Напомним следующее условие относительно меры $d \mu(\varphi)$, введенное в $\S 6.1$.

OS 4 (Эргодичность). Подгруппа $T(t) \subset \mathscr{L}$ временны́х сдвигов эргодически действует на пространстве с мерой $\left\{\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right)_{\text {вещ, }} d \mu\right\}$.

Теорема 19.7.1. Пусть функционал $S\{f\}$ удовлетворяет аксиомам OS 0-3. Тогда аксиома OS 4 справедлива в том и только в том случае, когда $\Omega$ является единственным (с точностью до числового множителя) вектором в пространстве $\mathscr{G}$, инвариантным относительно временни́х сдвигов $e^{i t н}$.

Замечание. Эргодичность меры $d \mu$ эквивалентна тому, что 1 единственный инвариантный вектор унитарной группы $T(t)$, действующей в гильбертовом пространстве $\mathscr{E}=L_{2}\left(\mathscr{S}^{\prime}, d u\right)$. Это в свою очередь эквивалентно кластерному свойству: для любых $A$ и $B$ из плотного подмножества $\mathscr{E}$
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} t^{-1} \int_{0}^{t}[\langle A T(s) B\rangle-\langle A\rangle\langle B\rangle] d s=0 .
\]

Здесь $\langle\cdot\rangle$ обозначает $\int \cdot d \mu$. В частности, экспоненциальное кластерное свойство функций Швингера влечет за собой эргодичность меры $d \mu$.
Доказительство. Для самосопряженной сжимающей полугруппы $e^{-t н}$, действующей на гильбертовом пространстве $\mathscr{G}$, предел
s. $\lim _{t \rightarrow \infty} t^{-1} \int_{0}^{t} e^{-s H} d s=P_{\text {inv }}$

есть оператор проектирования на подпространство инвариантных векторов. (Для унитарной группы $T(t)$ аналогично $P_{\text {inv }}=$ s. $\lim t^{-1} \int_{0}^{t} T(s) d s$.) Поэтому (19.7.1) эквивалентно тому, что 1 порождает инвариантное подпространство группы $T(t)$ в пространстве $\mathscr{E}$. Пусть $A$ и $B$ в (19.7.1) обозначают конечные линейные комбинации функций $e^{i \varphi(f)}, \quad$ где $f \in C_{0 \text {, вещ. }}^{\infty}$.

Так как соотношение (19.7.1) содержит оператор временныхх сдвигов $T(s)$, то без ограничения общности можно считать, что $A \in \mathscr{E}_{-}, B \in \mathscr{E}_{+}$. При этом (19.7.1) эквивалентно кластерному свойству

а значит, единственности основного состояния $\Omega$ оператора $H$.
Отметим, что теперь доказательство теоремы 6.1.5 полностью завершено. Более того, предположив справедливость аксиомы OS 4, мы сейчас докажем, что глобальная алгебра фон Неймана, порожденная алгеброй $\bigcup_{B} \mathfrak{I}(B)$, неприводима, и тем самым закончим доказательство теоремы 6.1.6. Предположим, что $A$ коммутирует со всеми переменными. Так как алгебра $\mathfrak{A}(B)$ замкнута относительно сопряжений, то $A^{*}$ тоже коммутирует со всеми переменными. Следовательно, и операторы $\operatorname{Re} A=\left(A^{*}+A\right) / 2$ и $\operatorname{Im} A=$ $=\left(A^{*}-A\right) / 2 i$ обладают этими свойствами. Без ограничения общности можно считать, что оператор $A$ самосопряжен. Поэтому для $C=C^{*} \in \mathfrak{H}(B)$ получаем, что $C(t)=U(t) C U(t)^{*} \in \mathfrak{I}\left(B_{t}\right)$ и
\[
\begin{aligned}
\langle A \Omega, U(t) C \Omega\rangle & =\langle\Omega, A C(t) \Omega\rangle=\langle C(t) \Omega, A \Omega\rangle= \\
& =\langle U(t) C \Omega, A \Omega\rangle=\langle A \Omega, U(t) C \Omega\rangle^{-} .
\end{aligned}
\]

