Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Рассмотрим простейший случай, для которого удается доказать существование по крайней мере двух фаз и фазового перехода первого рода, а именно случай полиномиального взаимодействия вида в размерности $d=2$. Здесь индекс $\lambda^{1 / 2}$ обозначает виково упорядочение по отношению к ковариационному оператору $(-\Delta+\lambda)^{-1}$. Аналогичные методы применимы в случае, когда $\varphi^{4}$ заменяется четным положительным полиномом. С помощью соответствующего викова упорядочения любой четный полином четвертой степени, приводящий к двум фазам, можно представить в виде (16.2.1), см. [Glimm, Jaffe, Spencer, 1976b]. Обобщение изложенных здесь методов позволяет доказать существование двух фаз для некоторых взаимодействий $V$, не являющихся ни четными, ни симметричными относительно какого-нибудь $\varphi ;$ см. гл. 20. Доказательство этой теоремы строится по образцу доказательства аналогичного результата для модели Изинга в § 5.4. Для того чтобы исключить флуктуации поля на малых расстояниях, не имеющие отношения к проблеме фазовых переходов, мы усредним поле $\varphi$ по небольшим областям. Точнее, мы покроем $R^{2}$ решеткой единичных квадратов $\Delta_{i}$ и будем рассматривать Тогда выражение определяет изинговы переменные, так как $\sigma$ принимают значения $\pm 1$ и определены в узлах целочисленной решетки (центрах квадратов $\Delta_{i}$ ). В силу симметрии меры $d \mu$ относительно преобразования $\varphi \rightarrow-\varphi$, Для доказательства теоремы необходимо исследовать распределение вероятностей для границ фаз. Почти каждой конфигурации классического поля $\varphi \in \mathscr{P}^{\prime}\left(R^{2}\right)$ отвечает конфигурация модели Изинга $\sigma(\Delta)$. Здесь $\sigma \in\{ \pm 1\}^{Z^{2}}$, т. е. $\sigma$ есть функция на решетке $Z^{2}$ (рассматриваемой как множество центров квадратов $\Delta_{i}$ ) со значениями $\pm 1$. Граница фаз для конфигураций $\varphi$ или $\sigma$ есть граница множества $\sigma^{-1}(1)$, или, другими словами, множество таких отрезков, которые разделяют два квадрата с разными знаками $\sigma$. Поскольку мы имеем дело с трансляционно-инвариантной теорией в бесконечном объеме, множество конфигураций, соответствующих определенной границе фаз: имеет меру нуль. Поэтому в качестве элементарных событий мы рассматриваем множества где $\Gamma$ – некоторое конечное множество отрезков на решетке. Допуская некоторую вольность, мы будем использовать обозначение Г и для множества конфигураций (16.2.6) в $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{2}\right)$. Доказательство теоремы 16.2.1 в предположении, что доказана теорема 16.2.2. $\mathrm{M}_{\mathrm{b}}$ покажем, что $\left\langle\sigma(\Delta) \sigma\left(\Delta^{\prime}\right)\right\rangle$ не стремится к нулю при $\operatorname{dist}\left(\Delta, \Delta^{\prime}\right) \rightarrow \infty$. Согласно (16.2.4), $\langle\sigma(\Delta)\rangle=0$, поэтому из предложения 16.1.3 будет следовать, что вакуумное состояние не единственно. Пусть $\rho_{ \pm}(\Delta)=\frac{1}{2}\{1 \pm \sigma(\Delta)\}$ обозначает характеристические функции для положительных и отрицательных значений $\varphi(\Delta)$. Поскольку $\langle\varphi\rangle=\langle\sigma(\Delta)\rangle=0$, имеем $\left\langle\sigma(\Delta) \sigma\left(\Delta^{\prime}\right)\right\rangle=1-4\left\langle\rho_{+}(\Delta) \rho_{-}\left(\Delta^{\prime}\right)\right\rangle$, и для завершения