Основные результаты о свойствах ядер $C_{\varnothing}(x, y)$ и $C_{\Gamma}(x, y)$ были получены в гл. 7. Здесь мы покажем, что производные ковариационного оператора $\partial^{v} C$ удовлетворяют более сильным оценкам, включая экспоненциальное убывание $e^{-O(d)}\left(\S 18.4,\left(\mathrm{~d}_{2}\right)\right)$. Пусть $d W_{x y}^{T}(\omega)$ – условная мера Винера на траекториях $\omega(\tau)$ с началом в точке $x$ при $\tau=0$ и концом в точке $y$ при $\tau=T$. Пусть $\chi_{T}^{T}(\omega)-$ характеристическая функция множества траекторий, не пересекающих $\Gamma$ при $0 \leqslant \tau \leqslant T$; см. $\S 7.8$. Тогда с помощью $\chi_{\Gamma}^{T}$ можно выразить $C_{\Gamma}$ в виде интеграла Винера (см. (7.8.3)) и аналогично
\[
C(s)(x, y)=\int_{0}^{\infty} d T e^{-m_{0}^{2} T} \int \prod_{b \in \mathscr{B}}\left(s_{b}+\left(1-s_{b}\right) \chi_{b}^{T}\right) d W_{x y}^{T} .
\]

Следовательно,
\[
\begin{aligned}
\left(\partial^{\gamma} C(s)\right)(x, y) & =\int_{0}^{\infty} d T e^{-m_{0}^{2} T} \times \\
& \times \int_{b \Subset \gamma}\left(1-\chi_{b}^{T}\right) \prod_{b \in \mathscr{K} \backslash \gamma}\left[s_{b}+\left(1-s_{b}\right) \chi_{b}^{T}\right] d W_{x y}^{T} .
\end{aligned}
\]

Нам необходимо было улучшить оценку производной $\partial
u C$ по двум причинам. Во-первых, для данного контура $\gamma$ нужно локализовать $x$ и $y$. С этой целью обозначим через $j=\left(j_{1}, j_{2}\right)$ пару узлов решетки, являющихся ближайшими соседями точек $x$ и $y$ соответственно. Тогда
\[
d(j, \gamma)=\sup _{b \in \gamma}\left\{\operatorname{dist}\left(\Delta_{j_{1}}, b\right)+\operatorname{dist}\left(\Delta_{j_{2}}, b\right)\right\}
\]

дает грубую нижнюю оценку для $d$.
Объясним теперь, каково еще одно применение оценки производных $\partial \gamma C$. Пусть $\mathscr{P}(\Gamma)$ – семейство всех разбиений $\pi$ множества ребер, принадлежащих Г. В предложении 18.4 .3 требуется оценить производную $\partial^{\Gamma} \int F d \varphi_{s}$, которая, согласно правилу Лейбница и (9.1.33), есть не что иное, как
\[
\partial^{\Gamma} \int F d \varphi_{s}=\sum_{\pi \in \mathcal{S}(\Gamma)} \int\left(\prod_{\gamma \in \pi} \frac{1}{2} \partial^{\gamma} C \cdot \Delta_{\varphi}\right) F d \varphi_{s} .
\]

Оценки величин $\partial v C$ позволяют оценить сумму $\sum_{\pi \in \mathcal{S}(\Gamma)}$. Как и в гл. 7 , мы установим, что в оценку входит множитель $m_{0}^{-O(|\gamma|)}$, обеспечивающий сходимость кластерного разложения.
Предложение 18.6.1. Пусть $1 \leqslant q \leqslant \infty$, а $m_{0}$ достаточно велико. Существуют такие константы $K_{4}(q, \gamma)$ и $K_{5}(q)$, не зависящие от $m_{0}$, что
\[
\begin{array}{c}
\left\|\partial^{\gamma} C\right\|_{L_{q}\left(\Delta_{j_{1}} \times \Delta_{j_{2}}\right)} \leqslant K_{4}(q, \gamma) m_{0}^{-|\gamma| / 2 q} \exp \left(-\frac{m_{0} d(j, \gamma)}{2}\right), \\
\sum_{\pi \in \mathcal{S}(\Gamma)} \prod_{\gamma \in \pi} K_{4}(q, \gamma) \leqslant e^{K:(q)|\Gamma|} .
\end{array}
\]

