В этом параграфе мы обобщим на случай полей $P(\varphi)_{2}$ корреляционные неравенства и теорему Ли-Янга, доказанные в гл. 4 для полей на конечной решетке. Напомним ограничения на полином $P$, налагаемые различными неравенствами:
неравенства ФКЖ (§ 4.4$)$ :
произвольный полуограниченный $P$;
неравенства Гриффитса ( $\$ 4.1)$ :
\[
P=\text { четный полином }-\mu \varphi, \quad \mu \geqslant 0 \text {; }
\]
неравенства Лебовица ( $\S 4.3$ ):
\[
P=\lambda \varphi^{4}+\sigma \varphi^{2}-\mu \varphi, \quad \lambda>0, \quad \mu \geqslant 0 ;
\]
теорема Ли-Янга ( $\$ 4.5)$ :
\[
P=\lambda \varphi^{4}+\sigma \varphi^{2}-\mu \varphi, \quad \lambda>0, \quad \operatorname{Re} \mu>0 .
\]
Корреляционные неравенства (10.2.1а-с) справедливы для любой меры, являющейся пределом мер (в смысле сходимости моментов), удовлетворяющих этим неравенствам. Теорема ЛиЯнга остается верной, если свободная энергия
\[
f \equiv \ln Z / \text { объем }
\]
равномерно ограничена и сходится для $\mu$ из комплексной области. В силу теоремы 9.6.4, решеточные поля, сходящиеся к непрерывному полю в конечном объеме при граничных условиях Дирихле, удовлетворяют сформулированным условиям. Аналогично, решеточные аппроксимации сходятся при граничных условиях Неймана и при периодических граничных условиях. Таким образом, имеет место следующая
Теорема 10.2.1. Пусть выполнены условия (10.2.1). Тогда для непрерывного поля $P(\varphi)_{2}$ в конечном обтеме справедливы корреляционные неравенства и теорема Ли – Янга.
Замечание. После того как в гл. 11 (и в гл. 18) будут построены меры в бесконечном объеме, мы увидим, что для них также верны корреляционные неравенства и теорема Ли – Янга.
В качестве первого приложения корреляционных неравенств докажем утверждение о монотонной зависимости функций Швин\”ера от объема (при граничных условиях Дирихле). Аналогичные результаты для систем статистической механики получены в $\S 4.2$.
Теорема 10.2.2. Пусть $\langle\cdot\rangle_{\partial \Lambda, D}$ обозначает среднее по $P(\varphi)_{2}$-мере (9.1.30), определенной в прямоугольнике $\Lambda \subset R^{2}$ с граничными условиями Дирихле на дД. В формуле (9.1.30) мы полагаем $C_{2}=\left(-\Delta_{\partial \Lambda}+m^{2}\right)^{-1}$, а оператор $C_{1}$ считаем не зависящим от $\Lambda$. Предположим, что выполнено условие (10.2.1b). Тогда функции IIIвингера
\[
S^{(n)}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \equiv\left\langle\varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{n}\right)\right\rangle_{\partial \Lambda, D}
\]
неотрицательны и монотонно возрастают при увеличении $\Lambda$. Кроме того, при $0 \leqslant f \in C_{0}^{\infty}$ характеристический функционал
\[
\left\langle e^{\varphi(f)}\right\rangle_{\partial \Lambda, D}=S\{\text {-if }\}_{\partial \Lambda, D}
\]
положителен и монотонно возрастает с увеличением $\Lambda$.
Замечание. В этой теореме виково упорядочение полинома $P$ не должно зависеть от $\Lambda$. Например, это упорядочение можно прозодить с помощью свободного ковариационного оператора $C_{\varnothing}$.
Доказательство. Пусть $\Lambda_{1} \subset \Lambda$. Рассмотрим решеточную аппроксимацию из $\S 9.5,6$ с шагом решетки $\delta$. Пусть $\langle\cdot\rangle_{8, \partial \Lambda, D}=\langle\cdot\rangle$ обозначает усреднение относительно решеточной меры $d \mu_{\delta, D}$ вида (9.6.8) с граничными условиями Дирихле. Мы покажем, что при фиксированном $\delta$ имеет место монотонность по $\Lambda$ функций $(10.2 .2-3$ ) со средним $\langle\cdot\rangle$. Сходимость решеточных аппроксимаций при $\delta \rightarrow 0$ (см. теорему 9.6.4) завершает доказательство.
Докажем теперь, что монотонность в случае решеточной аппроксимации следует из неравенства Гриффитса. Действительно, рассмотрим, как и в предложенин 9.5.8, локальное возмущение массы $m(x)^{2}=\lambda \chi_{\Lambda} \backslash$ Int $\Lambda_{1}(x)$. При фиксированном $\delta$, переходя к пределу $\lambda \rightarrow \infty$, получаем оператор ковариации и меру $d \mu_{\delta, D}$ с граничными уеловиями Дирихле на $\partial \Lambda_{1}$. С другой стороны, при возраєтании $\lambda$ функций Швингера и характеристический функционал уменьшаются, так как
\[
\begin{aligned}
-\frac{d}{d \lambda} S_{\delta, \partial \Lambda . D}^{(i t)}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\frac{1}{2} \delta^{d} & \sum_{x \in \Lambda_{\delta} \backslash \Lambda_{10} .}\left[\left\langle\varphi_{\delta}\left(x_{1}\right) \ldots \varphi_{\delta}\left(x_{n}\right): \varphi_{\delta}(x)^{2}:\right\rangle-\right. \\
& \left.-\left\langle\varphi_{\delta}\left(x_{1}\right) \cdots \varphi_{\delta}\left(x_{n}\right)\right\rangle\left\langle: \varphi_{\delta}(x)^{2}:\right\rangle\right] . \quad
\end{aligned}
\]
Гл. 10 Оценки, не зависяцие от размерности
Без викова упорядочения правая часть была бы положительна в силу второго неравенства Гриффитса. Усложнение, связанное с наличием упорядочения, можзависит от $\varphi$. Поэтому слагаемые в правой части (10.2.4), содержащие $c_{\delta}(x)$, сокращаются.
Следствие 10.2.3. Предположим, что выполнено условие (10.2.1b). Тогда функции Швингера и характеристический функционал $S\{-i f\}$, где $f \geqslant 0$, монотонно возрастают по $\mu$.
Доказательство. Производная функционала $S$ есть функция Швингера, а производная функции Швингера есть усеченная функция Швингера. Таким образом, утверждения следствия вытекают из первого и второго неравенств Гриффитса.
