Основной целью этой главы является проверка аксиом Вайтмана и Хаага-Қастлера, а также доказательство теорем 6.1.5-6. Предполагается, что задана мера $d \mu$ на пространстве $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right)$, которая удовлетворяет аксиомам OS $0-3$ гл. 6 . В гл. 6 мы построили евклидово поле $\varphi$, где операторы действуют в пространстве $\mathscr{E}=L_{2}\left(\mathscr{D}^{\prime}, d \mu\right)$, и гильбертово пространство $\mathscr{C}$ квантовомеханических состояний как пополнение пространства $\mathscr{E}+/ \mathscr{P}$.

Обозначим $Y$ банахово пространство, полученное пополнением $C_{0}^{\infty}\left(R^{d}\right)$ по норме
\[
\|f\|=\|f\|_{L_{1}}+\|f\|_{L_{p}} .
\]

Так как характеристический функционал $S\{f\}$ меры $d \mu$ предполагается непрерывным в нормах пространств $L_{1}$ и $L_{p}$ (см. (6.1.5)), то получаем
Предложение 19.1.1. Если справедливы аксиомы OS 0-1, то функционал $S\{f\}$ продолжается по непрерывности до целой аналитической функции на $Y$, а моментные функции $S_{n}$ меры $d \mu$ продолжаются до непрерывных полилинейных функционалов на пространстве $Y \times \ldots \times Y$.

Доказательство. Для доказательства аналитичности функционала $S\{f\}$ при $\{\in Y$ воспользуемся теоремой Витали: последовательность аналитических функций, равномерно ограниченных и поточечно сходящихся на компактном множестве $K \subset C^{n}$, сходится к аналитической функции на этом множестве. Непрерывность моментов $S_{n}$ на пространстве $Y \times \ldots \times Y$ следует, как и в доказательстве предложения 6.1 .4 , из интегральной теоремы Коши.

Замечание. Қак видно из предложения 19.1.1, мера $d \mu$ сосредоточена на пространстве $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d}\right)$. Поэтому на протяжении этой главы мы будем рассматривать интегрирование по пространству $\mathscr{P}^{\prime}$.

Пусть $Y(0, t) \subset Y$ обозначает подмножество тех функций, носители которых принадлежат интервалу $(0, t)$. Определим $M(f) \equiv$ $=\|f\|_{L_{1}}+\|f\|_{L_{p}}^{p} \cdot$ Напомним, что $\mathscr{P}(0, t)$ — подмножество функций в пространстве $\mathscr{P}$, носители которых принадлежат интервалу $(0, t)$. Кроме того, $\mathscr{I}_{+}=\mathscr{P}(0,+\infty)$. В гл. 6 мы определили каноническую проекцию — пространства $\mathscr{E}_{+}$на $\mathscr{H}$, а именно ${ }^{\wedge}: \mathscr{E}_{+} \rightarrow$ $\rightarrow \mathscr{E}_{+} / \mathscr{P} \subset \mathscr{H}$, при которой операторы $S$ на $\mathscr{E}_{+}$превращаются в операторы $\hat{S}$ на пространстве $\mathscr{H}$ в соответствии с формулой (6.1.12).
Предложение 19.1.2. Предположим, что справедливы аксиомы OS $0-3$ и функция $f \in Y(0, t)_{\text {вещ. Тогда проекция — переводит }}$ функции $\varphi(f)^{r}$ и $e^{\varphi(f)}$ в операторы, действующие в гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$, областью определения которых является множество е $^{-t н}\left(\mathscr{E}+\cap L_{\infty}\right)^{\wedge}$. Более того,
\[
\begin{array}{c}
\left\|\left(e^{\Phi(f)}\right)^{\wedge} e^{-t H}\right\| \leqslant e^{M(2 f) / 2}, \\
\left\|\left(\varphi(f)^{r}\right)^{\wedge} e^{-t H}\right\| \leqslant(c\|f\|)^{r} r !^{q},
\end{array}
\]

где $c<\infty u q=(p-1) / p$.
Замечание. Важный частный случай оценки (19.1.3) имеет вид
\[
\left|\int \varphi(f)^{r} d \mu\right|=\left|\left\langle\Omega,\left(\varphi(f)^{r}\right)^{\wedge} \Omega\right\rangle\right| \leqslant(c\|f\|)^{r}(r !)^{q} .
\]