Доказательство. Воспользуемся представлением (18.6.1) величины $\delta^{\gamma} C$ в виде интеграла Винера. Доказательство состоит, во-первых, из оценки меры Винера множества траекторий $\omega(\tau)$, пересекающих ребра $b \in \gamma$ в некотором фиксированном порядке, и, во-вторых, комбинаторного подсчета числа способов, которыми можно ввести указанный порядок.

Пусть $L(\gamma)$ – семейство всевозможных линейных упорядочений на множөстве ребер $b \in \gamma$. Для каждого $l \in L(\gamma)$ обозначим $\mathscr{W}(l)$ множество винеровы траекторий, пересекающих все ребра $b \in \gamma$, причем порядок, в котором ребра пересекаются в первый раз, совпадает с $l$. Тогда
\[
\begin{array}{c}
0 \leqslant \partial^{\gamma} C(s) \leqslant \int_{0}^{\infty} e^{-m_{0}^{2} T} \int \prod_{b \Subset \gamma}\left(1-\chi_{b}^{T}(\omega)\right) d W_{x y}^{T} d T \approx \partial^{\gamma} G_{\varnothing}, \\
\partial^{\gamma} C_{\varnothing}(x, y)=\sum_{l \in L(\gamma)} \int_{0}^{\infty} e^{-m_{0}^{2} T} \int_{\mathscr{W}(l)} d W_{x y}^{T} d T .
\end{array}
\]

Пусть $b_{1}, \ldots, b_{2}, \ldots$ – элементы $\gamma$, упорядоченные согласно $l$. Пусть $b_{2}^{\prime}$ – первое из ребер, не имеющее общего конца с $b_{1}=b_{1}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, b_{3}^{\prime}$ – первое из ребер после $b_{2}^{\prime}$, также не касающихся $b_{2}^{\prime}$, и т. д. Положим
\[
a_{j}=\operatorname{dist}\left(b_{j+1}^{\prime}, b_{j}^{\prime}\right), \quad 1 \leqslant j \leqslant J,
\]

и определим величину
\[
|l|=\sum_{j=1}^{J} a_{j} .
\]

Условимся считать, что если ребра $b_{2}^{\prime}$ с указанными свойствами не существует, то $|l|=0$.

Пользуясь введенными обозначениями, оценим член в (18.6.7), отвечающий $l \in L(\gamma)$, т. е.
\[
K(l, x, y)=\int_{0}^{\infty} e^{-m_{0}^{2} T} \int_{\mathscr{P}(t)} d W_{x y}^{T} d T .
\]

Применим индукцию по $J$, т. е. по числу ребер $b_{f}^{\prime}$, и воспользуемся строго марковским свойством. Строго марковское свойство винерова процесса (см. [McKean,
1969, p. 10]) означает, что момент первого достижения
\[
\tau_{1}=\inf \left\{t \geqslant 0: \omega(t) \in b_{1}\right\}
\]

есть измеримая функция на траекториях $\omega$, а процесс $s \rightarrow \omega\left(s-\tau_{1}\right)$ есть условный винеров процесс с началом на $b_{1}$.

