Гораздо важнее уметь интегрировать более сложные функции, и особенно виковы мономы и их произведения. Пусть
\[
\begin{array}{c}
: \varphi^{n}(f):_{c}=\int: \varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{n}\right):_{c} f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) d x_{1} \ldots d x_{n} \\
\text { и } A(\varphi)=\prod_{i=1}^{r}: \varphi^{n_{i}}\left(f_{i}\right): c_{i} .
\end{array}
\]

Здесь : :с обозначает виково упорядочение, соответствующее гауссовой мере с ковариационным оператором $C$ (\$ 6.3). Введем обозначения
\[
\delta C_{i}(x, y)=C(x, y)-C_{i}(x, y), \quad \delta c_{i}(x)=\delta C_{i}(x, x) .
\]

При выводе правил вычисления интеграла $\int A(\varphi) d \varphi_{C}$ удобно пользоваться диаграммами, в которых член : $\varphi^{n}(f): c$ представлен единственной вершиной (помеченной символом $f$ или ( $\left.x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ ) с $n$ свободными отростками, обозначенными $x_{1}, \ldots, x_{n}$. В качестве примера рассмотрим полином $A(\varphi)$ вида (8.3.1), у которого $r=3$, $n_{1}=n_{2}=4, n_{3}=2$. Ему соответствует граф, изображенный на рис. 8.5, а сам. интеграл $\int A d \varphi_{C}$ отвечает, как и выше, сумме по графам, полученным спариванием отростков графа для $A$ всеми возможными способами. (В этом примере будет 9!! таких графов.)

Мы должны различать два типа ребер в диаграммах, дающих вклад в интеграл $\int A d \varphi_{C}$, а именно петли («самодействующие» ребра), полученные соединением двух отростков, выходящих из одной вершины, и «взаимодействующие» ребра, полученные соединением двух отростков, выходящих из разных вершин. Множества петель и взаимодействующих ребер в диаграмме $G$ обозначаются соответственно $\mathscr{L}_{s}, \mathscr{L}_{i}$. На рис. $8.6(\mathrm{a}-\mathrm{c})$ показаны три возможные

Рис. 8.5. Диаграмма для $A=: \varphi^{4}\left(f_{1}\right): c_{1}: \varphi^{4}\left(f_{2}\right): C_{2} C_{3}: \varphi^{2}\left(f_{s}\right):$

Рис. 8.6. Три диаграммы (a), (b), (c), дающие вклад в интеграл рис. 8.5. Диаграмма (b) несвязна. Ребра $l_{1}$ и $l_{3}$ отвечают самодействию, а $l_{2}, l_{4}$ – взаимодействию. Диаграмма (c) не имеет петель.

диаграммы, дающие вклад в интеграл от полинома $A$, графически изображенного на рис. 8.5. Общая формула для вычисления интеграла $\int A d \varphi_{C}$ дана в следующем предложении.
Предложение 8.3.1. Для интеграла от полинома $A(\varphi)$ вида (8.3.1) справедливо представление
\[
\int A(\varphi) d \varphi_{C}=\sum_{\{G\}} I(G)
\]

где суммирование распространено на все $\left(\sum_{i=1}^{r} n_{i}-1\right)$ !! полностью спаренных графов с $r$ вершинами и пі отростками в і-й вершине. При этом
\[
\begin{array}{l}
I(G)=\int\left(\prod_{l \in \mathscr{L}_{i}} C\left(x_{l_{1}}, x_{l_{2}}\right)\right)\left(\prod_{l \in \mathscr{L}_{s}} \delta C_{l_{1}}\left(x_{l_{1}}, x_{l_{2}}\right)\right) \times \\
\times \prod_{i=1}^{r} f_{i}\left(x_{i 1}, \ldots, x_{i n_{i}}\right) \prod_{j=1}^{n_{i}} d x_{t_{j}} .
\end{array}
\]

Замечание 1. В формуле (8.3.3) отростки диаграммы $G \in \mathscr{G}$ считаются перенумерованными. Это естественно, поскольку никаких свойств симметрии у функций $f_{i}\left(x_{i j}\right)$ не предполагается. Если же некоторые из функций $f_{i}$ (или все они) симметричны при перестановке своих $n_{i}$ аргументов, то равенство (8.3.3) можно переписать в виде
\[
\int A(\varphi) d \varphi_{C}=\sum_{\{G\}^{\prime}} I(G) c(G)
\]