Доказательство. Согласно предложениям 10.5.4 и 6.1.4, операторы $\left(\varphi^{r}\right)^{\wedge}$ и $\left(e^{\varphi}\right)^{\curvearrowleft}$ определены на плотном множестве. Для доказательства (19.1.2) положим $k=e^{\varphi(f)}$ и подсчитаем величину $M_{n}$, определенную формулой (10.5.4). Так как все носители функций $f_{(2 j-1) t}$ и $(\theta f)_{(2 j-1) t}$, произвольно сдвинутых по времени, не пересекаются (при фиксированном $t$ и $j=1,2, \ldots$ ), то из оценки (6.1.5) следует, что $M_{n} \leqslant e^{M(2 f) / 2}$. Поэтому неравенство (19.1.2) есть следствие теоремы 10.5 .5 .
Чтобы доказать неравенство (19.1.3), определим для $w_{j}, z_{j} \in C$
\[
g=-i \sum_{j=1}^{n}\left(w_{j} f_{(2 j-1) t}+z_{j}(\theta f)_{(2 j-1) t}\right) .
\]

Тогд:
\[
M_{n}^{1 n}=\left.\left(\prod_{j=1}^{n} \frac{d^{2 r}}{d w_{j}^{2 r}} \frac{d^{2 r}}{d z_{j}^{2 r}}\right) S\{g\}\right|_{g=0} .
\]

Выражение (19.1.4) оценим при помощи интегральной формулы Коши
\[
M_{n}^{4 n}=\left(\frac{(2 r) !}{2 \pi i}\right)^{2 n} \oint S\{g\}\left(\prod_{j=1}^{n} \frac{d w_{j}}{w_{j}^{2 r+1}} \frac{d z_{j}}{z_{j}^{2 r+1}}\right),
\]

где все интегралы берутся по окружности радиуса $4 \varepsilon^{-1}$ с центром в начале координат. Верхней оценкой для $M(g)$ єа этой окружности будет $2 n M\left(4 \varepsilon^{-1} f\right)$, так как слагаемые, входящие в выраженне для функции $g$ и отвечающие разным значениям $\dot{j}$, имеют непересекающиеся носители. Поэтому
\[
M_{n} \leqslant \exp \left(\frac{M\left(4 \varepsilon^{-1} f\right)}{2}\right)\left(\frac{\varepsilon}{4}\right)^{r}(2 r) !^{1 / 2} \leqslant \exp \left(\frac{M\left(4 \varepsilon^{-1} f\right)}{2}\right) \varepsilon^{r} r !
\]

Для того чтобы получить нужную оценку, сначала заменим $\varepsilon$ на $\varepsilon|f|$. Тогда $M_{t} \leqslant \exp \left(c \varepsilon^{-1}\right)(\varepsilon \mid f)^{r} \cdot r !$. Выбрав $\varepsilon=(c p / r)^{1 / p}$, получим неравенство (19.1.3).

Напомним, что пространство $\mathscr{H}_{\delta}$ определялось как $\mathscr{H}_{\delta}=e^{-\delta H} \mathscr{C}$ (см. (10.5.13)).
Предложение 19.1.3. Существует единственная билинейная форма $\Phi(h)$, заданная в области $\mathscr{H}_{\delta} \times \mathscr{H}_{\delta}$ (для некоторого $\delta>0$ ) $и$ удовлетворяющая там (для $f=h \otimes \alpha$ ) соотношению
\[
\varphi(h \otimes \alpha)^{\wedge} e^{-t H}=\int e^{-s H} \Phi(h) e^{-(t-s) H} \alpha(s) d s .
\]

Более того, для нормы $\|h\|=\|h\|_{L_{1}\left(R^{d-1}\right)}+\|h\|_{L_{p}\left(R^{d-1}\right)}$ справедливы оценки
\[
\begin{array}{c}
\left\|e^{-\delta H} \Phi(h) e^{-\delta H}\right\| \leqslant K_{\delta}\|h\|, \\
\left\|e^{-\delta H} \widehat{\varphi(f)} e^{-(t+\delta) H}\right\| \leqslant K_{\delta}\|h\|\|\alpha\|_{L_{1}} .
\end{array}
\]

Доказательство. Согласно следствию 10.5.6, $\varphi\left(h \otimes \alpha_{\tau}\right)^{\text {^ }}$ являстся билинейной формой на произведении $\mathscr{H}_{\delta} \times \mathscr{\mathscr { C }}_{\delta^{\prime}}$. Она бесконечно дифференцируема как функция $\tau$ при $0 \leqslant \tau<\delta / 4, \delta^{\prime} \geqslant t+\delta / 2$. Из оценок (10.5.14) и (19.1.3) получаем неравенство
\[
\left\|e^{-\delta H} \varphi\left(h \otimes \frac{d^{n}}{d \tau^{n}} \alpha_{\tau}\right)^{\hat{-}} e^{-\delta^{\prime} H}\right\| \leqslant K_{n, \delta}\|h\|\left(\|\alpha\|_{L_{1}}+\|\alpha\|_{L_{p}}\right) .
\]

