Рассмотрим простейший случай, для которого удается доказать существование по крайней мере двух фаз и фазового перехода первого рода, а именно случай полиномиального взаимодействия вида
$$V(\phi )=\lambda :{({\phi }^2-{\lambda }^{-1})}^2{:}_{{\lambda }^{1/2}},0<\lambda \ll 1,$$

в размерности $d=2$. Здесь индекс ${\lambda }^{1/2}$ обозначает виково упорядочение по отношению к ковариационному оператору $(-\mathrm{\Delta }+\lambda {)}^{-1}$. Аналогичные методы применимы в случае, когда ${\phi }^4$ заменяется четным положительным полиномом. С помощью соответствующего викова упорядочения любой четный полином четвертой степени, приводящий к двум фазам, можно представить в виде (16.2.1), см. [Glimm, Jaffe, Spencer, 1976b]. Обобщение изложенных здесь методов позволяет доказать существование двух фаз для некоторых взаимодействий $V$, не являющихся ни четными, ни симметричными относительно какого-нибудь $\phi ;$ см. гл. 20.
Теорема 16.2.1. Пусть $d\mu$-мера на ${\mathcal{P}}^{\prime }\left(R^2\right)$, построенная, как в гл. 11, с помощью полиномиального взаимодействия $V$ вида (16.2.1) с массой $m={\lambda }^{1/2}$. Тогда для достаточно малых $\lambda >0$
мере $d\mu$ соответствуют по крайней мере два вакуумных состояния, т. е. в системе имеется несколько фаз.

Доказательство этой теоремы строится по образцу доказательства аналогичного результата для модели Изинга в § 5.4. Для того чтобы исключить флуктуации поля на малых расстояниях, не имеющие отношения к проблеме фазовых переходов, мы усредним поле $\phi$ по небольшим областям. Точнее, мы покроем $R^2$ решеткой единичных квадратов ${\mathrm{\Delta }}_i$ и будем рассматривать
$$\phi (\mathrm{\Delta })={\int }_{\mathrm{\Delta }}\phi (x)dx.$$

Тогда выражение
$$\sigma (\mathrm{\Delta })=\mathrm{sign}\phi (\mathrm{\Delta })$$

определяет изинговы переменные, так как $\sigma$ принимают значения $\pm 1$ и определены в узлах целочисленной решетки (центрах квадратов ${\mathrm{\Delta }}_i$ ). В силу симметрии меры $d\mu$ относительно преобразования $\phi \to -\phi$,
$$⟨\sigma (\mathrm{\Delta })⟩=\int \sigma (\mathrm{\Delta })d\mu =0.$$

Для доказательства теоремы необходимо исследовать распределение вероятностей для границ фаз. Почти каждой конфигурации классического поля $\phi \in {\mathcal{P}}^{\prime }\left(R^2\right)$ отвечает конфигурация модели Изинга $\sigma (\mathrm{\Delta })$. Здесь $\sigma \in \{\pm 1{\}}^{Z^2}$, т. е. $\sigma$ есть функция на решетке $Z^2$ (рассматриваемой как множество центров квадратов ${\mathrm{\Delta }}_i$ ) со значениями $\pm 1$. Граница фаз для конфигураций $\phi$ или $\sigma$ есть граница множества ${\sigma }^{-1}(1)$, или, другими словами, множество таких отрезков, которые разделяют два квадрата с разными знаками $\sigma$. Поскольку мы имеем дело с трансляционно-инвариантной теорией в бесконечном объеме, множество конфигураций, соответствующих определенной границе фаз:
$$\partial {\sigma }^{-1}(1)=\text{ граница фаз }\sigma =\text{ граница фаз }\phi ,$$

имеет меру нуль. Поэтому в качестве элементарных событий мы рассматриваем множества
$$\{\phi :\mathrm{\Gamma }\subset \text{ граница фаз }\phi \},$$

где $\mathrm{\Gamma }$ — некоторое конечное множество отрезков на решетке. Допуская некоторую вольность, мы будем использовать обозначение Г и для множества конфигураций (16.2.6) в ${\mathcal{P}}^{\prime }\left(R^2\right)$.
Теорема 16.2.2. Для достаточно малых $\lambda$
$$\mathrm{Pr}(\mathrm{\Gamma })={\int }_{\mathrm{\Gamma }}d\mu ⩽e^{-\text{const }{\lambda }^{-1/2}|\mathrm{\Gamma }|},$$

Доказательство теоремы 16.2.1 в предположении, что доказана теорема 16.2.2. ${\mathrm{M}}_{\mathrm{b}}$ покажем, что $⟨\sigma (\mathrm{\Delta })\sigma \left({\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)⟩$ не стремится к нулю при $\mathrm{dist}(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime })\to \mathrm{\infty }$. Согласно (16.2.4), $⟨\sigma (\mathrm{\Delta })⟩=0$, поэтому из предложения 16.1.3 будет следовать, что вакуумное состояние не единственно.

Пусть ${\rho }_{\pm }(\mathrm{\Delta })=\frac{1}{2}\{1\pm \sigma (\mathrm{\Delta })\}$ обозначает характеристические функции для положительных и отрицательных значений $\phi (\mathrm{\Delta })$. Поскольку $⟨\phi ⟩=⟨\sigma (\mathrm{\Delta })⟩=0$, имеем $⟨\sigma (\mathrm{\Delta })\sigma \left({\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)⟩=1-4⟨{\rho }_{+}(\mathrm{\Delta }){\rho }_{-}\left({\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)⟩$, и для завершения доказательства достаточно показать, что $⟨{\rho }_{+}(\mathrm{\Delta }){\rho }_{-}\left({\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)⟩⩽e^{-O^{\prime }\left({\lambda }^{-1/2}\right)}$ при малых $\lambda$.

