Қлассическая физика оказывается непригодной при изучении атомов и молекул. Например, атом водорода состоит из двух частиц: ядра – протона с зарядом $+e$ и массой $m_{p}$ и электрона с зарядом -e и массой $m_{e}$. Ядро тяжелое, $m_{p} / m_{e} \approx 2000$, и относительно небольшое: радиус протона примерно в $10^{-3}$ раз меньше радиуса атома. Согласно классическим представлениям, под действием притягивающего кулонова потенциала $V(r)=-e^{2} / r$ электрон должен был бы вращаться вокруг протона подобио тому, как Луна под действием гравитационного притяжения врацается вокруг Земли. Однако в таком случае движущийся с ускорением заряженный электрон должен был бы непрерывно излучать энергию, что привело бы к разрушению атома.

Первоначальной задачей квантовой механики было объяснение устойчивости атомов и молекул и выяснение причин, по которым частоты излучения света возбужденными атомами принимают дискретные значения. Успех квантовой механики в предсказании атомных и молекулярных спектров явился грандиозным достижением науки двадцатого столетия. Теперь нет никакого сомнения в том, что квантовая механика дает истинное описание явлений природы. В этой главе будут сформулированы в виде постулатов основные принципы квантовой механики без каких бы то ни было попыток обосновать их или вывести. Мы предпочитаем рассматривать классическую механику (§1.2) как предел квантовой механики при $\hbar \rightarrow 0$. Постулаты разделены на основные (помеченные буквой Р) и те, которые справедливы в ограниченном классе теорий.
Постулат P1. Чистыми состояниями квантовомеханической системы являются лучи в некотором гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$ (или единичные векторы с произвольной фазой).

Как и в классическом случае, указать чистые состояния квантовой системы – это все, что можно о ней сказать.
Представление о состояниях как о лучах в гильбертовом пространстве приводит к вероятностной ннтерпретации квантовой механики. Рассмотрим физическую систему в состоянии $\theta$; тогда вероятность ее пребывания в чистом состоянии $\chi$ равна $|\langle\theta, \chi\rangle|^{2}$. Очевидно, что $0 \leqslant|\langle\theta, \chi\rangle|^{2} \leqslant 1$.

Заметим, что, хотя фаза вектора $\theta$ физически несущественна, относительная фаза двух векторов $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ уже важна. Другими словами, если $|\alpha|=1$, то $|\langle\alpha \theta, \chi\rangle|$ не зависит от $\alpha$, а вот $\left|\left\langle\theta_{1}+\alpha \theta_{2}, \chi\right\rangle\right|$ зависит. Поэтому удобнее всего рассматривать чистые состояния просто как векторы гильбертова пространства, а нормировать их лишь в конкретных вычислениях.
Постулат Р2. Наблюдаемыми в квантовой механике являются самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве $\mathscr{C}$. Среднее значение наблюдаемой $B$ для системы, находящейся в состоянии $\theta$, равно
\[
E_{\theta}(B)=\langle\theta, B \theta\rangle /\langle\theta, \theta\rangle .
\]

Примеры наблюдаемых: гамильтониан (энергия), импульс, координата (частицы).

Заметим, что введение «статистических смесей» в квантовую механику приводит к квантовой статистической механике. Обычно система квантовой статистической механики описывается при помощи положительного оператора $\rho$ со следом ( $\operatorname{tr} \rho<\infty$ ). При этом среднее значение вычисляется по формуле
\[
\rho(B)=\operatorname{tr}(\rho B) / \operatorname{tr} \rho .
\]

Если ранг оператора $\rho$ равен 1 , то $\rho$ задает чистое состояние (1.3.1), а $\rho / \operatorname{tr} \rho$ – проекция на одномерное подпространство, порожденное вектором $\theta /\|\theta\|$. В других случаях состояние $\rho(B)$ является выпуклой линейной комбинацией чистых состояний:
\[
\rho(B)=\sum \alpha_{i}\left\langle\theta_{i}, B \theta_{i}\right\rangle,
\]

где $\theta_{i}$ – ортонормированная система собственных векторов оператора $\rho$, а $\sum \alpha_{i}=1$.
Постулат Р3. Гамильтониан $H$ является инфинитезимальным генератором унитарной группы $U(t)=e^{-i t H / \hbar}$ сдвигов по времени, импульс $\mathbf{P}$ – инфинитезимальным генератором унитарной группы $e^{i_{\mathbf{x}} \cdot \mathbf{P} / \hbar}$ пространственных сдвигов, а угловой момент (момент количества движения) J – инфинитезимальным генератором унитарной группы пространственных вращений.