Пусть $l^{\prime}$ – линейное упорядочение множества $\left\{b_{1}^{\prime}, \ldots, b_{J}^{\prime}\right\}$, отвечающее $l$, а $l_{1}^{\prime}$ – упорядочение ребер $\left\{b_{2}^{\prime}, \ldots, b_{J}^{\prime}\right\}$, также определяемое порядком $l$. Тогда
\[
K(l, x, y) \leqslant K\left(l^{\prime}, x, y\right) \equiv \int_{0}^{\infty} e^{-m_{0}^{2} T} \int_{W^{\prime}\left(t^{\prime}\right)} d W_{x y}^{T} d T .
\]

Положим
\[
\begin{aligned}
\mathscr{W}^{P}\left(l^{\prime}, t_{1}\right) & =\left\{\omega \in \mathscr{F}^{\prime}\left(l^{\prime}\right): \tau_{1}(\omega) \leqslant t_{1}\right\}, \\
v\left(l^{\prime}, t_{1}\right) & =\int_{\left.\mathscr{W}_{\left(l^{\prime}\right.}, t_{1}\right)} d W_{x y}^{T} .
\end{aligned}
\]

Тогда $v\left(l^{\prime}, t_{1}\right)$-монотонно возрастающая функция $t_{1}$, причем
\[
\int_{\mathscr{F}\left(l^{\prime}, t_{1}\right)} d W_{x y}^{T}=v\left(l^{\prime}, \infty\right)=v\left(l^{\prime}, \infty\right)-v\left(l^{\prime}, 0\right)=\int_{0}^{\infty} d v\left(l^{\prime}, t_{1}\right) .
\]

Подставляя это в (18.6.8a), получаем, что
\[
K(l, x, y) \leqslant \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \exp \left(-m_{0}^{2} T\right) v\left(l^{\prime}, t_{1}\right) d T .
\]

В силу строго марковского свойства, интеграл по траекториям при $t \geqslant \tau_{\text {: может }}$ быть переписан как интеграл по условной мере Винера при условии, что траектория начинается в $b_{1}$. Чтобы записать это явно, введем обозначения
\[
\mathscr{W}\left(t_{1}\right)=\left\{\omega \in \mathscr{W}^{\prime} \tau_{1}(\omega) \leqslant t_{1}\right\}, \quad v\left(t_{1}, x\right)=\int_{\mathscr{W}\left(t_{1}\right)} d W_{x} .
\]

Здесь $\mathscr{F}$ – множество винеровых траекторий $\omega(\cdot)$, удовлетворяющих условию $\omega(0)=x$, а $d W_{x}-$ мера Винера на $\mathscr{W}^{\circ}$. Обозначим $\xi=\xi(\omega)=\omega\left(\tau_{1}(\omega)\right) \in b_{1}$ точку первого пересечения с ребром $b_{1}$. Это измеримая функция от $\omega$ в снлу измеримости $\tau_{t}$. Тогда из строго марковского свойства следует тождество
\[
d v\left(l^{\prime}, t_{1}\right)=\int_{\mathscr{F}^{\prime}\left(l^{\prime}\right)} d W_{\xi(\omega), y}^{T-t_{1}} d v\left(t_{1}, x\right) .
\]

Из этого тождества получаем, что
\[
d v\left(l^{\prime}, t_{1}\right) \leqslant d v\left(t_{1}, x\right) \sup _{\xi \in b_{1}} \int_{\mathscr{W}^{\prime}\left(l^{\prime}\right)} d W_{\xi, y}^{T-t_{1}} .
\]