доказательства достаточно показать, что $\left\langle\rho_{+}(\Delta) \rho_{-}\left(\Delta^{\prime}\right)\right\rangle \leqslant e^{-O^{\prime}\left(\lambda^{-1 / 2}\right)}$ при малых $\lambda$. Важное наблюдение состоит в том, что $\rho_{+}(\Delta) \rho_{-}\left(\Delta^{\prime}\right) Очевидно, контур $\Gamma$ имеет длину $|\Gamma| \geqslant 4$. Кроме того, число различных контуров $\Gamma$ длины $n$ не превосходит $n^{2} 3^{n}$. Это утверждение доказывается по индукции. Начальную точку I можно выбрать не более чем $n^{2}$ способами. Если на решетке имеется кривая длины $j$, то ее можно продолжить до кривой длины $(j+1)$ без изменения начальной точки только тремя способами, а именно добавляя одно из ребер, примыкающих к последней точке. Таким образом, по теореме 16.2 .2 Для того чтобы доказать теорему 16.2.2, изучим возмущения евклидовой меры $d \mu$, определяемые полиномами вида где $X$ – некоторое объединение квадратов решетки $\Delta$ и Теорема 16.2.3. Существует такая константа $K<\infty$, что для всех $\left|\xi^{(v)}\right| \leqslant 1$ и для достаточно малых $\lambda$ Идея доказательства этой теоремы состоит в использований многократных отражений для сведения локальных оценок в бесконечном объеме к глобальным оценкам в конечном объеме. В силу предложения 10.6.1 и теоремы 12.4.2, достаточно оценить величину $\left\langle e^{Q_{v}\left(\xi^{(v)}, x\right)}\right\rangle_{\Lambda}$ в случае, когда все $\xi_{j}^{(v)}$ равны между собой, а $X$ есть прямоугольник, площадь которого не меньше некоторой фиксированной доли площади $\Lambda$. где $\mathscr{B}$ – множество пар соседних квадратов, таких, что ребра $\Delta \cap \Delta^{\prime}$ образуют $\Gamma$. Запишем $\rho_{+}$и $\rho_{-}$в виде где $\chi_{(a, b)}(\xi)$ – характеристическая функция интервала $a<\xi<b$ и $\xi=\varphi(\Delta)$ или $\varphi\left(\Delta^{\prime}\right)$. Функции $\rho_{ \pm}$с индексами $s$, $l$ отвечают соответственно «малым» и «большим» значениям $\varphi$. Подставим (16.2.8) в (16.2.7); раскрыв скобки, получим $8^{|\mathscr{H}|}=8^{|\Gamma|}$ членов. Так как все они положительны, достаточно рассмотреть отдельный член и затем выбрать наибольший из них. Таким образом, для каждой пары $\left(\Delta_{l}, \Delta \mathrm{j}\right) € \mathscr{B}$ мы имеем произведение $\rho_{+}, l$ или $s$ и $\rho_{-, t \text { или } s .}$ где $M$-произвольное четное число. Остальные три типа произведений содержат $\rho_{+, 8}$ или $\rho_{-,}$. Эти члены мы оцениваем с помощью неравенства $1 \leqslant(4 / 3)\left(1-\lambda \varphi(\Delta)^{2}\right)$, справедливого при $2 \lambda^{1 / 2}|\varphi(\Delta)| \leqslant 1$. Заметим, что Последний член имеет порядок $O(|\ln \lambda|)$, поэтому, умножив его на $\lambda$, мы получим величину, меньшую $1 / 3$ при достаточно малых $\lambda$. Таким образом, находим оценку Отсюда следует, что при четном $M$ Следовательно, Заметим, что $\lambda(\ln \lambda)^{2} \leqslant 1$ при $\lambda \leqslant 1 / 2$, поэтому множителем $\lambda^{M / 2}(\ln \lambda)^{M}$ можно пренебречь. Опять раскроем скобки и из полученных таким образом слагаемых (их число не превосходит $5 \mid \mathrm{Fl}$ ) выберем наибольшее. Максимальному члену соответствует некоторый выбор полиномов $Q_{v}$, отвечающих каждому квадрату $\Delta$, примыкающему к Г. Пусть $\mathscr{B}_{v}$ обозначает множество квадратов (или пар квадратов при $v=3$ ), соответствующих члену $Q_{v}$, и пусть $X_{v}$ – объединение квадратов, входящих