Важное наблюдение состоит в том, что ${\rho }_{+}(\mathrm{\Delta }){\rho }_{-}\left({\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)eq0$ только д.тя таких конфигураций поля $\phi$, для которых граница фаз содержит контур $\mathrm{\Gamma }$, разделяющий $\mathrm{\Delta }$ и ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$. Поэтому
$$⟨{\rho }_{+}(\mathrm{\Delta }){\rho }_{-}\left({\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)⟩⩽\sum _{\{\mathrm{\Gamma }:\mathrm{\Delta }\subset \mathrm{Int}\mathrm{\Gamma }\text{ или }{\mathrm{\Delta }}^{\prime }\subset \mathrm{Int}\mathrm{\Gamma }\}}\mathrm{Pr}(\mathrm{\Gamma }).$$

Очевидно, контур $\mathrm{\Gamma }$ имеет длину $|\mathrm{\Gamma }|⩾4$. Кроме того, число различных контуров $\mathrm{\Gamma }$ длины $n$ не превосходит $n^2{3}^n$. Это утверждение доказывается по индукции. Начальную точку I можно выбрать не более чем $n^2$ способами. Если на решетке имеется кривая длины $j$, то ее можно продолжить до кривой длины $(j+1)$ без изменения начальной точки только тремя способами, а именно добавляя одно из ребер, примыкающих к последней точке. Таким образом, по теореме 16.2 .2
$$⟨{\rho }_{+}(\mathrm{\Delta }){\rho }_{-}\left({\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)⟩⩽\sum _{n=4}^{\mathrm{\infty }}{n}^2{3}^n{e}^{-nO\left({\lambda }^{-1/2}\right)}⩽e^{-O\left({\lambda }^{-1/2}\right)}.$$

Для того чтобы доказать теорему 16.2.2, изучим возмущения евклидовой меры $d\mu$, определяемые полиномами вида
$$Q(\xi ,X)=\sum _{v=1}^3{Q}_v({\xi }^v,X),$$

где $X$ — некоторое объединение квадратов решетки $\mathrm{\Delta }$ и
$$\begin{array}{l}{Q}_1({\xi }^{(1)},X)={\lambda }^{1/2}\sum _{{\mathrm{\Delta }}_j\in X}{\xi }_j^{(1)}{\int }_{{\mathrm{\Delta }}_j}(:\phi (x{)}^2{:}_{{\lambda }^{1/2}}-{\lambda }^{-1})dx,\\ Q_2({\xi }^{(2)},X)=|\ln \lambda {|}^{-1}\sum _{{\mathrm{\Delta }}_j\subset X}{\xi }_j^{(2)}{\int }_{{\mathrm{\Delta }}_j}:\phi (x{)}^2-\phi {\left({\mathrm{\Delta }}_j\right)}^2{:}_{{\lambda }^{1/2}}dx,\\ Q_3({\xi }^{(3)},X)=\sum _{\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta }}_i,{\mathrm{\Delta }}_j\subset X\\ |i-j|=1\end{array}}{\xi }_{ij}^{(3)}(\phi \left({\mathrm{\Delta }}_i\right)-\phi \left({\mathrm{\Delta }}_j\right)).\end{array}$$

Теорема 16.2.3. Существует такая константа $K<\mathrm{\infty }$, что для всех $\left|{\xi }^{(v)}\right|⩽1$ и для достаточно малых $\lambda$
$$⟨e^{Q(\xi ,X)}⟩⩽e^{K\ln \lambda 1^2|X|}.$$

Идея доказательства этой теоремы состоит в использований многократных отражений для сведения локальных оценок в бесконечном объеме к глобальным оценкам в конечном объеме. В силу предложения 10.6.1 и теоремы 12.4.2, достаточно оценить величину ${⟨e^{Q_v({\xi }^{(v)},x)}⟩}_{\mathrm{\Lambda }}$ в случае, когда все ${\xi }_j^{(v)}$ равны между собой,

а $X$ есть прямоугольник, площадь которого не меньше некоторой фиксированной доли площади $\mathrm{\Lambda }$.
Доказательство теоремы 16.2 .2 в предположении, что доказана теорема 16.2.3. Начнем со следующего тождества:
$$⟨\prod _{i\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime })\in \mathcal{B}}[{\rho }_{+}(\mathrm{\Delta }){\rho }_{-}\left({\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)+{\rho }_{-}(\mathrm{\Delta }){\rho }_{+}\left({\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)]⟩=\mathrm{Pr}(\mathrm{\Gamma }),$$

где $\mathcal{B}$ — множество пар соседних квадратов, таких, что ребра $\mathrm{\Delta }\cap {\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ образуют $\mathrm{\Gamma }$. Запишем ${\rho }_{+}$и ${\rho }_{-}$в виде
$$\begin{array}{l}{\rho }_{+}={\chi }_{(0,(1/2){\lambda }^{-1/2})}+{\chi }_{((1/2){\lambda }^{-1/2},\mathrm{\infty })}={\rho }_{+,s}+{\rho }_{+,l},\\ {\rho }_{-}={\chi }_{(-\mathrm{\infty },-(1/2){\lambda }^{-1/2})}+{\chi }_{(-(1/2){\lambda }^{-1/2},0)}={\rho }_{-,l}+{\rho }_{-,s},\end{array}$$

где ${\chi }_{(a,b)}(\xi )$ — характеристическая функция интервала $a<\xi <b$ и $\xi =\phi (\mathrm{\Delta })$ или $\phi \left({\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)$. Функции ${\rho }_{\pm }$с индексами $s$, $l$ отвечают соответственно «малым» и «большим» значениям $\phi$. Подставим (16.2.8) в (16.2.7); раскрыв скобки, получим $8^{|\mathcal{H}|}=8^{|\mathrm{\Gamma }|}$ членов. Так как все они положительны, достаточно рассмотреть отдельный член и затем выбрать наибольший из них. Таким образом, для каждой пары $\text{Math input error}$ мы имеем произведение ${\rho }_{+},l$ или $s$ и ${\rho }_{-,t\text{ или }s.}$
Если в этом произведении оба $\rho$ имеют индекс $l$, мы воспользуемся оценкой
$${\rho }_{+,l}\left({\mathrm{\Delta }}_i\right){\rho }_{-,l}\left({\mathrm{\Delta }}_j\right)⩽{\left[{\lambda }^{1/2}(\phi \left({\mathrm{\Delta }}_i\right)-\phi \left({\mathrm{\Delta }}_j\right))\right]}^M={{\lambda }^{M/2}{\left(d/d{\xi }_{i,j}^{(3)}\right)}^M{e}^{Q_3}|}_{\xi =0},$$