Из этого равенства видно, что функция $\langle A \Omega, U(t) C \Omega\rangle$ вещественна и, значит, ее преобразование Фурье по переменной $t$ будет четной функцией по двойственной переменной $\omega$. Однако ввиду положительности энергии преобразование Фурье сосредоточено на полуоси $\omega=$ энергия $\geqslant 0$. Таким образом, $A \Omega$ ортогонально состояниям вида $C \Omega$ со строго положительной энергией. Последние плотны в пространстве $\mathscr{H}$, как следует из теоремы 19.3 .3 и того обстоятельства, что векторы пространства $\mathscr{D}$ могут быть получены с помощью дифференцирования экспоненты $\exp \left(\varphi_{M}\left(f_{1}\right)\right)$. . $\ldots \exp \left(\varphi_{M}\left(f_{n}\right)\right) \Omega$ в $C \Omega$. Следовательно, $A \Omega$ — это состояние с нулевой энергией. Однако, в силу аксиомы OS $4, \Omega$ — единственное с точностью до множителя состояние с нулевой энергией. Это означает, что $A \Omega=\lambda \Omega$, и, далее, для любых $\chi, \psi \in \mathfrak{A}(B) \Omega$ верно равенство $\langle\chi, A \psi\rangle=\langle\chi, \psi\rangle \lambda$. Отсюда, наконец, можно сделать вывод, что $A=\lambda I$.

Стандартные методы построения квантовых полей естественным образом приводят к мере $d \mu$, которая удовлетворяет аксиомам OS $0-3$, но не обязательно аксиоме OS 4 . Чтобы включить в рассмотрение и этот общий случай и развить аппарат, необходимый для изучения смешанных состояний, остановимся подробнее на эргодических свойствах меры $d \mu$.

Определение 19.7.2. Пусть $\mathscr{E}_{1}$ обозначает подпространство $\mathscr{E}$, инвариантное относительно группы временных сдвигов $T(t), t \in R^{1}$. Аналогично, пусть $\mathscr{E}_{E} \subset \mathscr{E}$ обозначает подпространство, инвариантное относительно полной евклидовой группы, а $\mathscr{E}_{\infty}$ — подпространство функций, измеримых относительно $\sigma$-алгебры «на бесконечности». Последнее означает, что $\mathscr{E}_{\infty}=\bigcap\left\{\mathscr{E}\left(B^{\prime}\right): B\right.$ ограничено $\}$. Қак и в $\S 6.1$, обозначим $\mathscr{E}_{ \pm}$подпространства $\mathscr{E}$, отвечающие будущему и прошлому.
Предложение 19.7.3. Пусть мера $d \mu$ удовлетворяет аксиоме OS 2. Тогда $\mathscr{E}_{1} \subset \mathscr{E}_{\infty} \cap \mathscr{E}_{+} \cap \mathscr{E}_{-}$.
Доказательство. Пусть $A \in \mathscr{E}_{1}$; тогда $A=\lim A_{n}$, где $A_{n}$ — функция от значений поля ч $(x)$ при $|x| \leqslant n$ и $\left\|A_{n}\right\| \leqslant\|A\|$. Такую последовательность $A_{n}$ можно постронть при помощи ортогонального проектирования на пространство $\mathscr{E}_{n}=$ $=\mathscr{E}(|x| \leqslant n)$, т. е. при помощи условных средних. При этом сходимость $A_{n} \rightarrow A$ будет следовать из того, что $E_{n} \uparrow I, n \rightarrow \infty$, где $E_{n}$ — проекция на подпространство $\mathscr{E}_{n} \subset \mathscr{E}$, состоящее из всех $L_{2}$-функций от значений поля $\varphi(x)$ при $|x| \leqslant n$. Сильная сходимость последовательности $T(t) A_{n}$ при $n \rightarrow \infty$ вытекает тогда из следующего соотношения, верного для любого $t \stackrel{n}{*} R^{1}$ :
\[
\left\|T(t) A_{n}-A\right\|=\left\|A_{n}-T(-t) A\right\|=\left\|A_{n}-A\right\| \rightarrow 0 .
\]