Подставляя в (18.6.8.b) это неравенство, а также тождества $T=T-\tau_{1}+\tau_{1}$ и $d T=d\left(T-\tau_{1}\right)$, получим, что
\[
K(l, x, y) \leqslant \int_{0}^{\infty} \exp \left(-m_{0}^{2} t_{1}\right) d v\left(t_{1}, x\right) \sup _{\xi \in b_{1}} \int_{0}^{\infty} \exp \left(-m_{0}^{2} s\right) \int_{W^{\prime}\left(l_{1}^{\prime}\right)} d W_{\xi, y}^{s} d s .
\]
Первый сомножитель $\int \exp \left(-m_{0}^{2} \tau_{1}(\omega)\right) d W_{x}$ убывает экспоненциально с ростом расстояния $d\left(x, b_{1}\right)$, поскольку он не превосходит $\int \exp \left(-m_{0}^{2} \sigma\right) d W_{x}$, где $\sigma-$ время первого пересечения бесконечной полосы (шириной $d\left(x, b_{1}\right)$ ), отделяющей $x$ от $b_{1}$. Интеграл $\int \exp \left(-m_{0}^{2} \sigma\right) d W_{x}$ приводится к одномерному интегралу Винера, вычисленному в работе [McKean, 1969, p. 27], и равен $e^{-m_{0}^{2} d}$. Это показывает, что при $J=0,1$ ядро $K(l, x, y)$ обладает требуемым свойством экспоненциалінного убывания.

Проведем теперь индукцию по J. Второй сомножитель в (18.6.8с) экспоненциально убывает с ростом $\left|l_{1}^{\prime}\right|$. Сочетая эти две оценки, получим, что $K(l, x, y) \leqslant K_{6}^{J} e^{-m_{0}|l|}$ при $|l| \geqslant 1$. При $|l|=0$ воспользуемся тем обстоятельством, что
\[
0 \leqslant \frac{d}{d s_{b}}\left(s_{b}+\left(1-s_{b}\right) \chi_{b}^{T}\right)=1-\chi_{b}^{T} \leqslant 1 .
\]

Отсюда вытекает, что $0 \leqslant \partial^{\vee} C \leqslant C_{\varnothing}$, и поэтому достаточно воспользоваться оценками § 7.2. Можно получить аналогичную оценку, основанную на использовании метрики $d(j, \gamma)$, определенной в (18.6.2). Взяв среднее геометрическое этих двух оценок, получим, что при $2 \delta<1$

если $m_{0}$ достаточно велико. В случае, когда $|l| \geqslant 1$ для всех $l \in L(\gamma)$, мы можем добавить в правую часть (18.6.9) множитель $m_{0}^{-|\gamma|}$ (увеличивая при необходимости 8 ). Если $|l|<1$ для некоторого $l$, то $|l|=0$, и в этом случае $|\gamma| \leqslant 4$. При $|\gamma| \leqslant 4$ и $d(j, \gamma) \geqslant 1$ мы снова можем считать, что в правой части (18.6.9) присутствует множитель $m_{0}^{-|\gamma|}$, увеличивая, если нужно, 8. Наконец, при $|\gamma| \leqslant 4$ и $d(j, \gamma)=0$ множитель $m_{0}^{-|\gamma| / 2 q} \geqslant m_{0}^{-2 / q}$ появляется в (18.6.4) из соображений подобия, как и в предложении 7.9.1.
Положим по определению
\[
K_{4}(q, \gamma)=\mathrm{const} \sum_{l \in L(\gamma)} K_{7}^{\left\lfloor\gamma l^{-m_{0}}|l| /(2+2 \delta)\right.} .
\]

При таком выборе $K_{4}$ выполнено неравенство (18.6.4); в случае, если $d(j, \gamma)=0$ и $|l|=0$ для некоторого $l$, мы можем для вывода неравенства (18.6.4) применить оценку из предложения 7.9.4.

Итак, осталось установить неравенство (18.6.5). Мы докажем его как самостоятельное утверждение.

Предложение 18.6.2. При достаточно больших $m_{0}$ имеет место оценка
\[
\sum_{\pi \in \mathscr{S}(\Gamma)} \prod_{\gamma \in \pi} \sum_{l \in L(\gamma)} e^{-m_{0}|l| / 3} \leqslant e^{K_{\mathrm{s}}|\Gamma|} .
\]