где $M$-произвольное четное число. Остальные три типа произведений содержат ${\rho }_{+,8}$ или ${\rho }_{-,}$. Эти члены мы оцениваем с помощью неравенства $1⩽(4/3)(1-\lambda \phi (\mathrm{\Delta }{)}^2)$, справедливого при $2{\lambda }^{1/2}|\phi (\mathrm{\Delta })|⩽1$. Заметим, что
$$\begin{array}{l}{\lambda }^{-1}-\phi (\mathrm{\Delta }{)}^2=({\lambda }^{-1}-{\int }_{\mathrm{\Delta }}:\phi (x{)}^2:dx)+\\ +({\int }_{\mathrm{\Delta }}:\phi (x{)}^2:dx-:\phi (\mathrm{\Delta }{)}^2:)+{\int }_{\mathrm{\Delta }}(-\mathrm{\Delta }+\lambda {)}^{-1}(x,y)dxdy.\end{array}$$

Последний член имеет порядок $O(|\ln \lambda |)$, поэтому, умножив его на $\lambda$, мы получим величину, меньшую $1/3$ при достаточно малых $\lambda$. Таким образом, находим оценку
$$1⩽2\lambda ({\lambda }^{-1}-{\int }_{\mathrm{\Delta }}:\phi (x{)}^2:dx)+2\lambda ({\int }_{\mathrm{\Delta }}:\phi (x{)}^2:dx-:\phi (\mathrm{\Delta }{)}^2:).$$

Отсюда следует, что при четном $M$
$${\rho }_s(\mathrm{\Delta })⩽{\left[4\lambda {\int }_{\mathrm{\Delta }}(:\phi (x{)}^2:-{\lambda }^{-1})dx\right]}^M+{[4\lambda {\int }_{\mathrm{\Delta }}:\phi (x{)}^2-\phi (\mathrm{\Delta }{)}^2:dx]}^M.$$

Следовательно,
$${\rho }_s\left({\mathrm{\Delta }}_j\right)⩽{\left(4{\lambda }^{1/2}\right)}^M{[{\left(\frac{d}{d{\xi }_j^{(1)}}\right)}^M{e}^{Q_1}+{\left(\frac{d}{d{\xi }_j^{(2)}}\right)}^M{\lambda }^{M/2}(\ln \lambda {)}^M{e}^{Q_2}]}_{\xi =0}.$$

Заметим, что $\lambda (\ln \lambda {)}^2⩽1$ при $\lambda ⩽1/2$, поэтому множителем ${\lambda }^{M/2}(\ln \lambda {)}^M$ можно пренебречь. Опять раскроем скобки и из полученных таким образом слагаемых (их число не превосходит $5\mid \mathrm{Fl}$ ) выберем наибольшее. Максимальному члену соответствует некоторый выбор полиномов $Q_v$, отвечающих каждому квадрату $\mathrm{\Delta }$, примыкающему к Г. Пусть ${\mathcal{B}}_v$ обозначает множество квадратов (или пар квадратов при $v=3$ ), соответствующих члену $Q_v$, и пусть $X_v$ — объединение квадратов, входящих в состав ${\mathcal{B}}_v$. Положим $\mathcal{B}=\bigcup _v{\mathcal{B}}_v$ и $X=\bigcup _v{X}_v$. Тогда
$$\begin{array}{rl}\mathrm{Pr}(\mathrm{\Gamma })⩽(40{)}^{|\mathrm{\Gamma }|}\prod _{{\mathrm{\Delta }}_j\in X_1}{\left(4{\lambda }^{1/2}d/d{\xi }_j^{(1)}\right)}^M& \prod _{{\mathrm{\Delta }}_j\in X_2}{\left(4{\lambda }^{1/2}d/d{\xi }_j^{(2)}\right)}^M\times \\ & \times \prod _{({\mathrm{\Delta }}_i,{\mathrm{\Delta }}_j)\in {\mathcal{F}}_3}{\left({\lambda }^{1/2}d/d{\xi }_{ij}^{(3)}\right)}^M⟨e^{Q(\xi ,X)⟩{|}_{\xi =0}.}\end{array}$$

Производные в точке $\xi =0$ вычислим с помощью интегральной формулы Коши. Для этого продолжим функцию $⟨\exp Q(\xi ,X)⟩$ в комплексную область по переменным ${\xi }_j^{(v)},{\xi }_{ij}^{(3)}$ и проинтегрируем по произведению окружностей $\left|{\xi }_j^{(v)}\right|=$ $=\left|{\xi }_{ij}^{(3)}\right|=1$. Так как полином $Q$ линеен по $\xi$, имеем $|\exp (Q(\xi ))|⩽\exp (Q(\mathrm{Re}\xi ))$, и по теореме Коши получаем:
$\mathrm{Pr}(\mathrm{\Gamma })⩽(40{)}^{|\mathrm{\Gamma }|}{\left(4{\lambda }^{1/2}\right)}^{M(\left|{\mathcal{H}}_1\right|+\left|{\mathcal{B}}_2\right|+\left|{\mathcal{B}}_3\right|)}(M!{)}^{\left|{\mathcal{B}}_1\right|+\left|{\mathcal{B}}_2\right|+\left|{\mathcal{F}}_3\right|}\times$