Положив соответственно $t=2 n, n,-n$, мы получим, что $A \in \mathscr{E}_{\infty}, \mathscr{E}_{+}$и $\mathscr{E}_{-}$.
Предложение 19.7.4. Если мера $d \mu$ удовлетворяет аксиомам OS 2 — 3 , то элементы подпространства $\mathscr{E}_{1}$ инвариантны при отражениях $\theta$ относительно гиперплоскости $t=0$.
Доказательство. Будем считать, что $A \geqslant 0$. Пусть $\langle\cdot\rangle_{\mathscr{G}}$ и $\langle\cdot\rangle_{\mathscr{H}}$ обозначают соответственно скалярные произведения в пространствах $\mathscr{E}$ и $\mathscr{H}$. Согласно предложению $19.7 .3, A, \theta A \in \mathscr{E}^{\circ}+\cap \mathscr{E}_{-}$. Поэтому с помощью неравенства Шварца, примененного к пространству $\mathscr{E}$, получим, что
\[
\langle\theta A, A\rangle_{\mathscr{E}} \leqslant\langle\theta A, A\rangle_{\mathscr{E}}^{1 / 2}\langle A, A\rangle_{\mathscr{E}}^{1 / 2}=\langle\widehat{A}, \hat{\theta A}\rangle_{\mathscr{H}}^{1 / 2}\langle\hat{\theta A}, \quad \widehat{A}\rangle_{\mathscr{H}}^{1 / 2} .
\]

Это неравенство можно продолжить с помощью неравенства Шварца в пространстве $\mathscr{H}$. Найдем, что
\[
\left|\langle\widehat{A}, \hat{\theta A}\rangle_{\mathscr{H}}\right| \leqslant\langle\hat{A}, \widehat{A}\rangle_{\mathscr{H}}^{1 / 2}\langle\hat{\theta A}, \hat{\theta A}\rangle_{\mathscr{H}}^{1 / 2}=\left|\langle\theta A, A\rangle_{\mathscr{E}}\right|=\langle\theta A, A\rangle_{\mathscr{E}} .
\]

Отсюда следует, что все эти неравенства на самом деле равенства, а первое из них дает $\theta A=A$.

Теорема 19.7.5. Если мера $d \mu$ удовлетворяет аксиомам OS 2 и OS 3, то $\mathscr{E}_{1}=\mathscr{E}_{E}$. ной евклидовой группь в том и только в том случае, если она $R^{1}$-эргодична.
Доказательство теоремь 19.7.5. Обозначим $T\left(e^{i \theta}\right)$ поворот на угол $\theta$ в плоскости $t, x_{1}$, где $x=(\mathbf{x}, t), \mathbf{x}=x_{1}$. Тогда
\[
T\left(x_{1}\right)=\lim _{t \rightarrow \infty} T(-t) T\left(e^{-i x_{1} / t}\right) T(t) .
\]

Взяв $A \in \mathscr{E}_{1}$, определим $A_{t}=A-T\left(e^{-i x_{1} / t}\right) A$. Тогда $\left\|A_{t}\right\| \rightarrow 0$, потому что семейство $T\left(e^{i \theta}\right)$ сильно непрерывно по $\theta$. Далее, $T(-t) A_{t} \rightarrow 0$ и, следовательно,
\[
T\left(x_{1}\right) A=\lim _{t \rightarrow \infty} T(-t) T\left(e^{-i x_{1} / t}\right) A=\lim _{t \rightarrow \infty} T(-t) A-T(-t) A_{t}=A .
\]

Итак, $A$ инвариантно при сдвигах вдоль оси $x_{1}$. Аналогично можно показать, что $A$ инвариантно при любых сдвигах в $R^{d}$. К тому же, согласно пред,пожению 19.7.4, A инвариантно при отражениях относительно любой гиперплоскости. Поскольку сдвиги и отражения порождают всю евклидову группу, $A \in \mathscr{E}_{E}$.