Воспользуемся тем фактом, что обобщенная функция от переменной $s$, все производные которой имеют фиксированный порядок роста, должна быть $C^{\infty}$-функцией от $s$. Поэтому на $\mathscr{H}_{\delta} \times \mathscr{H}_{\delta}$, существует билинейная форма $\Phi(h)$, удовлетворяющая соотношению
\[
\varphi(h \otimes \alpha)^{\wedge}=\int_{0}^{t} e^{-s H} \Phi(h) e^{s H} \alpha(s) d s
\]

и такая, что для всех векторов $\psi \in \mathscr{H}_{\delta}, \psi^{\prime} \in \mathscr{H}_{\delta^{\prime}}$ функция $F(s)=\left\langle e^{-s H} \psi\right.$, $\left.\Phi(h) e^{s H} \psi^{\prime}\right\rangle$ принадлежит классу $C^{\infty}$.

Улучшим теперь оценку (19.1.7), избавившись от члена $\|\alpha\|_{L_{p}}$. Взяв в качестве $\alpha$ характеристическую функцию $\chi_{\left(t_{1}, t_{2}\right)}$ интервала $\left(t_{1}, t_{2}\right) \subset(0, t), t \ll 1$ и $n=1$, мы сможем записать неравенство
\[
\left\|e^{-\delta H_{T}} \Phi\left(h \otimes\left(\delta_{t_{1}}-\delta_{t_{2}}\right)\right)^{\wedge} e^{-\delta^{\prime} H}\right\| \leqslant 2 K_{1, \delta}\|h\| .
\]

Проинтегрируем эту оценку по $t_{2}$ от $s_{1}$ до $s_{2}=s_{1}+o(\delta)$. В силу равенства
\[
\left(s_{2}-s_{1}\right) \delta_{t_{1}}=\chi_{\left(s_{1}, s_{2}\right)}+\int_{s_{1}}^{s_{2}}\left(\delta_{t_{1}}-\delta_{t_{2}}\right) d t_{2}
\]

получаем, что
\[
\left\|e^{-\delta H^{\prime}} \Phi\left(h \otimes \delta_{t_{1}}\right)^{\wedge} e^{-\delta^{\prime} H}\right\| \leqslant\left(K_{0, \delta^{O}}\left(\delta^{-1}\right)+2 K_{1, \delta}\right)\|h\| .
\]

Интегрирование по $t_{1}$ приводит теперь к оценке
\[
\left\|e^{-\delta H} \varphi(h \otimes \alpha)^{\wedge} e^{-\delta^{\prime} H}\right\| \leqslant K_{\delta}\|h\|\|\alpha\|_{L_{1}} .
\]

Предложение 19.1.4. Пусть справедливы аксиомы OS 0-3 и задана функция $f=h \otimes \chi_{0, t}$, где $h \in \mathscr{D}\left(R^{d-1}\right)$ — вещественная функция, $а$

$\chi_{0, t}$-характеристическая функция интервала $(0, t)$. Тогда
\[
\int \varphi(f)^{2} d \mu=o(t) \quad \text { при } \quad t \rightarrow 0 .
\]

Доказательство. Согласно предложению 19.1.2,
\[
\int \varphi(f)^{2} d \mu \leqslant \mathrm{const}\left(\|f\|_{L_{1}}^{2}+\|f\|_{L_{p}}^{2}\right) .
\]

Для функции $f$ вида $f=h \otimes \chi_{0, t}$ получаем, что $\|f\|_{L_{p}}^{2}=O\left(t^{2 / p}\right)$, и поэтому при $p<2$ предложение доказано. Однако, как утверждается в аксиоме OS1 (см. $\$ 6.1$ ), $p \leqslant 2$, причем при $p=2$ аксиома OSI включает дополнительное условие регулярности: двухточечная функция $S_{2}(x-y) \in L_{1}^{\text {loc }}\left(R^{d}\right)$. Тогда
\[
\int \varphi(f)^{2} d \mu=\int S_{2}(x-y) f(x) f(y) d x d y .
\]

Переходя к новым переменным $\xi=(x+y) / 2, \quad \eta=(x-y) / 2$, получим, что
\[
\begin{aligned}
\left|\int \varphi(f)^{2} d \mu\right| & \leqslant \text { const } t \int_{R^{d-1} \times R^{d-1} \times[-t, t]}\left|S_{2}(2 \eta) h(\xi+\eta) h(\xi-\eta)\right| d \xi d \eta \leqslant \\
& \leqslant o(t) \quad \text { при } t \rightarrow 0 .
\end{aligned}
\]