Доказательство. Пусть $\mathscr{L}(\Gamma)$ – семейство всех линейных упорядочений, определенных на подмножествах в $Г$. Тогда $L(\Gamma) \underset{
eq}{\subset} \mathscr{L}(\Gamma)$. Так же, как и ранее, определим величину $|l|$ для $l \in \mathscr{L}(\Gamma)$. Покажем, что число таких упорядочений $l \in \mathscr{L}(\Gamma)$, для которых $|l| \leqslant r$, не превосходит
\[
|\Gamma| e^{K_{9}(r+1)} .
\]

Применяя теперь (18.6.12), завершим доказательство предложения 18.6.1. Пусть $A_{l}=\exp \left(-m_{0}|l| / 3\right)$. Выражение $\sum \prod \sum A_{l}$ в (18.6.11) представляет собой сумму членов вида $A_{l_{1}} A_{l_{2}} \ldots A_{l_{j}}$, где $l_{i}$ – попарно различные элементы $\mathscr{L}(\Gamma)$. Группируя слагаемые, мы оценим (18.6.11) сверху следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\sum \prod \sum A_{l} & \leqslant \sum_{l \in \mathscr{L}(\Gamma)} A_{l_{1}} \ldots A_{l_{j}}=\prod_{l \in \mathscr{L}(\Gamma)}\left(1+A_{l}\right) \leqslant \\
& \leqslant \prod_{l \in \mathscr{L}(\Gamma)} \exp A_{l}=\exp \sum_{l \in \mathscr{L}(\Gamma)} A_{l} \leqslant \exp (O(1)|\Gamma|) .
\end{aligned}
\]

В последнем выражении мы воспользовались оценкой (18.6.12) для того, чтобы оценить $\sum_{l \in \mathscr{L}(\Gamma)} A_{l}$, выбирая при этом $m_{0}$ достаточно большим.

Установим теперь неравенство (18.6.12). Предположим, что заданы расстоя. ния $a_{i}$ с фиксированной целой частью $\left[a_{i}\right]$. Ребро $b_{1}=b_{1}^{\prime}$ можно выбрать $|\Gamma|$ способами. Число способов, которыми можно выбрать ребра $b_{i}$ между $b_{1}^{\prime}$ и $b_{2}^{\prime}$ ограничено некоторой константой $O(1)$, поскольку все эти ребра должны пересекаться $r b_{1}$. Далее, ребро $b_{2}^{\prime}$ можно выбрать $O(1)\left[a_{1}\right]$ способами среди множества ребер $b$, удовлетворяющих условиям
\[
\left[a_{1}\right] \leqslant \operatorname{dist}\left(b, b_{1}^{\prime}\right)<\left[a_{1}\right]+1 .
\]

Действуя таким образом, мы находим, что общее число способов выбрать все ребра $b_{i}$ допускает оценку
\[
|\Gamma| \prod_{i} O(1)\left[a_{i}\right] \leqslant|\Gamma| e^{O(1) \sum\left[a_{i}\right]} \leqslant|\Gamma| e^{O(1) r} .
\]

Наконец, подсчитаем, сколькими способами можно выбрать величины [a $\left.a_{i}\right]$. Это есть не что иное, как количество наборов натуральных чисел $r_{i} \geqslant 1$, сумма которых не превосходит $r$, т. е. 2 . Действительно, предположим, что $\sum r_{i}=r$, и представим сумму $r$ единиц в виде $\sum r_{i}$ следующим образом. Первая единица входит в $a_{1}$ (выбора нет). Вторая единица входит либо в $a_{1}$, либо в $a_{2}$ (двузначный выбор). Если $j$-я единица входит в $a_{i}$, то $(j+1)$-я входит либо в $a_{i}$, либо $a_{i+1}$ (двузначный выбор). Таким образом, имеется $t-1$ двузначных выборов, т. е. $2^{r-1}$ различных наборов чисел $r_{i}$. Суммируя по $i=\sum r_{i}$, мы получим величину $\sum_{j=1}^{r} 2^{j-1}=2^{r}-1$. Наконец, мы должны учесть еще одну возможность: $|l|=0$ ( $a_{i}$ отсутствуют).