где $\{G\}^{\prime}$ – класс эквивалентных графов (дающих одинаковое значение для величины $I(G)$, поскольку они различаются только нумерацией отростков, выходящих из одной вершины), а $c(G)$ число эквивалентных графов (с перенумерованными отростками). Доказательство. Воспользуемся рекуррентным соотношением (восходящим к Эр. миту)
$\varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{n}\right): c_{i}=\varphi\left(x_{1}\right): \varphi\left(x_{2}\right) \ldots \varphi\left(x_{n}\right): c_{i}$
\[
-\sum_{j=2}^{n} C_{i}\left(x_{1}, x_{j}\right): \varphi\left(x_{2}\right) \ldots \widehat{\varphi\left(x_{j}\right)} \ldots \varphi\left(x_{n}\right): c_{i}
\]

где сомножитель под крышкой опущен в произведении (см. (9.1.7-8)). Нам понадобится также тождество (см. (9.1.6))
\[
\left.\frac{\delta}{\delta \varphi(y)}: \varphi\left(x_{2}\right) \ldots \varphi\left(x_{n}\right): c_{i}=\sum_{j=2}^{n} \delta\left(y-x_{j}\right): \varphi\left(x_{2}\right) \ldots \widehat{\varphi\left(x_{j}\right.}\right) \ldots \varphi\left(x_{n}\right): c_{i} .
\]

Применяя формулы (8.3.5-6) и (8.2.1), можно путем интегрирования по частям исключить из интеграла
\[
\int: \varphi\left(x_{11}\right) \ldots \varphi\left(x_{1 n_{1}}\right): c_{1} B(\varphi) d \varphi_{C}
\]

сомножитель $\varphi\left(x_{11}\right)$. При этом в подынтегральном выражении появится член с производной $\delta / \delta \varphi$, примененной к произведению : $\varphi\left(x_{12}\right) \ldots \varphi\left(x_{1 n_{1}}\right): c_{1}{ }^{B}(\varphi)$. Производная $\delta B / \delta \varphi$, как видно из формулы интегрирования по частям, породит взаимодействующее ребро в $G$ и ковариацию $C$ гауссовой меры. Производная выражения : $\varphi\left(x_{12}\right) \ldots \varphi\left(x_{1 n_{1}}\right):_{C_{1}}$ вместе со вторым членом в правой части (8.3.5) породит петлю в графе $G$ и ковариацию $\delta C_{1}$. Повторяя эту процедуру до тех пор, пока не останется ни одного $\varphi$, придем к формулам (8.3.3-5).
Замечание 2. Если $C_{1}=\ldots=C_{r}=C$, то $\delta C_{i}=0$ для всех $i$. В этом случае пропадают все петли и мы получаем
Следствие 8.3.2. Пусть
\[
\begin{array}{l}
A(\varphi)=\prod_{i=1}^{r}: \varphi^{n}{ }_{i}\left(f_{i}\right):_{C} . \\
\int A d \varphi_{C}=\sum_{\{\text {O }} I(G),
\end{array}
\]

Тогда где суммирование происходит по всем графам без петель, и
\[
I(G)=\int\left(\prod_{l \in \mathscr{L}_{i}=\mathscr{L}} C\left(x_{l_{1}}, x_{l_{i}}\right)\right) \prod_{i=1}^{r} f_{i}\left(x_{i 1}, \ldots, x_{i n_{i}}\right) \prod_{i=1}^{n_{i}} d x_{i j} .
\]

Замечание 3. В предельном случае (который обоснован в $\S 8.5$ ) функций вида
\[
f_{i}\left(x_{i 1}, x_{i 2}, \ldots, x_{i r}\right)=\int f_{i}(x) \delta\left(x-x_{i 1}\right) \ldots \delta\left(x-x_{i r}\right) d x
\]

рассматриваются мономы Вика
\[
: \varphi^{n_{i}}\left(f_{i}\right): c_{i}=\int: \varphi^{n_{i}}(x): c_{i} f_{i}(x) d x
\]

и их произведения. Для таких полиномов получаем
Следствие 8.3.3. Пусть
\[
A(\varphi)=\sum_{i=1}^{r} \int: \varphi^{n_{i}}(x): c_{i} f_{i}(x) d x .
\]

Тогда
\[
\int A(\varphi) d \varphi_{C}=\sum_{\{G\}} I(G)
\]

где $G$ пробегает то же множество графов, что и в формуле (8.3.3), a
\[
I(G)=\int \prod_{l \in \mathscr{L}_{i}} C\left(x_{l_{1}}, x_{l_{2}}\right) \prod_{l \in \mathscr{L}_{s}} \delta c_{l_{1}}\left(x_{l_{1}}\right) \prod_{i=1}^{r} f_{i}\left(x_{i}\right) d x_{i} .
\]