Начнем с подведения итогов $\$ 6.2-3$ для случая $d=1$ и сравнения конструкций пространств $\mathscr{H}, \mathscr{F}$, операторов $H, \pi$ и т. д. с соответствующими понятиями гл. 1, 3. Фактически абстрактное построение пространства Фока воспроизводит квантование гармонического осциллятора. В общем же случае различным мерам в $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right)$ при $d=1$ соответствуют другие квантовомеханические системы с одной степенью свободы. С помощью векторнозначных полей $\varphi(t)$ можно получить все шредингеровы гамильтонианы из гл. 1 .

В частности, начнем с рассмотрения гауссовой меры $d \varphi$ с на пространстве $\mathscr{P}^{\prime}(R)$ с нулевым средним и ковариационным оператором $C=\left(-d^{2} / d t^{2}+m^{2}\right)^{-1}$. В силу следствия 6.2 .8 , мы получим в качестве $\mathscr{H}$ гильбертово пространство
\[
\mathscr{H}=L_{2}(R, d v),
\]

где $d v$ – гауссова мера на прямой с нулевым средним и дисперсией $(2 \mu)^{-1}=1 / 2 m=$ const. В стандартном представлении
\[
d v(q)=(m / \pi)^{1 / 2} e^{-m q^{2}} d q,
\]

где $d q$ – мера Лебега на прямой, и $\Omega=1$. Теперь выпишем соответствующее представление канонических коммутационных соотношений. Оно было определено в теореме 6.3.3, а его единственность доказана в теореме 6.3.4. Для того чтобы воспользоваться этими теоремами, подставим в (6.3.7) $(2 \mu)^{-1}=(2 m)^{-1}$ вместо $C, q$ вместо $\varphi, p$ вместо $\pi$ и т д. Получим формулы
\[
a=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(m^{1 / 2} q+i m^{-1 / 2} p\right), \quad a^{*}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(m^{1 / 2} q-i m^{-1 / 2} p\right)
\]

и их обращения
\[
q=(2 m)^{-1 / 2}\left(a^{*}+a\right), \quad p=(m / 2)^{1 / 2} i\left(a^{*}-a\right) .
\]

Кроме того,
\[
\begin{array}{c}
p=p^{*}=-i(d / d q)+i m q, \quad[p, q]=-i, \\
a=(2 m)^{-1 / 2} d / d q, \quad a^{*}=(2 m)^{1 / 2} q-(2 m)^{-1 / 2} d / d q, \\
{\left[a, a^{*}\right]=1 .}
\end{array}
\]

Это и есть канонические коммутационные соотношения (KKC). В силу формулы (6.3.9) при $c=(2 m)^{-1}$ получим, что
\[
a^{* n} \Omega=P_{n}(q \sqrt{2 m})
\]

есть собственный вектор оператора $H$ с собственным значением $\mathrm{nm}$. Сравнивая полученные формулы с соответствующими результатами $\S 1.5$, видим, что в представлении, где $\Omega_{0} \equiv 1$, они совпадают при $m=1$. Итак, гауссова мера в случае $d=1$ описывает квантовомеханический гармонический осциллятор. Переписанный с помощью $\left(q, d / d q\right.$ ) гамильтониан $m a^{*} a$ примет вид
\[
H_{\mathrm{osc}}=-\frac{1}{2} d^{2} / d q^{2}+m q d / d q .
\]

Чтобы перейти к более привычному виду гамильтониана $H$ в пространстве $L_{2}(R, d q)$, воспользуемся подобным преобразованием
\[
H_{\text {Лебег }}=\exp \left(-\frac{m q^{2}}{2}\right) H \exp \left(\begin{array}{c}
m q^{2} \\
2
\end{array}\right)=\frac{1}{2} m\left(-\frac{d^{2}}{d q^{2}}+q^{2}-1\right) \text {. }
\]

На этом мы закончим обсуждение гауссовых мер и канонического квантования гармонического осциллятора.

Рассмотрим теперь возмущение $H$ и установим формулу Фейн* мана – Қаца.