Алгебра ограниченных функций $\mathscr{E}_{E} \cap L_{\infty}$ непосредственно определяет интегральное разложение меры $d \mu$. Пусть $\mathscr{Z}$ обозначает спектр алгебры $\mathscr{E}_{E} \cap L_{\infty}$. Тогда на $\mathscr{Z}$ существует нормированная положительная мера $d \zeta$ и для почти всех $\zeta \in \mathscr{Z}$ существуют такие меры $d \mu_{\xi}$ на пространстве $\mathscr{S}^{\prime}\left(R^{d}\right)$, что
\[
d \mu=\int_{\zeta ఱ z} d \mu_{\zeta}
\]

причем $S\{f\}=\int_{\zeta \leftarrow z} S_{\zeta}\{f\} d \zeta$, где $S_{\zeta}\{f\}=\int e^{i \varphi(f)} d \mu_{\zeta}$. Тогда для п.в. ५ мера $d \mu_{\xi}$ удовлетворяет аксиомам OS 0-4.
Доказательство. Отождествим функции из $\mathscr{E}+\cap L^{\infty}$ с множеством функций от $\zeta$, принадлежащих пространству $L_{\infty}(\mathscr{Z}, d \zeta)$. По определению
\[
\int A Z d \mu_{\zeta}=\left(\int A Z d \mu\right)(\zeta)
\]

где $Z \in \mathscr{E}_{E} \cap L_{\infty}$, а интеграл $\int A Z d \mu$ рассматривается как функция от $\zeta$. Тогда инвариантность меры $d \mu_{\zeta}$ следует из инвариантности $d \mu$ и $Z$. Аналогично, положительность при отражениях вытекает из положительности $d \zeta$ и положительности при отражениях скалярного произведения:
\[
\mathscr{E}_{+}
i A, B \Rightarrow \int \overline{\theta A} B Z d \mu=\int \theta\left(Z^{1 / 2} A\right)^{-}\left(Z^{1 / 2} B\right) d \mu .
\]

Здесь $Z \in \mathscr{E}_{E} \cap L_{\infty}, Z \geqslant 0$. При этом мы воспользовались тем фактом, что, согласно предложениям $19.7 .3-4$, функции $Z^{1 / 2}$ и $\theta Z^{1 / 2}$ принадлежат $\mathscr{E}+\cap L_{\infty}$. Эргодичность меры $d \mu_{\zeta}$ для п. в. $\zeta$ вытекает нз общей теории интегральных разложений. Подробности читатель может найти в книге [Dixmier, 1957].

Теперь, используя метод многократных отражений, мы покажем, что аксиома регулярности OS1 справедлива для п. в. чистых фаз $\zeta$ Для этого достаточно для любой проекции $Z \in \mathscr{E}_{E}$ установить оценку
\[
\left|\int Z e^{i\langle f, \varphi\rangle} d \mu\right| \leqslant\left(\int Z d \mu\right) \exp \left(\|f\|_{L_{1}}+\|f\|_{L_{p}}^{p}\right) .
\]

При этом можно взять функции $f$ с носителем в некоторой временно́й полосе, скажем $0 \leqslant t \leqslant T$. Согласно неравенству Шварца в пространстве $\mathscr{H}$, получаем, что
\[
\begin{aligned}
\left|\int Z e^{i\langle f, \varphi\rangle} d \mu\right| & =\left|\left\langle\hat{Z}^{1 / 2},\left(Z^{1 / 2} e^{i\langle f, \varphi\rangle}\right)^{-}\right\rangle\right| \leqslant \\
& \leqslant\left(\int Z d \mu\right)^{1 / 2}\left(\int Z e^{i\langle f, \varphi\rangle}\left(e^{i\langle\theta f, \varphi\rangle}\right)^{-} d \mu\right)^{1 / 2} .
\end{aligned}
\]

Теперь можно считать, что функции $f$ и $\theta f$ представляют собой одну и ту же основную функцию, и поэтому после сдвига по времени во втором сомножителе процедуру можно повторить. После $n$ шагов мы получим основную функцию вида $g=\sum_{j=1}^{2 n} f_{j}$, где носители $f_{j}$ лежат в непересекающихся временны́х интервалах. Для таких $f_{j}$
\[
\|g\|_{L_{p}}^{p}=\left\|\sum f_{j}\right\|_{L_{p}}^{p}=\sum\left\|f_{j}\right\|_{L_{p}}^{p}=2^{n}\|f\|_{L_{p}}^{p} .
\]

Чтобы закончить доказательство, осталось воспользоваться аксиомой OS1 и устремить $n$ к бесконечности.