в состав $\mathscr{B}_{v}$. Положим $\mathscr{B}=\bigcup_{v} \mathscr{B}_{v}$ и $X=\bigcup_{v} X_{v}$. Тогда Производные в точке $\xi=0$ вычислим с помощью интегральной формулы Коши. Для этого продолжим функцию $\langle\exp Q(\xi, X)\rangle$ в комплексную область по переменным $\xi_{j}^{(v)}, \xi_{i j}^{(3)}$ и проинтегрируем по произведению окружностей $\left|\xi_{j}^{(v)}\right|=$ $=\left|\xi_{i j}^{(3)}\right|=1$. Так как полином $Q$ линеен по $\xi$, имеем $|\exp (Q(\xi))| \leqslant \exp (Q(\operatorname{Re} \xi))$, и по теореме Коши получаем: Положим $\mathscr{N} \equiv\left|\mathscr{B}_{1}\right|+\left|\mathscr{B}_{2}\right|+\left|\mathscr{B}_{3}\right|$. Заметим, что $|\Gamma| \leqslant \mathscr{N} \leqslant 2|\Gamma|$ и $|X| \leqslant$ $\leqslant 2|\Gamma|$. По теореме 16.23 Воспользуемся формулой Стирлинга $M !^{(1 / M)} \sim M / e$ и перепишем эту оценку в виде Выберем в качестве $M$ наибольшее четное число, удовлетворяющее неравенству $5 \lambda^{1 / 2} M \leqslant 1$. Тогда существует такая константа $K_{1}$, не зависящая от $\lambda$ и $\Gamma$, что при достаточно малых $\lambda$ Таким образом, теорема 16.2 .2 доказана и существование фазовых переходов сводится к доказательству теоремы 16.2.3. Доказательство теоремы 16.2.3 основано на двух предварительных связанных между собой оценках. Пусть $С=\left(-\Delta_{\partial \Lambda}+\lambda\right)^{-1}$ обозначает ковариационный оператор 乞де К-константа, зависящая только от $\|\xi\|_{L_{\infty}}$. Замечание. Множитель $(\ln \lambda)^{2}$ из оценки сверху можно исключить [Glimm, Jaffe, Spencer, 1976a]. Доказательство теоремы 16.2.3 в предположении, что доказаны предложения 16.2.4-5. В силу неравенства Гёльдера, поэтому достаточно оценить члены, соответствующие отдельным $Q_{v}$, при условии что $\|\xi\|_{L_{\infty}} \leqslant 3$. При $v=1,2$ оценку можно свести к случаю, когда $X$ – прямоугольник, если воспользоваться оценкой по методу многократных отражений, доказанной в следствии 10.5.8, положив $k^{(i)}=\exp Q_{ для прямоугольников $Y$, которую мы докажем ниже. Соответствующая редукция в случае $v=3$ проводится следующим образом. Вначале, пользуясь неравенством Гёльдера, мы сводим задачу к случаю, когда $Q_{3}$ есть сумма по непересекающимся парам. (В результате условие $|\xi| \leqslant 1$ заменяется условием $|\xi| \leqslant 4$.) Далее применяем следствие 10.5 .8 , заменив квадрат $\Delta_{j}$ прямоугольником $\Delta U \Delta^{\prime}$, где $\left(\Delta, \Delta^{\prime}\right) \in \mathscr{B}_{3}$. Таким образом, необходимо оценить среднее с $v=3$ величиной (16.2.12) в случае, когда $Y$ есть прямоугольник $2 L_{1} \times L_{2}$, а $\xi_{i j}^{(3)} Среднее в конечном объеме $\langle\cdot\rangle_{\Lambda}$, определяемое мерой $d \mu_{\Lambda}$ вида (11.2.1), сходится к среднему $\langle\cdot\rangle$ при $\Lambda \uparrow R^{2}$. Поэтому если $\Lambda$ содержит достаточно большее множество, зависящее от $\xi, Y, \lambda$ и $v$. Допустим, что $\Lambda \supset \Lambda(\xi, Y, \lambda, v)$. Мы будем оценивать (16.2.13) при фиксированых $(\xi, Y, \lambda, v)$, но получим оценку $\exp \left[K(\ln \lambda)^{2}|Y|\right]$, в которой $K$ не зависит от $(\xi, y, \lambda, v)$. Не теряя общности, можно выбрать в качестве $\Lambda$ прямоугольник $L \times T$, удовлетворяющий условиям $\lambda-3 / 2 \leqslant L \ll T$. Следующий шаг оценки величины (16.2.13) состоит в том, что $Y$ увеличивается по сравнению с $\Lambda$ до