Теорема 6.4.1. Пусть $d \mu$-рассмотренное выше гауссово распределение в $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d}\right)$ при $d=1, a V(q)$ – вещественная непрерывная ограниченная снизу функция. Если при этом оператор $H+V$ самосопряжен, то
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{e}^{-t(H+V)} & =\left(\exp \left[-\int_{0}^{t} V(\varphi(s)) d s\right] T(t)\right)^{\hat{t}}= \\
& =\left(\exp \left[-\int_{0}^{t} V(\varphi(s)) d s\right]\right)^{\hat{e}} e^{-t H} .
\end{aligned}
\]

Доказательство. Имеем
\[
\int_{0}^{t} V(\varphi(s)) d s=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{t}{n} \sum_{i=0}^{n-1} V(\varphi(j t / n)) .
\]

Поэтому
\[
\exp \left[-\int_{0}^{t} V(\varphi(s)) d s\right] T(t)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(e^{-(t / n) V(\varphi(0))} T\left(\frac{t}{n}\right)\right)^{n} .
\]

Но $\left[\left(e^{-(t / n) V(\varphi(0))} T(t / n)\right)^{n}\right]^{-}=\left(e^{-(t / n) V(q)} e^{-(t / n) H}\right)^{n}$. В силу формулы (3.2.4), правая часть $n \rightarrow \infty$ стремится к $e^{-t(H+V)}$. Левая же часть в пространстве $\mathscr{E}$ поточечно сходится к (6.4.10).

Далее, пусть $\Omega(q)$ – вектор основного состояния оператора $H+V$ в представлении, в котором $H 1=0$. Тогда $(H+V) \Omega=E \Omega$. Положив
\[
p=-i \frac{d}{d q}+i m q-i \frac{d}{d q} \ln \Omega(q),
\]

получим, что операторы $p$ и $q$ задают представление канонических коммутационных соотношений в пространстве $L_{2}\left(R, \Omega^{2} d v\right)$ и являются самосопряженными. Мера
\[
d \mu=\lim _{t \rightarrow \infty} Z(t)^{-1} \exp \left[-\int_{-t}^{t} V(q(s)) d s\right] d \varphi_{C}
\]

тоже определяет представление канонических коммутационных соотношений. Этой мере отвечает гамильтониан $H+V-E$.

Заметим, что в случае системы с одной степенью свободы при заданных канонических коммутационных соотношениях операторы
\[
\begin{aligned}
\varphi(t)^{\wedge} & =e^{-t H} q e^{t H}, \\
q(t) & \equiv e^{i t H} q e^{-i t H}
\end{aligned}
\]

связаны при помощи аналитического продолжения $t \rightarrow-i t$, а операторная функция (6.4.14) удовлетворяет уравнению
\[
\dot{q}(t)=p(t) / m=e^{i t H}[i H, q] e^{-i t H}
\]
(полагаем, что $\hbar=1$ ). Продифференцировав дважды, получаем уравнение Ньютона
\[
m \ddot{q}(t)=F(q(t)),
\]

где $F(q)=-[i V, p]=-d V / d q$, а $V$ – полная потенциальная энергия (являющаяся функцией $q$ ).

Теперь обобщим эти идеи применительно к квантовым полям, опираясь на анализ свободного поля, проведенный в § 6.2 и 6.3. Қонструкцию физического гильбертова пространства $\mathscr{H}=\mathscr{E}+/ \mathscr{P}$ из § 6.1 можно упростить, по крайней мере на формальном уровне. Для свободного поля пространство $\mathscr{H}$ является $L_{2}$-пространством, состоящим из функций от пространственной переменной $\mathrm{x} \in R^{d-1}$, взятых в момент времени $t=0$ (§6.2). Следует ожидать, что
аналогичное утвержденне справедливо в случае полей $P(\varphi)_{2}$ п $\varphi_{d}^{4}$ при $d \leqslant 4$. Соответственно примем, что
\[
\mathscr{H}=L_{2}\left(\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d-1}\right), d v\right),
\]

где $d v$ – мера на $\mathscr{S}^{\prime}\left(R^{d-1}\right)$, являющаяся ограничением евклидова вакуумного вектора $\Omega$ и меры $d \mu$. Поэтому
\[
\int F(\varphi) d v=Z^{-1} \int F(\varphi) e^{-\mathscr{A}_{I}(\varphi)} d \varphi_{C}=\int F(\varphi) d \mu,
\]

где $Z$ – нормирующий множитель, а $\mathscr{A}_{I}(\varphi)=\lambda \int: \varphi^{4}(x): d^{d} x$ (с соответствующими контрчленами; см. $\S 9.4,14.3$ ). Формально мы сделаем еще один шаг и перепишем гауссов интеграл по $d \varphi$ с в виде плотности по лебеговой мере на $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d}\right)$, и для нового нормирующего множителя $Z$ получим, что
\[
d \mu=Z^{-1} e^{-\mathcal{A}(\varphi)} \prod_{x \in R^{d}} d \varphi(x),
\]

где
\[
\mathscr{A}(\varphi)=\int:\left(\frac{1}{2}
abla \varphi^{2}(x)+\frac{1}{2} m^{2} \varphi^{2}(x)+\lambda \varphi^{4}(x)\right): d^{d} x .
\]

