Фазовые переходы и нарушение симметрии – это явления различной природы, но они так часто происходят одновременно, что имеет смысл рассматривать особые структуры, возникающие в результате их комбинации.

Мы видели, что в квантовой механике гамильтониан вида $H=-\Delta+U(q)$ всегда имеет единственное основное состояние $\Omega$, и, следовательно, $\Omega$ инвариантно относительно любой группы симметрий гамильтониана $H$. Точно так же в системах статистической механики с конечным числом степеней свободы мера $d \mu_{\Lambda}$ вида (2.3.4) инвариантна относительно любой симметрии, сохраняющей $d \mu\left(\xi_{i}\right)$ и $\sum\left(\xi_{i}-\xi_{i^{\prime}}\right)^{2}$.

С другой стороны, для систем с бесконечным числом степеней свободы (как в рассматриваемом здесь случае статистических систем, так и в случае квантовых полей, изучаемых в дальнейшем) мера $d \mu$ может не обладать симметрией порождающего ее действия. В этом случае мы будем говорить о нарушении симметрии. Например, в модели Изинга с $h=0$ действие инвариантно относительно преобразования $\xi_{i} \rightarrow-\xi_{i}$ при всех $i$. Тем не менее при
1) В одномерной модели Изинга фазовый переход происходит при $T=0$. При этом все спины жестко скоррелированы, что отвечает случаю $\eta=1$. Прим. перев.

$\beta>\beta_{c}$ имеются две чистые фазы $d \mu_{ \pm}$, для которых симметрия нарушена: $\quad M_{+}=\int \xi_{i} d \mu_{+}=-\int \xi_{i} d \mu_{-}
eq 0$. Фактически $d \mu_{+}(\xi)=$ $=d \mu_{-}(-\xi)$, так что симметрия отображает два основных состояния одно в другое.

В этом примере нарушением симметрии объясняется появление фазового перехода. Возможна, однако, и другая ситуация, когда фазовый переход не связан ни с какой симметрией (ни с ее нарушением). Так обстоит дело для решеточной теории со взаимодействием $P(\varphi)$ вида
\[
P(\varphi)=\lambda \varphi^{2}\left(\varphi^{2}-a\right)^{2}+\varepsilon \varphi^{5}-\mu \varphi .
\]

Фиксируя $\lambda, a, \varepsilon^{-1} \gg 0$, можно найти такое $\mu=\mu(\lambda, a, s)$ вблизи нуля, что $P(\varphi)$ имеет два глобальных минимума (один вблизи $\varphi=0$, другой при $\varphi \gg 0$ ). Поэтому на основании приближения среднего поля ( $\$ 5.2$ ) мы ожидаем появления фазового перехода для $P+\delta P$ при некотором малом $\delta P$. Здесь фазовый переход происходит без изменения группы симметрий.

Рассмотрим еще ряд примеров. Другой тип фазового перехода, не связанного с нарушением симметрии, есть переход жидкость газ. В этом случае каждая из двух фаз симметрична относительно евклидовой группы $\mathscr{E}\left(R^{3}\right)$ симметрий пространства $R^{3}$. С другой стороны, переход жидкость – твердое тело сопровождается нарушением симметрии относительно группы $\mathscr{E}\left(R^{3}\right)$. Твердое тело, рассматриваемое как совершенный кристалл с решеткой $\mathscr{L}$, имеет группу симметрий
\[
\mathscr{E}(\mathscr{L})=\left\{g \in \mathscr{E}\left(R^{3}\right): g \mathscr{L}=\mathscr{L}\right\},
\]

являющуюся дискретной подгруппой $\mathscr{E}\left(R^{3}\right)$. В этом примере решетка $\mathscr{L}$ задается кристаллическим состоянием (отдельные атомы кристалла могут колебаться вокруг положений равновесия, определяемых $\mathscr{L}$, но как целое решетка $\mathscr{L}$ неподвижна). Эквивалентные, но не совпадающие с $\mathscr{L}$ решетки $g \mathscr{L}
eq \mathscr{L}$ не могут возникнуть из состояния с решеткой $\mathscr{L}$ в результате статистических флуктуаций атомов. Другими словами, $g \mathscr{L}$ и $\mathscr{L}$ определяют различные состояния или фазы. Часто решетка $\mathscr{L}$ (или $g \mathscr{L}$ ) полностью определяет статистическое состояние. Это означает, что переменные, характеризующие состояние жидкости (давление, температура и т. д.), должны быть дополнены новой переменной $\xi=\xi$, описывающей состояние твердого тела. Новая переменная
\[
\zeta \in \mathscr{E}\left(R^{3}\right) / \mathscr{E}(\mathscr{L})
\]

пробегает пространство классов смежности, т. е. пространство неэквивалентных решеток. При фиксированных значениях исходных переменных (давления, температуры и т. д.) любое состояние является, вообще говоря, смесью различных ६-состояний. Следовательно, его можно представить в виде интеграла по составляющим фазам, помеченным индексом $\zeta$. Отмеченное нами явление можно
$1200 \mathrm{em}$

сформулировать в общих терминах. В простейшем случае §-состояния являются чистыми фазами, и переменная $\zeta$ из (5.3.2) пробегает множество всех чистых фаз.

