Delta^{\prime}\right)$. В этом гильбертовом пространстве $C_{N}$ — компактный оператор. Пусть $E_{1}$ — наименьшее ненулевое собственное значение оператора $-\Delta_{N}$. Тогда справедлива оценка, не зависящая от $\lambda$ :
\[
\left\langle h, C_{N} h\right\rangle \leqslant\left(E_{1}+\lambda\right)^{-1}\|h\|_{L_{2}}^{2} \leqslant 2 E_{1}^{-1} .
\]

Так как $|\mathscr{B}| \leqslant|X|$, мы полуцаем требуемое неравенство
\[
\int \exp \left[Q_{3}\left(\xi^{(3)}, X\right)\right] d \varphi_{C} \leqslant \exp [K|X|]
\]

в котором константа $K$ не зависит от $\lambda, X, \Lambda$.
Рассмотрим теперь случай, отвечающий $Q_{2}$. Вначале произведем виково переупорядочение полинома $Q_{2}$ по отношению к ковариации $C=\left(-\Delta_{\partial \Lambda}+\lambda\right)^{-1}$ с граничными условиями Дирихле на $\partial \Lambda$. Тогда
\[
: Q_{2}\left(\xi^{(2)}, X\right):_{\lambda^{1 / 2}}=: Q_{2}\left(\xi^{(2)}, X\right):_{C}+\alpha
\]

где $\alpha$-константа, удовлетворяющая равномерной по $\lambda$ оценке $|\alpha| \leqslant O(|X|)$. Таким образом, $\alpha$ можно в дальнейшем не учитывать.

Пусть $C_{N}=\left(-\Delta_{N}+\lambda\right)^{-1}$ обозначает теперь ковариационный оператор сграничными условиями Неймана на границе всех квадратов решетки $\Delta$. Согласно неравенству обусловленности предложения 10.3.1,
\[
\int \exp \left[Q_{2}\left(\xi^{(2)}, X\right)\right] d \varphi_{C} \leqslant \prod_{i} \int \exp \left[: Q_{2}\left(\xi_{i}^{(2)}, \Delta_{i}\right):_{c_{N}}\right] d \varphi_{C_{N}}
\]

Достаточно показать, что каждый член в этом произведении не превосходит некоторой константы, не зависящей от $\lambda$.

Пусть $\chi_{\Delta}$ обозначает оператор умножения на $\chi_{\Delta}$, а $P_{\Delta}$ — оператор ортогонального проектирования на подпространство констант в $L_{2}(\Delta)$. Тогда

\[
|\ln \lambda|^{-1} \xi^{(2)}: \varphi^{2}(\Delta)-\varphi(\Delta)^{2}{ }_{C_{N}}=\int: \varphi(x) \varphi(y):{ }_{C_{N}} v(x, y) d x d y,
\]

тде $v(x, y)$ — ядро оператора $v=|\ln \lambda|^{-1} \xi^{(2)}\left(\chi_{\Delta}-P_{\Delta}\right)$. Из (9.1.26b) следует, что
\[
\begin{aligned}
\int \exp \left[: Q_{2}\left(\xi^{(2)}, \Delta\right): C_{N}\right] d \varphi_{C_{N}} & =\exp \left[-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\{\ln (I-A)+A\}\right] \leqslant \\
& \leqslant \exp \left[\text { const }\|A\|_{\text {HS }}^{2}\right],
\end{aligned}
\]

тде $A=C_{N}^{1 / 2} v C_{N}^{1 / 2}$, а $\|A\|_{\text {нs }}$ обозначает норму Гильберта — Шмидта оператора $A$. Последнее неравенство выполняется, если $\|A\|_{\text {нS }}<1$.

Подпространство констант принадлежит ядру оператора $\chi_{\Delta}-P_{\Delta}$ в $L_{2}(\Delta)$ и $0 \leqslant \chi_{\Delta}-P_{\Delta} \leqslant I$. Kроме того, $\left(-\Delta_{N}+\lambda\right)^{-1}$ — компактный оператор в $L_{2}(\Delta)$. Следовательно,
\[
\|A\|_{\mathrm{HS}}^{2} \leqslant|\ln \lambda|^{-2} \xi^{(2) 2} \operatorname{Tr}\left(C_{N}\left(\chi_{\Delta}-P_{\Delta}\right) C_{N}\right)=|\ln \lambda|^{-2} \xi^{(2) 2} \sum_{j
eq 0}\left(E_{j}+\lambda\right)^{-2},
\]

где $E_{j}=$ const $|j|^{2}\left(j \in Z^{2}\right)$ — ненулевые собственные значения оператора $-\Delta_{N}$ в $L_{2}(\Delta)$. Сумма $\sum_{j
eq 0} E_{i}^{-2}$ сходится, поэтому $\|A\|_{H S}<1$ при достаточно малых $\lambda$.