Формулы редукции Лемана-Симанзика-Циммермана выражают $S$-матрицу с помощью функций $\tau$ из $\S 14.1$. Эти формулы являются простым следствием теоремы 14.1.1.
Предложение 14.2.1.
\[
\left\langle S \prod_{i=1}^{n} \varphi\left(f_{i}\right)^{\mathrm{in}} \Omega, \quad \prod_{j=1}^{m} \varphi\left(g_{j}\right)^{\mathrm{in}} \Omega\right\rangle=\left\langle\prod_{i=1}^{n} \varphi\left(f_{i}\right)^{\text {out }} \Omega, \quad \prod_{j=1}^{m} \varphi\left(g_{j}\right)^{\mathrm{in}} \Omega\right\rangle .
\]

Доказательство. $\varphi^{\text {out }}=S \varphi^{\text {in }} S^{-1}$.
Предложение 14.2.2. Пусть для функций $f_{i}$ выполнено (13.5.10) и их носители в пространстве скоростей не перекрываются. Тогда
\[
\begin{aligned}
\sum_{X \in\{1, \ldots, n\}}(-1)^{|x|}\left\langle\prod_{i
otin X} \varphi\left(f_{i}\right)^{\text {out }},\right. & \left.\prod_{j \in X} \varphi\left(f_{j}\right)^{\text {in }}\right\rangle \Rightarrow \\
& =\int\left(\prod_{i=1}^{n} \partial_{t_{i}} f_{i}^{\left(t_{i}\right)}\left(x_{i}\right)\right) \tau_{\alpha}(x) d x d t .
\end{aligned}
\]

Доказательство. Из доказательства теоремы 14.1.1 видно, что интеграл по $d t$ сходится со скоростью $O\left(t^{-N}\right)$, поэтому доказываемое тождество получается при помощи многократного применения формулы Ньютона-Лейбница. При этом подстановка $\left\lvert\, \begin{array}{l}t_{i}=+\infty \\ t_{i}=-\infty\end{array}\right.$ тоже вычисляется с помощью доказательства теоремы 14.1.1.

Замечание. Простые комбинаторные выкладки, связанные со свободным полем, позволяют избавиться от суммирования по $X$ в левой части тождества (14.2.2) и с помощью равенства (14.2.1) получить выражение элементов $S$-матрицы через функции $\tau$. Мы опускаем этот шаг и продолжаем вычислять правую часть (14.2.2).
Предложение 14.2.3. В условиях предыдущего предложения
\[
\begin{array}{l}
\int\left(\prod_{j=1}^{n} \partial_{t_{j}} f_{j}^{\left(t_{j}\right)}\right) \tau_{\alpha}(x) d x d t=\int \prod_{j=1}^{n}\left[i \Delta_{m} *\left(\square-m^{2}\right) f_{l}\left(x_{j}\right)\right] \tau_{\alpha}(x) d x, \\
\text { гдв } \tilde{\Delta_{m}}(p)=\mathbf{\varepsilon}(p) \delta\left(p^{2}+m^{\mathbf{8}}\right) .
\end{array}
\]

Доказательство. Левую часть равенства можно преобразовать так:
\[
\begin{array}{l}
\int \prod_{j=1}^{n} \partial_{t_{j}} e^{i t_{j}\left(p_{0, j}-\varepsilon\left(p_{j}\right) \mu\left(\mathrm{p}_{j}\right)\right)} \tilde{f}_{j}\left(p_{j}\right) \tilde{\tau}_{\alpha}(-p) d p d t= \\
=\int \prod_{j=1}^{n} \frac{e^{i t_{j}\left(p_{0}, j^{-\varepsilon}\left(p_{j}\right) \mu\left(\mathrm{p}_{j}\right)\right)}}{i\left(p_{0}, j+\varepsilon\left(p_{j}\right) \mu\left(\mathrm{p}_{j}\right)\right)}\left(p_{j}^{2}+m^{2}\right) \tilde{f}_{j}\left(p_{j}\right) \tilde{\tau}_{\alpha}(-p) d p d t .
\end{array}
\]

После замены переменных $d p=d \mathrm{p} d\left(p_{0}-\varepsilon(p) \mu(\mathrm{p})\right)$ благодаря быстрому убыванию по $t$ можно поменять порядок интегрирования по $d t$ и $d p$. Это приводит к выражению
\[
\begin{array}{c}
\int \prod_{j=1}^{n}\left(-i \varepsilon\left(p_{j}\right)\right) \frac{\delta\left(p_{0, j}-\varepsilon\left(p_{j}\right) \mu\left(\mathrm{p}_{j}\right)\right)}{2 \mu\left(\mathrm{p}_{j}\right)}\left(p_{i}^{2}+m^{2}\right) \tilde{f}_{j}\left(p_{j}\right) \tilde{\tau}_{\alpha}(-p) d p= \\
\quad=\int \prod_{j=1}^{n}\left(-i \varepsilon\left(p_{j}\right)\right) \delta\left(p_{j}^{2}+m^{2}\right)\left(p_{j}^{2}+m^{2}\right) \tilde{f}_{j}\left(p_{j}\right) \tilde{\tau}_{\alpha}(-p) d p= \\
\quad=\int \prod_{j=1}^{n} i \Delta_{m} *\left(\square-m^{2}\right) f(x) \tilde{\tau}_{\alpha}(x) d x .
\end{array}
\]

При этом первое равенство является следствием равенства $\delta$ функций в обеих его частях.

Замечание. Разложение $S$-матрицы по теории возмущений является асимптотическим, во всяком случае в сверхперенормируемых теориях это удается установить математически точно. В четырехмерной квантовой электродинамике, например, коэффициенты разложения подсчитаны вплоть до шестого порядка. Здесь требуется аккуратное исследование хронологически упорядоченных произведений. Достаточно показать, что особенности, возникающие при совпадении точек, по крайней мере не выводят нас из класса обобщенных функций, так что функции Швингера принадлежат пространству $\mathscr{S}^{\prime}$. Такого рода оценки следуют из евклидовых аксиом в той форме, в которой они здесь приведены. Обсуждение этих вопросов в более общей постановке см. в работе [Eckmann, Epstein, 1979a].