Положим $\mathcal{N}\equiv \left|{\mathcal{B}}_1\right|+\left|{\mathcal{B}}_2\right|+\left|{\mathcal{B}}_3\right|$. Заметим, что $|\mathrm{\Gamma }|⩽\mathcal{N}⩽2|\mathrm{\Gamma }|$ и $|X|⩽$ $⩽2|\mathrm{\Gamma }|$. По теореме 16.23
$$\mathrm{Pr}(\mathrm{\Gamma })⩽(40{)}^{|\mathrm{\Gamma }|}{\left[{\lambda }^{1/2}4M{!}^{(1/M)}\right]}^{\mathcal{N}M}\exp [2K(\ln \lambda {)}^2|\mathrm{\Gamma }|].$$

Воспользуемся формулой Стирлинга $M{!}^{(1/M)}\sim M/e$ и перепишем эту оценку в виде
$$\mathrm{Pr}(\mathrm{\Gamma })⩽{[{\left(5{\lambda }^{1/2}M/e\right)}^M\exp \{2K(\ln \lambda {)}^2+\ln (40)\}]}^{\mid \mathrm{\Gamma }।}.$$

Выберем в качестве $M$ наибольшее четное число, удовлетворяющее неравенству $5{\lambda }^{1/2}M⩽1$. Тогда существует такая константа $K_1$, не зависящая от $\lambda$ и $\mathrm{\Gamma }$, что при достаточно малых $\lambda$
$$\mathrm{Pr}(\mathrm{\Gamma })⩽\exp \left[\{-2K_1{\lambda }^{-1/2}+2K(\ln \lambda {)}^2+\ln (40)\}|\mathrm{\Gamma }|\right]⩽\exp [-K_1{\lambda }^{-1/2}|\mathrm{\Gamma }|].$$

Таким образом, теорема 16.2 .2 доказана и существование фазовых переходов сводится к доказательству теоремы 16.2.3.

Доказательство теоремы 16.2.3 основано на двух предварительных связанных между собой оценках.
Предложение 16.2.4. Пусть $0<\lambda ⩽1/2$, и пусть $\mathrm{\Lambda }$ — прямоугольник $L\times T$. Предположим, что $L⩽T$ и ${\lambda }^{-3/2}⩽L$. Для вещественной функции $\xi (X)⋐L_{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Lambda })$ определим
$$W={\int }_{\mathrm{\Lambda }}Vdx+Q_1={\int }_{\mathrm{\Lambda }}:\lambda {({\phi }^2-{\lambda }^{-1})}^2+{\lambda }^{1/2}\xi (x)({\phi }^2-{\lambda }^{-1}){:}_{{\lambda }^{1/2}}dx.$$

Пусть $С={(-{\mathrm{\Delta }}_{\partial \mathrm{\Lambda }}+\lambda )}^{-1}$ обозначает ковариационный оператор
$$\exp [-K|\mathrm{\Lambda }|]⩽\int \exp [-W]d{\phi }_C⩽\exp [K(\ln \lambda {)}^2|\mathrm{\Lambda }|],$$

乞де К-константа, зависящая только от $\Vert \xi {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}$.

Замечание. Множитель $(\ln \lambda {)}^2$ из оценки сверху можно исключить [Glimm, Jaffe, Spencer, 1976a].
Предложение 16.2.5. Существует такая константа $K<\mathrm{\infty }$, что для любых $0<\lambda ⩽1/2$ и $\left|{\xi }_i^{(2)}\right|,\left|{\xi }_{ij}^{(3)}\right|⩽24$, а также для любого пря. моугольника $X$
$$\int \exp [Q_2({\xi }^{(2)},X)+Q_3({\xi }^{(3)},X)]d{\phi }_C⩽\exp [K|X|].$$

Доказательство теоремы 16.2.3 в предположении, что доказаны предложения 16.2.4-5. В силу неравенства Гёльдера,
$$⟨\exp Q(\xi ,X)⟩⩽\underset{1⩽v⩽3}{sup}⟨\exp Q_v(3{\xi }^{(v)},X)⟩$$

поэтому достаточно оценить члены, соответствующие отдельным $Q_v$, при условии что $\Vert \xi {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}⩽3$. При $v=1,2$ оценку можно свести к случаю, когда $X$ — прямоугольник, если воспользоваться оценкой по методу многократных отражений, доказанной в следствии 10.5.8, положив $k^{(i)}=\exp Q_u({\xi }^{(u)},{\mathrm{\Delta }}_j)$. После отражений функций $k^{(j)}$ получим функции вида $\exp Q_v({\xi }^{(v)},Y)$, где $Y$ — прямоугольник. Тогда необходимая оценка для (16.2.11) при $v=1,2$ получится из оценки
$$⟨\exp Q_v({\xi }^{(u)},Y)⟩⩽\exp [K(\ln \lambda {)}^2|Y|]$$

для прямоугольников $Y$, которую мы докажем ниже. Соответствующая редукция в случае $v=3$ проводится следующим образом. Вначале, пользуясь неравенством Гёльдера, мы сводим задачу к случаю, когда $Q_3$ есть сумма по непересекающимся парам. (В результате условие $|\xi |⩽1$ заменяется условием $|\xi |⩽4$.) Далее применяем следствие 10.5 .8 , заменив квадрат ${\mathrm{\Delta }}_j$ прямоугольником $\mathrm{\Delta }U{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$, где $(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime })\in {\mathcal{B}}_3$. Таким образом, необходимо оценить среднее с $v=3$ величиной (16.2.12) в случае, когда $Y$ есть прямоугольник $2L_1\times L_2$, а ${\xi }_{ij}^{(3)}eq0$ только для $({\mathrm{\Delta }}_i,{\mathrm{\Delta }}_j)$, для которых объединение ${\mathrm{\Delta }}_i\cup {\mathrm{\Delta }}_j$ принадлежит множеству $\mathcal{B}$, состоящему из $L_1{L}_2$ непересекающихся прямоугольников $2\times 1$, покрывающих $Y$.