Классическое поле $\varphi^{4}$ (в пространстве Минковского) является решением нелинейного гиперболического волнового уравнения
\[
-\square \varphi+m^{2} \varphi+4 \lambda \varphi^{3}=0 .
\]

Решение $\varphi$ однозначно определяется данными Коши
\[
\left.\varphi\right|_{t=0}, \quad \partial_{t} \varphi=\left.\varphi\right|_{t=0} .
\]

Таким образом, множество пар функций $\left.\varphi\right|_{t=0}, \partial \varphi /\left.\partial t\right|_{t=0}$ является пространством состояний классической нелинейной системы, описываемой уравнением (6.4.19). При этом конфигурационным пространством будет множество функций $\left.\varphi\right|_{t=0}$ (конфигурации поля, отвечающие нулевому моменту времени). Точный класс функций $\left.\varphi\right|_{t=0}$ не определяется из этих соображений, но с точки зрения функционального интегрирования, как это, например, требуется для представления (6.4.15), по существу нужно только то, чтобы этот класс Был достаточно обширным. Запас обобщенных функций целей.

Қвантовое ноле $\varphi$ – это оператор умножения, действующий на функции от конфигураций классических полей. Канонически сопряженный с ним оператор импульса $\pi$ – это генератор унитарной группы, порождаемой сдвигами $\varphi(x) \rightarrow \varphi(x)+g(x)$ в пространстве классических конфигураций.

Так как операторы $\varphi$ и $\pi=-i \delta / \delta \varphi+f(\varphi)$ образуют полное множество наблюдаемых, через них можно выразить гамильтониан $H$ и меру $d
u=d \mu \mid \mathscr{\varphi}^{\prime}\left(R^{d-1}\right)$. Мы уже решили в $\S 6.2$ эту задачу
для случая меры $d \varphi$ с свободного поля и, в частности, в теореме 6.3.7 для гамильтониана $H_{0}$ этого поля. При этом (6.4.16) превращается в формулу Фейнмана-Қаца для возмущения гамильтониана $H_{0}$. Для того чтобы пояснить эту связь, напишем $\varphi=\varphi(t)$ (опуская зависимость $\varphi$ от $\mathbf{x} \in R^{d-1}$ ) и положим $\mathscr{A}_{l}(\varphi(t))=$ $=\lambda \int: \varphi^{4}(x): d^{d-1} \mathbf{x}$,
\[
\mathscr{A}_{I}(\varphi)=\int_{0}^{\infty} \mathscr{A}_{I}(\varphi(t)) d t+\int_{-\infty}^{0} \mathscr{A}_{I}(\varphi(t)) d t .
\]

Пусть $\Omega_{0}$ – основное состояние оператора $H_{0}$, а $\Omega$ – основное состояние оператора $H=H_{0}+\mathscr{A}_{I}(\varphi(t=0))$. Тогда из (6.4.16) и формулы Фейнмана – Каца (§ 3.2-4) следует, что
\[
\begin{array}{l}
\int F(\varphi) d v=\int F(\varphi) d \mu= \\
=Z^{-1} \int \exp \left(-\int_{-\infty}^{0} \mathscr{A}_{I}(\varphi(t)) d t\right) F(\varphi) \exp \left(-\int_{0}^{\infty} \mathscr{A}_{I}(\varphi(t)) d t\right) d \varphi_{C}= \\
=\lim _{t \rightarrow \infty} Z^{-1}\left\langle\exp \left[-t\left(H_{0}+\mathscr{A}_{I}(\varphi(t=0))\right)\right] \Omega_{0},\right. \\
\left.\quad F(\varphi) \exp \left[-t\left(H_{0}+\mathscr{A}_{I}(\varphi(t=0))\right)\right] \Omega_{0}\right\rangle=\langle\Omega, F(\varphi) \Omega\rangle .
\end{array}
\]

Таким образом, вакуумный вектор, абстрактно определенный при помощи теоремы реконструкции из $\$ 6.1$, совпадает с основным состоянием $\Omega$ гамильтониана $H$, заданного формулой $H=$ $=\int \mathscr{H}(\mathbf{x}) d^{d-1} \mathbf{x}$, где
\[
\mathscr{H}(\mathbf{x})=:\left(\frac{1}{2} \pi\left(\mathbf{x}^{2}\right)+\frac{1}{2}
abla \varphi(\mathbf{x})+\frac{1}{2} m^{2} \varphi(\mathbf{x})^{2}+\lambda \varphi(x)^{4}\right): .
\]

Аналогично, динамика, абстрактно определенная в $\S 6.1$, задается гамильтонианом $H$, что находится в соответствии с результатами гл. 3.