В качестве другого примера фазового перехода с нарушением симметрии рассмотрим решеточное поле $P(\varphi)$ с четным полиномом $P$. При четном $P$ теория обладает симметрией $\varphi \leftrightarrow-\varphi$. Если вместо $P$ подставить в (2.3.1-5) полином
\[
P(\varphi)+\sigma \varphi^{2} \text { (при фиксированном } \beta \text { ), }
\]

то на основании $\S 5.1$ можно ожидать, что при $\sigma \gg 1$ и фиксированном $\beta$ теория единственна (т. е. фазовых переходов нет), в то время как при $\sigma \ll-1$ и фиксированном $\beta$ возникают две различные теории (чистые фазы), переходящие одна в другую под действием $\varphi \leftrightarrow-\varphi$. В обоих случаях группой симметрий служит $Z_{2}$, а множество чистых фаз совпадает с факторгруппой $Z_{2} / H$, где $H$ подгруппа симметрий отдельной чистой фазы ( $H=Z_{2}$ и $Z_{2} / H=$ $=\{I\}$ при $\sigma \gg 1 ; H=\{I\}$ и $Z_{2} / H=Z_{2}$ при $\left.\sigma \ll-1\right)$.

При другом способе изучения фазовых переходов с нарушением симметрии вводят в явном виде возмущение: нарушающий симметрию оператор. Например, поле ч не инвариантно относительно симметрии $\varphi \leftrightarrow-\varphi$, и взаимодействие
\[
P(\varphi)+\sigma \varphi^{2}-h \varphi
\]

рассматривается как возмущение (5.3.3).
С точки зрения теории магнетизма $h$ представляет собой внешнее магнитное поле. Оно нарушает симметрию магнетика $\varphi \leftrightarrow-\varphi$ (вверх – вниз), т. е. намагничивает его. Пусть
\[
M \equiv\langle\varphi(x)\rangle
\]

есть намагниченность. Здесь $\langle\cdot\rangle$ – среднее по мере $d \mu$, определяемой формулой (2.3.5). Положим
\[
d \mu=d \mu_{\sigma, h}=d \mu_{\sigma, h, P, \beta}
\]

и $M=M(\sigma, h)$. Величина $M$, называемая параметром порядка, используется в качестве характеристики фазового перехода. На рис. 5.2 показана область фазовых переходов для случая $P(\varphi)=$ $=\varphi^{4}$.

Из теоремы Ли – Янга следует, что для $P=\varphi^{4}$ при $h
eq 0$ имеется единственная чистая фаза (нет переходов). То же самое вытекает из кластерного разложения при $\sigma \gg 1$. Кластерное разложение другого типа (двухфазное), применимое в случае $\sigma \ll-1$, доказывает существование по крайней мере двух фаз. При $\sigma \gg 1$ параметр $M$ является гладкой функцией от $h$, в то время как при $\sigma \ll-1$ он имеет разрыв при $h=0$ (см. рис. 5.3). Из корреляционных неравенств гл. 4 следует, что $0 \leqslant d M / d h \leqslant$ const, $d^{2} M / d h^{2} \leqslant 0$ при $h \geqslant 0$. Кроме того, $d M /\left.d \sigma\right|_{h=0} \leqslant 0$. Вогнутость $M$ $\left(d^{2} M / d h^{2} \leqslant 0\right)$ вытекает из следствия 4.3 .4 и отражает насыщение

$M(h)$ внешним полем $h$. Большие значения $h$ приводят к кооперативному явленио выравнивания значений спинов. Если спины принимают ограниченные значения, как в случае модели Изинга, то $M(h)$ стремится при $h \rightarrow \infty$ к асимптотическому значению, отвечающему полному выравниванию. Многое известно также о поведении вблизи $\sigma=\sigma_{c}$; см. гл. 17.

Рис. 5.2. Область фазовых переходов для взанмодействия $\varphi^{3}$.

Структура фаз для модели Изинга качественно такая же, как и для взаимодействия $\varphi^{4}$. В фнзнке твердого тела и физической химин изучается большое число систем с различными типами ре-

Рис. 5.3. График функции $M(h)$ : (a) при $\sigma \gg 1$, (b) при $\sigma \ll-1$.

шеток $\mathscr{L}$ и спиновых пространств $X_{i}$ (вида 2.1.2), со взаимодействием ближайших соседей или же с дальнодействующими силами. Такие системы используются как упрощенные модели реальных молекулярных и атомных соединений. В общем случае уравнение состояния является кусочно-аналитичсской функцией термодинамических переменных, таких, как $h$ и $\sigma$ на рис. 5.2. Фазовым переходам отвечают точки неаналитичности, а наличие нескольких фаз связано с точками неоднозначности. Заметим, что в (5.3.5) $M=$ $=d \ln Z / d h$, где $Z$-статистическая сумма. Для этой задачи $M=M(h, \sigma)$ есть уравнение состояния. В случае когда появляется разрыв у параметра порядка (как в указанном примере), фазовый переход называется переходом первого рода,