Среднее в конечном объеме $⟨\cdot {⟩}_{\mathrm{\Lambda }}$, определяемое мерой $d{\mu }_{\mathrm{\Lambda }}$ вида (11.2.1), сходится к среднему $⟨\cdot ⟩$ при $\mathrm{\Lambda }\uparrow R^2$. Поэтому
$$⟨\exp Q_v({\xi }^{(v)},Y)⟩⩽2{⟨\exp Q_v({\xi }^{(v)},Y)⟩}_{\mathrm{\Lambda }},$$

если $\mathrm{\Lambda }$ содержит достаточно большее множество, зависящее от $\xi ,Y,\lambda$ и $v$. Допустим, что $\mathrm{\Lambda }\supset \mathrm{\Lambda }(\xi ,Y,\lambda ,v)$. Мы будем оценивать (16.2.13) при фиксированых $(\xi ,Y,\lambda ,v)$, но получим оценку $\exp [K(\ln \lambda {)}^2|Y|]$, в которой $K$ не зависит от $(\xi ,y,\lambda ,v)$. Не теряя общности, можно выбрать в качестве $\mathrm{\Lambda }$ прямоугольник $L\times T$, удовлетворяющий условиям $\lambda -3/2⩽L\ll T$.

Следующий шаг оценки величины (16.2.13) состоит в том, что $Y$ увеличивается по сравнению с $\mathrm{\Lambda }$ до тех пор, пока не будет выполнено условие $|\mathrm{\Lambda }|⩽$ $⩽4|Y|$. Применим несимметричную оценку по методу многократных отражений, доказанную в теореме 12.4.2, положив $B=\exp Q_v({\xi }^{(v)},Y)$ и $K=Y$. Тогда $\left|{\mathrm{\Lambda }}^{(n)}\right|⩽4\left|K^{(n)}\right|$ и $B^{(n)}=\exp Q_v({\xi }^{(v)},K^{(n)})$. Условие (12.4.9), налагаемое на $Z(\mathrm{\Lambda })$, вытекает из оценки (16.2.9) предложения 16.2 .4 в случае $\xi \equiv 0$. Таким образом, осталось оценить
$${⟨B^{(n)}⟩}_{\mathrm{\Lambda }}={⟨\exp Q_u({\xi }^{(v)},K^{(n)})⟩}_{\mathrm{\Lambda }}=Z(\mathrm{\Lambda }{)}^{-1}\int \exp [Q_u({\xi }^{(v)},K^{(n)})-V(\mathrm{\Lambda })]d{\phi }_C,$$

где $\mathrm{\Lambda }={\mathrm{\Lambda }}^{(n)}$. Для доказательства (16.2.12) достаточно получить оценку
$${⟨B^{(n)}⟩}_{\mathrm{\Lambda }(n)}⩽\exp [K(\ln \lambda {)}^2\left|{\mathrm{\Lambda }}^{(n)}\right|].$$
Из предложения 16.2 .4 в случае $\xi =0$ вытекает, что $Z\left({\mathrm{\Lambda }}^{(n)}\right)$ оценивается снизу величиной $\exp [-K\left|{\mathrm{\Lambda }}^{(n)}\right|]$. Оценка сверху для $\int \exp [Q_1-V]d{\phi }_c$ также следует из предложения 162.4 . При $v=2,3$ применяем неравенство Шварца:
$$\int \exp [Q_v-V]d{\phi }_C⩽{\{\int \exp \left[2Q_v\right]d{\phi }_C\cdot \int \exp [-2V]d{\phi }_C\}}^{1/2}.$$

Два миожителя в правой части оцениваются сверху с помощью предложений 16.2 .5 и 16.2 .4 соответственно.

Доказательство предложения 16.2.4. Применяя масштабное тождество с $\alpha ={\mathrm{\Lambda }}^{1/2}$, получаем (в обозначениях §8.6)
$$\int \exp [-W]d{\mathrm{\Phi }}_C=\int \exp [-:P(\phi ,f){:}_{C_{\varnothing }}]d{\mathrm{\Phi }}_{C_B}.$$

Здесь $C_{\varnothing }=(-\mathrm{\Delta }+I{)}^{-1}$ и $C_B={(-{\mathrm{\Delta }}_{\partial \left({\lambda }^{1/2}\mathrm{\Lambda }\right)}+I)}^{-1}$. Пусть ${\chi }_x(x)$ обозначает характеристическую функцию множества $X$. Тогда
$$\begin{array}{l}{f}_4={\chi }_{{\lambda }^{1/2}{\mathrm{\Lambda }}^{\prime }},f_2=\{-2{\lambda }^{-1}+{\lambda }^{-1/2}\xi (x\sqrt{\lambda })\}{\chi }_{{\lambda }^{1/2}{\mathrm{\Lambda }}^{\prime }}\\ f_0=\{{\lambda }^{-2}-{\lambda }^{-3/2}\xi (x/\sqrt{\lambda })\}{\chi }_{{\lambda }^{1/2}{\mathrm{\Lambda }}^{\ast }}\end{array}$$

В качестве следующего шага произведем виково переупорядочение полинома $P$. Для этого воспользуемся преобразованием (8.6.1) и найдем пару функций $g=(g_0,g_2)$, удовлетворяющую уравнению
$$:P(\phi ,f){:}_{\varnothing }\rightleftharpoons :P(\phi ,f+g){}_{c_B}.$$

Тогда
$$\begin{array}{l}{g}_2=-6\delta c(x){\chi }_{{\lambda }^{1/2}{\mathrm{\Lambda }}^{\prime }}\\ g_0=\{3(\delta c(x){)}^2+2{\lambda }^{-1}\delta c(x)-{\lambda }^{-1/2}\xi (x/\sqrt{\lambda })\delta c(x)\}{\chi }_{{\lambda }^{1/2}\mathrm{\Lambda }}.\end{array}$$

Предварительно заметим, что
$$|\delta c(x)|⩽O(1)e^{-d}(1+|\ln d|)$$

где $d=\mathrm{dist}(x,\partial \left({\lambda }^{1/2}\mathrm{\Lambda }\right))$. Следовательно,
$$|\int g_0(x)dx|⩽K|\mathrm{\Lambda }|,$$