тех пор, пока не будет выполнено условие $|\Lambda| \leqslant$ $\leqslant 4|Y|$. Применим несимметричную оценку по методу многократных отражений, доказанную в теореме 12.4.2, положив $B=\exp Q_{v}\left(\xi^{(v)}, Y\right)$ и $K=Y$. Тогда $\left|\Lambda^{(n)}\right| \leqslant 4\left|K^{(n)}\right|$ и $B^{(n)}=\exp Q_{v}\left(\xi^{(v)}, K^{(n)}\right)$. Условие (12.4.9), налагаемое на $Z(\Lambda)$, вытекает из оценки (16.2.9) предложения 16.2 .4 в случае $\xi \equiv 0$. Таким образом, осталось оценить где $\Lambda=\Lambda^{(n)}$. Для доказательства (16.2.12) достаточно получить оценку Два миожителя в правой части оцениваются сверху с помощью предложений 16.2 .5 и 16.2 .4 соответственно. Доказательство предложения 16.2.4. Применяя масштабное тождество с $\alpha=\Lambda^{1 / 2}$, получаем (в обозначениях §8.6) Здесь $C_{\varnothing}=(-\Delta+I)^{-1}$ и $C_{B}=\left(-\Delta_{\partial\left(\lambda^{1 / 2} \Lambda\right)}+I\right)^{-1}$. Пусть $\chi_{x}(x)$ обозначает характеристическую функцию множества $X$. Тогда В качестве следующего шага произведем виково переупорядочение полинома $P$. Для этого воспользуемся преобразованием (8.6.1) и найдем пару функций $g=\left(g_{0}, g_{2}\right)$, удовлетворяющую уравнению Тогда Предварительно заметим, что где $d=\operatorname{dist}\left(x, \partial\left(\lambda^{1 / 2} \Lambda\right)\right)$. Следовательно, тде константа $K$ завнсит только от $\|\xi\|_{L_{\infty}}$. Здесь мы воспользовались тем фактом, что $\left|\lambda^{1 / 2} \Lambda\right|=\lambda|\Lambda|$. В силу неравенства (16.2.17), вклад, отвечающий $g_{0}$, при доказательстве (16.2.9) можно не учитывать. где $l=\left\{l_{i}\right\}$ – множество констант связи, определяемое самим этим равенством. Согласно замечанию 1 к следствию 10.3.2, Из нее следует нижняя оценка (16.2.9). Заметим, что Пусть $h(x)=\lambda^{-1 / 2} \chi_{s}(x)$, где $\chi_{s}$ – сглаженная характеристическая функция множества $\lambda^{1 / 2} \Lambda$, удовлетворяющая следующим условиям: Кроме того, мы выбираем $\chi_{s}$ так, что где константа не зависит от $\lambda, \Lambda$. Заметим, что abla \chi_{s}(x)=0, \quad \text { если dist }\left(x, \partial\left(\lambda^{1 / 2} \Lambda\right)\right) \geqslant 1 . Используя (16.2.21-22) и предположение $\lambda^{-3 / 2} \leqslant L$, получаем, что Таким образом, второй член в (16.2.20) удовлетворяет оценке (16.2.19). где константа зависит только от $\|\xi\|_{L_{\infty}}$. Наконец, учитывая (16.2.16), имеем Суммируя эти оценки, получаем (16.2.19). Здесь $Z_{N}$ обозначает статистическую сумму, отвечающую ковариационному оператору $C_{N}=\left(-\Delta_{N}+I\right)^{-1}$ с граничными условиями Неймана. При этом оператор $\bar{C}_{N}$ задает и виково упорядочение, и ковариацию гауссовой меры. Оценим сверху $Z_{N}\left(\left(f+g_{2}\right) \chi_{\Delta}\right)$. Для этого мы получим оценку снизу для $: P\left(\Phi_{x^{\prime}}(f+\right.$ $\left.\left.+g_{2}\right) \chi_{\Delta}\right):_{C_{N}}$. Используя затем эту оценку и неравенство (8.6.23), получим, что откуда вытекает требуемое неравенство Для того чтобы оценить снизу : $P\left(\varphi_{\varkappa},\left(f+g_{2}\right) \chi_{\Delta}\right):_{c_{N}}$, воспользуемся формулой викова упорядочения (8.5.5) и запишем Здесь $A$ определяется с помощью приведения к полному квадрату, а $B$ состоит из остальных членов, причем в $B$ расходимости старшего порядка сокращаются: где $c_{\chi}(x)=\delta_{\varkappa} * C_{N} * \delta_{\varkappa}=O(\ln x)$, а функция $\delta c(x)$ определена выше. Таким образом, и константа зависит только от $\|\xi\|_{L_{\infty}}$. Заметим, что норма $M\left(\left(f+g_{2}\right) \chi_{\Delta}\right)$, определяемая выражением (8.6.6), удовлетворяет неравенствам const $\lambda^{-1} \leqslant M((f+$ $\left.