Группа $U(t)$ сдвигов по времени определяет динамику. В кванТовой механике общеприняты два разных подхода: шредингеровский и гейзенберговский. В первом наблюдаемые не меняются со временем, а состояния эвонюцнонируют по формуле
\[
\theta(t)=e^{-i t H / h} \theta \text {. }
\]

Векторы-состояния удовлетворяют уравнению Шредиигера
\[
\text { iћ } d \theta(t) / d t=H \theta(t) .
\]

Зависящее от времени состояние $\theta(t)$ задает среднее значение $E_{\theta(t)}(B)$.

Второй подход к описанию динамики – это картина Гейзенберга, в которой состояния неподвижны, а наблюдаемые эволюционируют в соответствии с действием группы автоморфизмов
\[
B \rightarrow B(t)=e^{i t H / \hbar} B e^{-i t H / \hbar}=U(t)^{*} B U(t) .
\]

Произвольная наблюдаемая $B$ удовлетворяет уравнению динамики
\[
\hbar d B(t) / d t=[i H, B(t)],
\]

формальным решением которого служит ряд
\[
B(t)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i t / \hbar)^{n}}{n !}[H,[H, \ldots,[H, B], \ldots]] .
\]

Отметим сходство между (Н2-3) и формулами (1.2.8-9); роль скобок $\{\cdot, \cdot\}$ играет коммутатор $[\cdot, \cdot](i \hbar)^{-1}$. Постоянная Планка in имеет физическую размерность действия, как и произведение $p q$.

Связь между представлениями Гейзенберга и Шредингера устанавливается равенством
\[
E_{\theta(t)}(B)=E_{\theta}(B(t)) .
\]

Заметим, что из постулата Р3 следует, что результаты наблюдения (т. е. значения скалярного произведения $\langle\theta, \chi\rangle$ ) не зависят от того, в какой момент времени это наблюдение производилось, т.е.
\[
|\langle\theta, \chi\rangle|=|\langle\theta(t), \quad \chi(t)\rangle| .
\]

Обратно, пусть $\theta$ и $\theta^{\prime}$ – два вектора гильбертова пространства $\mathscr{H}$, полученных один из другого при помощи некоторой симметрии $\mathscr{H}$, т. е. взаимно однозначного преобразования $\mathscr{H}$ на себя, которое сохраняет вероятности: $|\langle\theta, \chi\rangle|=\left|\left\langle\theta^{\prime}, \chi^{\prime}\right\rangle\right|$.
Теорема 1.3 .1 (Вигнер). Каждая симметрия гильбертова пространства $\mathscr{H}$ лвляется либо унитарным преобразованием $U: \theta^{\prime}=U \theta$, либо антиунитарным оператором $A: \theta^{\prime}=A \theta$.

Этот результат показывает, что любую симметрию гильбертова пространства $\mathscr{H}$ можно рассматривать как представление какойнибудь группы координатных преобразований. В частности, группа сдвигов по времени действует с помощью унитарной группы операторов $U(t)$ в $\mathscr{C}$. Лиџь некоторые дискретные симметрии (например, обращение времени в нерелятнвнстской квантової механие) представляются антиунтарными преобразованиями в $\mathscr{H}$.