тде константа $K$ завнсит только от $\Vert \xi {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}$. Здесь мы воспользовались тем фактом, что $\left|{\lambda }^{1/2}\mathrm{\Lambda }\right|=\lambda |\mathrm{\Lambda }|$. В силу неравенства (16.2.17), вклад, отвечающий $g_0$, при доказательстве (16.2.9) можно не учитывать.
(i) Оценка снизу. Пусть $\psi (x)=\phi (x)+h(x)$ обозначает сдвинутую переменную поля. Функция $h\in C_0^{\mathrm{\infty }}\left({\lambda }^{1/2}\mathrm{\Lambda }\right)$ выбирается ниже. Применяем формулу для сдвига поля (9.1.27′)
$$\int \exp [-:P(\phi ,f+g_2){:}_{C_B}]d{\phi }_{C_B}=\int \exp [-:P(\psi ,l){:}_{C_B}]d{\mathrm{\Psi }}_{C_B},$$

где $l=\left\{l_i\right\}$ — множество констант связи, определяемое самим этим равенством. Согласно замечанию 1 к следствию 10.3.2,
$$\exp [-\int l_0(x)dx]⩽\int \exp [-:P(\psi ,l){:}_{C_B}]d{\psi }_{C_B}$$
и можно выбрагь $h$ так, чтобы оптимизировать эту оценку. В частности, выбирая $h$ специальным образом, получим верхнюю оценку
$$\int l_0(x)dx⩽K|\mathrm{\Lambda }|.$$

Из нее следует нижняя оценка (16.2.9). Заметим, что
$$\begin{array}{l}\int l_0(x)dx=P(h,f+g_2)+\frac{1}{2}⟨h,C_B^{-1}h⟩=\\ ={\int }_{{\lambda }^{1/2}\mathrm{\Lambda }}[{(h(x{)}^2-{\lambda }^{-1})}^2+{\lambda }^{-1/2}(h(x{)}^2-{\lambda }^{-1})\xi (x/\sqrt{\lambda })-\\ -6\delta c(x)h(x{)}^2]dx+\frac{1}{2}⟨h,(-\mathrm{\Delta }+I)h⟩.\end{array}$$

Пусть $h(x)={\lambda }^{-1/2}{\chi }_s(x)$, где ${\chi }_s$ — сглаженная характеристическая функция множества ${\lambda }^{1/2}\mathrm{\Lambda }$, удовлетворяющая следующим условиям:
$$\begin{array}{c}0⩽{\chi }_s(x)⩽1,{\chi }_s\in C_0^{\mathrm{\infty }}\left({\lambda }^{1/2}\mathrm{\Lambda }\right),\\ {\chi }_s(x)=1,\text{ если dist }(x,\partial \left({\lambda }^{1/2}\mathrm{\Lambda }\right))⩾1.\end{array}$$

Кроме того, мы выбираем ${\chi }_s$ так, что
$$|abla{\chi }_s(x)|⩽\text{ const, }$$

где константа не зависит от $\lambda ,\mathrm{\Lambda }$. Заметим, что
\[

abla \chi_{s}(x)=0, \quad \text { если dist }\left(x, \partial\left(\lambda^{1 / 2} \Lambda\right)\right) \geqslant 1 .
\]

Используя (16.2.21-22) и предположение ${\lambda }^{-3/2}⩽L$, получаем, что
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}⟨h,(-\mathrm{\Delta }+I)h⟩& =(2\lambda {)}^{-1}({\Vert abla{\chi }_s\Vert }^2+{\Vert {\chi }_s\Vert }^2)⩽\\ & ⩽(2\lambda {)}^{-1}\{\text{ const }{\lambda }^{1/2}(L+T)+\lambda |\mathrm{\Lambda }|\}⩽\\ & ⩽\text{ const }\{{\lambda }^{-1/2}(L+T)+|\mathrm{\Lambda }|\}⩽\text{ const }|\mathrm{\Lambda }|.\end{array}$$

Таким образом, второй член в (16.2.20) удовлетворяет оценке (16.2.19).
Оценим теперь первый член. Для этого заметим, что $h(x{)}^2-{\lambda }^{-1}\equiv 0$ при $\mathrm{dist}(x,\partial \left({\lambda }^{1/2}\mathrm{\Lambda }\right))⩽1$. Кроме того, $0⩽{\lambda }^{-1}-h(x{)}^2⩽2{\lambda }^{-1}$. Позтому
$$\begin{array}{l}\int [{(h(x{)}^2-{\lambda }^{-1})}^2+{\lambda }^{-1/2}(h(x{)}^2-{\lambda }^{-1})\xi (x/\sqrt{\lambda })]dx⩽\\ ⩽2\left(4{\lambda }^{-2}\right){\lambda }^{1/2}(L+T)+4{\lambda }^{-3/2}\Vert \xi {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}{\lambda }^{1/2}(L+T)⩽\\ ⩽\text{ const }{\lambda }^{-3/2}(L+T)⩽\mathrm{const}|\mathrm{\Lambda }|\end{array}$$

где константа зависит только от $\Vert \xi {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}$. Наконец, учитывая (16.2.16), имеем
$$|\int \delta c(x)h(x{)}^{2}dx|⩽{\lambda }^{-1}{\int }_{{\lambda }^{1/2}\mathrm{\Lambda }}|\delta c(x)|dx⩽\text{ const }{\lambda }^{-1}\lambda |\mathrm{\Lambda }|⩽\text{ const }|\mathrm{\Lambda }|.$$

Суммируя эти оценки, получаем (16.2.19).
(ii) Оценка сверху. Мы получим искомую оценку сверху в (16.2.9) из оценок: для единичных квадратов, покрываюних ${\lambda }^{1/2}\mathrm{\Lambda }$. Воспользуемся неравенством об условленности (10.3.7) и оценим (16.2.15) сверху. Учитывая (16.2.17), получаем, что
$$\begin{array}{r}\int \exp [-W]d{\phi }_C=\int \exp [-:P(\phi ,f+g){:}_{C_B}]d{\phi }_{C_B}=Z_B(f+g)⩽\\ ⩽\prod _{\mathrm{\Delta }}{Z}_N((f+g){\chi }_{\mathrm{\Delta }})⩽\exp [K|\mathrm{\Lambda }|]\prod _{\mathrm{\Delta }}{Z}_N\left((f+g_2){\chi }_{\mathrm{\Delta }}\right).\end{array}$$