\left.+g_{2}\right) \chi_{\Delta}\right) \leqslant$ const $\lambda^{-1}$, где константы зависят только от $\|\xi\|_{L_{\infty}}$. Следовательно, Применим оценку (8.6.23), положив $m=M=1, \Lambda=\Delta, n=4, L=0$. В результате получим требуемое неравенство Доказательство предложения 16.2.5. С учетом неравенства Іварца случаи $Q_{2}$ и $Q_{3}$ можно оценивать по отдельности. При этом область значений увеличивается в два раза. Рассмотрим вначале $Q_{3}$. Как и при доказательстве теоремы 16.2 .3 , применяя неравенство Гёльдера, мы можем считать, что $Q_{3}$ есть сумма по непересекающимся парам квадратов $\left(\Delta, \Delta^{\prime}\right)$. Пусть $\mathscr{B}$ обозначает множество таких пар. Положим $C_{N}=\left(-\Delta_{N}+\lambda\right)^{-1}$, где оператор $\Delta_{N}$ определяется граничными условиями Неймана на $\partial\left(\Delta U \Delta^{\prime}\right)$ для всех пар $\left(\Delta, \Delta^{\prime}\right) \in \mathscr{\mathscr { R }}$. По неравенству обусловленности предложения 10.3.1 Пусть $\left(\Delta, \Delta^{\prime}\right) \in \mathscr{B}$; полоким $h \equiv \chi_{\Delta}-\chi_{\Delta^{\prime}}$. Так как правая часть неравенства (16.2.24) факторизуется, мы получаем Функция $h$ ортогональна функциям, постоянным на $\Delta U \Delta^{\prime}$. Поэтому $h$ ортогональна основному состоянию оператора – $\Delta_{N}$ в $L_{2}\left(\Delta U \Delta^{\prime}\right)$. В этом гильбертовом пространстве $C_{N}$ – компактный оператор. Пусть $E_{1}$ – наименьшее ненулевое собственное значение оператора $-\Delta_{N}$. Тогда справедлива оценка, не зависящая от $\lambda$ : Так как $|\mathscr{B}| \leqslant|X|$, мы полуцаем требуемое неравенство в котором константа $K$ не зависит от $\lambda, X, \Lambda$. где $\alpha$-константа, удовлетворяющая равномерной по $\lambda$ оценке $|\alpha| \leqslant O(|X|)$. Таким образом, $\alpha$ можно в дальнейшем не учитывать. Пусть $C_{N}=\left(-\Delta_{N}+\lambda\right)^{-1}$ обозначает теперь ковариационный оператор сграничными условиями Неймана на границе всех квадратов решетки $\Delta$. Согласно неравенству обусловленности предложения 10.3.1, Достаточно показать, что каждый член в этом произведении не превосходит некоторой константы, не зависящей от $\lambda$. Пусть $\chi_{\Delta}$ обозначает оператор умножения на $\chi_{\Delta}$, а $P_{\Delta}$ – оператор ортогонального проектирования на подпространство констант в $L_{2}(\Delta)$. Тогда \[ тде $v(x, y)$ – ядро оператора $v=|\ln \lambda|^{-1} \xi^{(2)}\left(\chi_{\Delta}-P_{\Delta}\right)$. Из (9.1.26b) следует, что тде $A=C_{N}^{1 / 2} v C_{N}^{1 / 2}$, а $\|A\|_{\text {нs }}$ обозначает норму Гильберта – Шмидта оператора $A$. Последнее неравенство выполняется, если $\|A\|_{\text {нS }}<1$. Подпространство констант принадлежит ядру оператора $\chi_{\Delta}-P_{\Delta}$ в $L_{2}(\Delta)$ и $0 \leqslant \chi_{\Delta}-P_{\Delta} \leqslant I$. Kроме того, $\left(-\Delta_{N}+\lambda\right)^{-1}$ – компактный оператор в $L_{2}(\Delta)$. Следовательно, где $E_{j}=$ const $|j|^{2}\left(j \in Z^{2}\right)$ – ненулевые собственные значения оператора $-\Delta_{N}$ в $L_{2}(\Delta)$. Сумма $\sum_{j
|
1 |
Оглавление
|