Перейдем теперь ко второй части этоғо параграфа, в которой мы подробно рассмотрим случай нерелятивистской квантовой механики. При стандартном описании системы $n$ частиц, движущихся в поле потенциала $V$, вводят гильбертово пространство
\[
\mathscr{H}=L_{2}(Q),
\]

где $Q=R^{3 n}$ – конфигурационное пространство. Выбор гильбертова пространства в виде (1.3.5) называется шредингеровым представлением (не путать со шредингеровой картиной). Функция $\psi(q) \in \mathscr{H}$ интерпретируется как плотность распределения вероятностей $\rho(q)=|\psi(q)|^{2}$ голожения частиц в пространстве $Q$.
Согласно Р3, имеем
\[
p_{i}=(\hbar / i)
abla_{q_{i}}
\]

а гамильтониан вида
\[
H=\sum_{j}\left(p_{i}^{2} / 2 m_{j}\right)+V(q)
\]

превращается в эллиптический дифференциальный оператор
\[
H=-\sum_{j}\left(\hbar^{2} / 2 m_{j}\right) \Delta_{q_{j}}+V(q) .
\]

Заметим, что (канонические) коммутационные соотношения
\[
\left[q_{i}, q_{j}\right]=0=\left[p_{i}, p_{j}\right], \quad\left[p_{i}, q_{j}\right]=-i \hbar \delta_{i j} I
\]

подобны соотношениям (1.2.7), в которых скобки $\{\cdot, \cdot\}$ заменены коммутатором $[\cdot, \cdot](i \hbar)^{-1}$. Эти соотношения сохраняются при действии гейзенберговой динамики.

Представление (1.3.5) не позволяет учесть спин элементарных частиц, например нулевой спин у $\pi$-мезона (пиона), спин $1 / 2$ у электрона, мюона, протона или нейтрона, спин 1 у фотона и более высокие значения спина у других частиц или ядер. Для того чтобы изучать взаимодействия, зависящие от спина (например, взаимодействие спинового магнитного момента с магнитным полем), мы должны вместо пространства (1.3.5) рассмотреть $n$-кратное тензорное произведение
\[
\mathscr{H}=\otimes L_{2}(Q, S) .
\]

Здесь $Q=R^{3}$, а $L_{2}$ – пространство функций, определенных на $Q$, со значениями в спиновом пространстве $S$ конечной размерности. Для частиц с нулевым спином $S=C$, и именно этому случаю соответствует выбор пространства (1.3.5). Для частиц с ненулевым спином $S=C^{2 s+1}$. Компоненты вектора $\theta(q)$ в этом случае обозначим $\theta(q, \zeta)$. Группа вращений (генераторами которой служат операторы составляющих углового момента J) действует как на переменную $q$, так н на индекс $\zeta$, причем последний преобразуется с помощью $n$-кратного тензорного представления спиновой группы $S U(2, R)$ (универсальной накрывающей группы вращений $S O(3)$ ).

B физике принято считать, что частицы одного типа неразличимы. Другими словами, для системы из пяти одннаковых частиц, зная, что три из них находятся в области $B$, мы не можем точно сказать, какие именно эти три частицы. Поэтому чтобы построить теорию неразличимых частиц, мы должны ограничиться подмножеством в (1.3.10), инвариантным относительно действия неприводимого представления симметрической группы (т. е. группы перестановок из $n$ элементов – координат частиц $\left.\left(q_{i}, \zeta_{i}\right), i=1, \ldots, n\right)$. Для частиц с целым спином, например для $\pi$-мезонов или фотонов, всегда выбирают полностью симметричне представление, а для частиц с полуцелым спном, таких, как электроны, протоны или нейтроны, – полностью антисимметричное представление.

Выбор антисимметричного представления в задачах атомной и молекулярной физики для частиц со спином $1 / 2$ называется принципом запрета Паули. Можно показать, что в квантовой теории поля для частиц с целым спином представление симметрической группы не может быть антисимметричным, а для частиц с полуцелым спином – симметричным. С другой стороны, не исключены более сложные представления (называемые парастатистиками). Впрочем, их существование не подтверждается никакими экспериментальными данными. Частицы с целым спином называются бозонами, а с полуцелым – фермионами.
Постулат Р4. Состояние квантовомеханической системы симметрично относительно перестановок одинаковых бозонов и антисимметрично относительно перестановок одинаковых фермионов.