Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Основной целью этой главы является проверка аксиом Вайтмана и Хаага-Қастлера, а также доказательство теорем 6.1.5-6. Предполагается, что задана мера $d \mu$ на пространстве $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right)$, которая удовлетворяет аксиомам OS $0-3$ гл. 6 . В гл. 6 мы построили евклидово поле $\varphi$, где операторы действуют в пространстве $\mathscr{E}=L_{2}\left(\mathscr{D}^{\prime}, d \mu\right)$, и гильбертово пространство $\mathscr{C}$ квантовомеханических состояний как пополнение пространства $\mathscr{E}+/ \mathscr{P}$. Обозначим $Y$ банахово пространство, полученное пополнением $C_{0}^{\infty}\left(R^{d}\right)$ по норме Так как характеристический функционал $S\{f\}$ меры $d \mu$ предполагается непрерывным в нормах пространств $L_{1}$ и $L_{p}$ (см. (6.1.5)), то получаем Доказательство. Для доказательства аналитичности функционала $S\{f\}$ при $\{\in Y$ воспользуемся теоремой Витали: последовательность аналитических функций, равномерно ограниченных и поточечно сходящихся на компактном множестве $K \subset C^{n}$, сходится к аналитической функции на этом множестве. Непрерывность моментов $S_{n}$ на пространстве $Y \times \ldots \times Y$ следует, как и в доказательстве предложения 6.1 .4 , из интегральной теоремы Коши. Замечание. Қак видно из предложения 19.1.1, мера $d \mu$ сосредоточена на пространстве $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d}\right)$. Поэтому на протяжении этой главы мы будем рассматривать интегрирование по пространству $\mathscr{P}^{\prime}$. Пусть $Y(0, t) \subset Y$ обозначает подмножество тех функций, носители которых принадлежат интервалу $(0, t)$. Определим $M(f) \equiv$ $=\|f\|_{L_{1}}+\|f\|_{L_{p}}^{p} \cdot$ Напомним, что $\mathscr{P}(0, t)$ – подмножество функций в пространстве $\mathscr{P}$, носители которых принадлежат интервалу $(0, t)$. Кроме того, $\mathscr{I}_{+}=\mathscr{P}(0,+\infty)$. В гл. 6 мы определили каноническую проекцию – пространства $\mathscr{E}_{+}$на $\mathscr{H}$, а именно ${ }^{\wedge}: \mathscr{E}_{+} \rightarrow$ $\rightarrow \mathscr{E}_{+} / \mathscr{P} \subset \mathscr{H}$, при которой операторы $S$ на $\mathscr{E}_{+}$превращаются в операторы $\hat{S}$ на пространстве $\mathscr{H}$ в соответствии с формулой (6.1.12). где $c<\infty u q=(p-1) / p$. Доказательство. Согласно предложениям 10.5.4 и 6.1.4, операторы $\left(\varphi^{r}\right)^{\wedge}$ и $\left(e^{\varphi}\right)^{\curvearrowleft}$ определены на плотном множестве. Для доказательства (19.1.2) положим $k=e^{\varphi(f)}$ и подсчитаем величину $M_{n}$, определенную формулой (10.5.4). Так как все носители функций $f_{(2 j-1) t}$ и $(\theta f)_{(2 j-1) t}$, произвольно сдвинутых по времени, не пересекаются (при фиксированном $t$ и $j=1,2, \ldots$ ), то из оценки (6.1.5) следует, что $M_{n} \leqslant e^{M(2 f) / 2}$. Поэтому неравенство (19.1.2) есть следствие теоремы 10.5 .5 . Тогд: Выражение (19.1.4) оценим при помощи интегральной формулы Коши где все интегралы берутся по окружности радиуса $4 \varepsilon^{-1}$ с центром в начале координат. Верхней оценкой для $M(g)$ єа этой окружности будет $2 n M\left(4 \varepsilon^{-1} f\right)$, так как слагаемые, входящие в выраженне для функции $g$ и отвечающие разным значениям $\dot{j}$, имеют непересекающиеся носители. Поэтому Для того чтобы получить нужную оценку, сначала заменим $\varepsilon$ на $\varepsilon|f|$. Тогда $M_{t} \leqslant \exp \left(c \varepsilon^{-1}\right)(\varepsilon \mid f)^{r} \cdot r !$. Выбрав $\varepsilon=(c p / r)^{1 / p}$, получим неравенство (19.1.3). Напомним, что пространство $\mathscr{H}_{\delta}$ определялось как $\mathscr{H}_{\delta}=e^{-\delta H} \mathscr{C}$ (см. (10.5.13)). Более того, для нормы $\|h\|=\|h\|_{L_{1}\left(R^{d-1}\right)}+\|h\|_{L_{p}\left(R^{d-1}\right)}$ справедливы оценки Доказательство. Согласно следствию 10.5.6, $\varphi\left(h \otimes \alpha_{\tau}\right)^{\text {^ }}$ являстся билинейной формой на произведении $\mathscr{H}_{\delta} \times \mathscr{\mathscr { C }}_{\delta^{\prime}}$. Она бесконечно дифференцируема как функция $\tau$ при $0 \leqslant \tau<\delta / 4, \delta^{\prime} \geqslant t+\delta / 2$. Из оценок (10.5.14) и (19.1.3) получаем неравенство Воспользуемся тем фактом, что обобщенная функция от переменной $s$, все производные которой имеют фиксированный порядок роста, должна быть $C^{\infty}$-функцией от $s$. Поэтому на $\mathscr{H}_{\delta} \times \mathscr{H}_{\delta}$, существует билинейная форма $\Phi(h)$, удовлетворяющая соотношению и такая, что для всех векторов $\psi \in \mathscr{H}_{\delta}, \psi^{\prime} \in \mathscr{H}_{\delta^{\prime}}$ функция $F(s)=\left\langle e^{-s H} \psi\right.$, $\left.\Phi(h) e^{s H} \psi^{\prime}\right\rangle$ принадлежит классу $C^{\infty}$. Улучшим теперь оценку (19.1.7), избавившись от члена $\|\alpha\|_{L_{p}}$. Взяв в качестве $\alpha$ характеристическую функцию $\chi_{\left(t_{1}, t_{2}\right)}$ интервала $\left(t_{1}, t_{2}\right) \subset(0, t), t \ll 1$ и $n=1$, мы сможем записать неравенство Проинтегрируем эту оценку по $t_{2}$ от $s_{1}$ до $s_{2}=s_{1}+o(\delta)$. В силу равенства получаем, что Интегрирование по $t_{1}$ приводит теперь к оценке Предложение 19.1.4. Пусть справедливы аксиомы OS 0-3 и задана функция $f=h \otimes \chi_{0, t}$, где $h \in \mathscr{D}\left(R^{d-1}\right)$ – вещественная функция, $а$ $\chi_{0, t}$-характеристическая функция интервала $(0, t)$. Тогда Доказательство. Согласно предложению 19.1.2, Для функции $f$ вида $f=h \otimes \chi_{0, t}$ получаем, что $\|f\|_{L_{p}}^{2}=O\left(t^{2 / p}\right)$, и поэтому при $p<2$ предложение доказано. Однако, как утверждается в аксиоме OS1 (см. $\$ 6.1$ ), $p \leqslant 2$, причем при $p=2$ аксиома OSI включает дополнительное условие регулярности: двухточечная функция $S_{2}(x-y) \in L_{1}^{\text {loc }}\left(R^{d}\right)$. Тогда Переходя к новым переменным $\xi=(x+y) / 2, \quad \eta=(x-y) / 2$, получим, что
|
1 |
Оглавление
|