Здесь $Z_N$ обозначает статистическую сумму, отвечающую ковариационному оператору $C_N={(-{\mathrm{\Delta }}_N+I)}^{-1}$ с граничными условиями Неймана. При этом оператор ${\overline{C}}_N$ задает и виково упорядочение, и ковариацию гауссовой меры. Оценим сверху $Z_N\left((f+g_2){\chi }_{\mathrm{\Delta }}\right)$. Для этого мы получим оценку снизу для $:P({\mathrm{\Phi }}_{x^{\prime }}(f+$ $+g_2){\chi }_{\mathrm{\Delta }}){:}_{C_N}$. Используя затем эту оценку и неравенство (8.6.23), получим, что
$$Z_N\left((f+g_2){\chi }_{\mathrm{\Delta }}\right)⩽\exp [K{\lambda }^{-1}(\ln \lambda {)}^2],$$

откуда вытекает требуемое неравенство
$$\int \exp [-W]d{\phi }_C⩽\exp \left[K{\lambda }^{-1}\{1+(\ln \lambda {)}^2\}\lambda |\mathrm{\Lambda }|\right]⩽\exp [\text{ const }(\ln \lambda {)}^2|\mathrm{\Lambda }|].$$
(Заметим, что $Z_N((f+g_2){\chi }_{\mathrm{\Delta }}$ ) можно было бы оценить с помощью предложения 8.6.2, однако в этой оценке имеется сильная расходимость при $\lambda \to 0$.)

Для того чтобы оценить снизу : $P({\phi }_{\varkappa },(f+g_2){\chi }_{\mathrm{\Delta }}){:}_{c_N}$, воспользуемся формулой викова упорядочения (8.5.5) и запишем
$$-{\int }_{\mathrm{\Delta }}B(x)dx⩽{\int }_{\mathrm{\Delta }}[A(x{)}^2-B(x)]dx=:P\left({\mathrm{\Phi }}_{X^{\prime }}(f+g_2){\chi }_{\mathrm{\Delta }}\right):c_N.$$

Здесь $A$ определяется с помощью приведения к полному квадрату, а $B$ состоит из остальных членов, причем в $B$ расходимости старшего порядка сокращаются:
$$\begin{array}{l}A(x)=\{{\phi }_{\chi }(x{)}^2+\frac{1}{2}{f}_2(x)+\frac{1}{2}{g}_2(x)-3c_x(x)\}{\chi }_{{\lambda }^{1/2}\mathrm{\Lambda }}(x),\\ B(x)=\{\frac{1}{4}{(f_2(x)+g_2(x)-6c_{\varkappa }(x))}^2-f_0(x)+c_x(x)(f_2(x)+g_2(x))-\\ -3c_{\chi }(x{)}^2\}{\chi }_{\lambda }\mathrm{t}/2_{\mathrm{\Lambda }}(x)=\{6{\lambda }^{-1}\delta c(x)-3{\lambda }^{-1/2}\xi \delta c+9(\delta c(x){)}^2-2c_x(x)(f_2(x)+\\ +g_2(x))+(4\lambda {)}^{-1}{\xi }^2+6c_{\varkappa }(x{)}^2\}{\chi }_{{\lambda }^{1/2}\mathrm{\Lambda }}(x)\text{, }\end{array}$$

где $c_{\chi }(x)={\delta }_{\varkappa }\ast C_N\ast {\delta }_{\varkappa }=O(\ln x)$, а функция $\delta c(x)$ определена выше. Таким образом,
$${\int }_{\mathrm{\Delta }}B(x)dx⩽\text{ const }[{\lambda }^{-1}+(\ln x{)}^2+{\lambda }^{-1}\ln x]$$

и константа зависит только от $\Vert \xi {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}$. Заметим, что норма $M\left((f+g_2){\chi }_{\mathrm{\Delta }}\right)$, определяемая выражением (8.6.6), удовлетворяет неравенствам const ${\lambda }^{-1}⩽M((f+$ $+g_2){\chi }_{\mathrm{\Delta }})⩽$ const ${\lambda }^{-1}$, где константы зависят только от $\Vert \xi {\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}$. Следовательно,
$$-\{1+M\left((f+g_2){\chi }_{\mathrm{\Delta }}\right)\}(\ln x{)}^2⩽:P\left({\phi }_{{\varkappa }^{\prime }}(f+g_2){\chi }_{\mathrm{\Delta }}\right){:}_{c_N}$$

Применим оценку (8.6.23), положив $m=M=1,\mathrm{\Lambda }=\mathrm{\Delta },n=4,L=0$. В результате получим требуемое неравенство
$$Z_N\left((f+g_2){\chi }_{\mathrm{\Delta }}\right)⩽\exp [K{\lambda }^{-1}(\ln \lambda {)}^2].$$

Доказательство предложения 16.2.5. С учетом неравенства Іварца случаи $Q_2$ и $Q_3$ можно оценивать по отдельности. При этом область значений увеличивается в два раза. Рассмотрим вначале $Q_3$. Как и при доказательстве теоремы 16.2 .3 , применяя неравенство Гёльдера, мы можем считать, что $Q_3$ есть сумма по непересекающимся парам квадратов $(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime })$. Пусть $\mathcal{B}$ обозначает множество таких пар.

Положим $C_N={(-{\mathrm{\Delta }}_N+\lambda )}^{-1}$, где оператор ${\mathrm{\Delta }}_N$ определяется граничными условиями Неймана на $\partial \left(\mathrm{\Delta }U{\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)$ для всех пар $(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime })\in \mathcal{R}$. По неравенству обусловленности предложения 10.3.1
$$\int \exp \left[Q_3({\xi }^{(3)},X)\right]d{\phi }_C⩽\int \exp \left[Q_3({\xi }^{(3)},X)\right]d{\phi }_{C_N}.$$

Пусть $(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime })\in \mathcal{B}$; полоким $h\equiv {\chi }_{\mathrm{\Delta }}-{\chi }_{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}$. Так как правая часть неравенства (16.2.24) факторизуется, мы получаем
$$\int \exp \left[Q_3({\xi }^{(3)},X)\right]d{\phi }_{C_N}⩽\exp \left[\frac{1}{2}⟨h,C_{N}h⟩{\Vert {\xi }^{(3)}\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}^2|\mathcal{B}|\right].$$

Функция $h$ ортогональна функциям, постоянным на $\mathrm{\Delta }U{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$. Поэтому $h$ ортогональна основному состоянию оператора — ${\mathrm{\Delta }}_N$ в $L_2\left(\mathrm{\Delta }U{\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)$. В этом гильбертовом пространстве $C_N$ — компактный оператор. Пусть $E_1$ — наименьшее ненулевое собственное значение оператора $-{\mathrm{\Delta }}_N$. Тогда справедлива оценка, не зависящая от $\lambda$ :
$$⟨h,C_{N}h⟩⩽{(E_1+\lambda )}^{-1}\Vert h{\Vert }_{L_2}^2⩽2E_1^{-1}.$$

Так как $|\mathcal{B}|⩽|X|$, мы полуцаем требуемое неравенство
$$\int \exp \left[Q_3({\xi }^{(3)},X)\right]d{\phi }_C⩽\exp [K|X|]$$

в котором константа $K$ не зависит от $\lambda ,X,\mathrm{\Lambda }$.
Рассмотрим теперь случай, отвечающий $Q_2$. Вначале произведем виково переупорядочение полинома $Q_2$ по отношению к ковариации $C={(-{\mathrm{\Delta }}_{\partial \mathrm{\Lambda }}+\lambda )}^{-1}$ с граничными условиями Дирихле на $\partial \mathrm{\Lambda }$. Тогда
$$:Q_2({\xi }^{(2)},X){:}_{{\lambda }^{1/2}}=:Q_2({\xi }^{(2)},X){:}_C+\alpha$$

где $\alpha$-константа, удовлетворяющая равномерной по $\lambda$ оценке $|\alpha |⩽O(|X|)$. Таким образом, $\alpha$ можно в дальнейшем не учитывать.

Пусть $C_N={(-{\mathrm{\Delta }}_N+\lambda )}^{-1}$ обозначает теперь ковариационный оператор сграничными условиями Неймана на границе всех квадратов решетки $\mathrm{\Delta }$. Согласно неравенству обусловленности предложения 10.3.1,
$$\int \exp \left[Q_2({\xi }^{(2)},X)\right]d{\phi }_C⩽\prod _i\int \exp [:Q_2({\xi }_i^{(2)},{\mathrm{\Delta }}_i){:}_{c_N}]d{\phi }_{C_N}$$

Достаточно показать, что каждый член в этом произведении не превосходит некоторой константы, не зависящей от $\lambda$.

Пусть ${\chi }_{\mathrm{\Delta }}$ обозначает оператор умножения на ${\chi }_{\mathrm{\Delta }}$, а $P_{\mathrm{\Delta }}$ — оператор ортогонального проектирования на подпространство констант в $L_2(\mathrm{\Delta })$. Тогда

$$|\ln \lambda {|}^{-1}{\xi }^{(2)}:{\phi }^2(\mathrm{\Delta })-\phi (\mathrm{\Delta }{)}^2{}_{C_N}=\int :\phi (x)\phi (y):{}_{C_N}v(x,y)dxdy,$$

тде $v(x,y)$ — ядро оператора $v=|\ln \lambda {|}^{-1}{\xi }^{(2)}({\chi }_{\mathrm{\Delta }}-P_{\mathrm{\Delta }})$. Из (9.1.26b) следует, что
$$\begin{array}{rl}\int \exp [:Q_2({\xi }^{(2)},\mathrm{\Delta }):C_N]d{\phi }_{C_N}& =\exp [-\frac{1}{2}\mathrm{Tr}\{\ln (I-A)+A\}]⩽\\ & ⩽\exp [\text{ const }\Vert A{\Vert }_{\text{HS }}^2],\end{array}$$

тде $A=C_N^{1/2}v{C}_N^{1/2}$, а $\Vert A{\Vert }_{\text{нs }}$ обозначает норму Гильберта — Шмидта оператора $A$. Последнее неравенство выполняется, если $\Vert A{\Vert }_{\text{нS }}<1$.

Подпространство констант принадлежит ядру оператора ${\chi }_{\mathrm{\Delta }}-P_{\mathrm{\Delta }}$ в $L_2(\mathrm{\Delta })$ и $0⩽{\chi }_{\mathrm{\Delta }}-P_{\mathrm{\Delta }}⩽I$. Kроме того, ${(-{\mathrm{\Delta }}_N+\lambda )}^{-1}$ — компактный оператор в $L_2(\mathrm{\Delta })$. Следовательно,
$$\Vert A{\Vert }_{\mathrm{HS}}^2⩽|\ln \lambda {|}^{-2}{\xi }^{(2)2}\mathrm{Tr}\left(C_N({\chi }_{\mathrm{\Delta }}-P_{\mathrm{\Delta }})C_N\right)=|\ln \lambda {|}^{-2}{\xi }^{(2)2}\sum _{jeq0}{(E_j+\lambda )}^{-2},$$

где $E_j=$ const $|j{|}^2(j\in Z^2)$ — ненулевые собственные значения оператора $-{\mathrm{\Delta }}_N$ в $L_2(\mathrm{\Delta })$. Сумма $\sum _{jeq0}{E}_i^{-2}$ сходится, поэтому $\Vert A{\Vert }_{HS}<1$ при достаточно малых $\lambda$.