В этом параграфе мы приведем основные формулы и равенства с указанием параграфа, в котором они доказываются. Как и в § 8.5, обозначим $R(\phi )$ полином от $\phi$ или полином от $\phi ,\dots ,:\phi (x{)}^{\prime }$ : . Положим
$$A(\phi )=R(\phi )e^{i\phi (f)}.$$
(I) Равенства для полиномов Вика

Упорядочение экспоненты (§ 6.3):
$$:e^{\phi (f)}:c=e^{\phi (f)}{e}^{-⟨f,Cf⟩/2}.$$

Здесь $⟨\cdot ,\cdot >$ обозначает скалярное произведение в вещественном пространстве $L_2$.
Дифференцирование функционалов. Производная функционала $A(\phi )$ на ${\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^d\right)$ вдоль направления $\psi$ определяется формулой
$$\left(D_{\psi }A\right)(\phi )=\underset{\epsilon \to 0}{lim}\frac{A(\phi +\epsilon \psi )-A(\phi )}{\epsilon }.$$

Здесь $\psi \in {\mathcal{D}}^{\prime }$, а производная, в зависимости от $A(\phi )$, может существовать в каждой точке, или как функция из $L_p$ относительно меры $d\mu (\phi )$, и т. д. Вот два примера производных от фуңкций вида (9.1.1):
$$D_{\psi }\phi (f{)}^n=n\psi (f)\phi (f{)}^{n-1},D_{\psi }{e}^{\phi (f)}=\psi (f)e^{\phi (f)}.$$

В важном частном случае, когда $\psi ={\delta }_x$ есть функция Дирака в точке $x$, используется специальное обозначение:
$$\delta A(\phi )/\delta \phi (x)\equiv D_{{\delta }_x}A(\phi ).$$

Для полиномов $A$ с гладкими коэффициентами, т. е. для линейных комбинаций мономов вида $\phi \left(f_1\right)\dots \phi \left(f_n\right),f_j\in \mathcal{D}$, определение

(9.1.3) совпадает с алгебраическим определением, использованным в $\mathrm{\$}1.5$ и 6.3 . В случае негладких коэффициентов, например когда $A$ в (9.1.1) содержит локальные виковы произведения : $\phi (x{)}^j$, определение (9.1.3) следует продолжьть по непрерывности. Такое продолжение зависит и от коэффициентов в $A$, и от меры в функциональном пространстве, относительно которой и проводится продолжение. Напомним, что $\phi (y)$ и : $\phi (y{)}^i$ : нельзя рассматривать ни как функции на ${\mathcal{D}}^{\prime }$, ни как операторы умножения. На самом деле $\phi (y)$ и $:\phi (y{)}^f$ : являются билинейными формами с соответствующими областями определения, поэтому либо нужно понимать равенство (9.1.4a) как равенство билинейных форм, либо рассматривать $\delta /\delta \phi (x)$ как обобщенную функцию по переменной $x$, а тогда равенство (9.1.4а) приобретает смысл после интегрирования по $x$. Другим примером служит
$$\delta \phi (y)/\delta \phi (x)=\delta (x-y).$$

Определение викова упорядочения относительно ковариации $C$ ($8.5). Пусть $c_x={\delta }_x\ast C_{\ast }$. Тогда
$$:{\phi }^n(x){:}_C=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{j=0}^{[n/2]}\frac{(-1{)}^{t}n!}{(n-2j)!j!2^j}{c}_x(x{)}^I{\phi }_x(x{)}^{n-2]}.$$

Дифференцирование виковых полиномов:
$$\delta :A:c/\delta \phi (x)=:\delta A/\delta \phi (x):c.$$

Пример: $\delta :\phi (y{)}^n:c/\delta \phi (x)=n\delta (x-y):\phi (y{)}^{n-1}:c$.
Умножение виковых полиномов:
$$\phi (f):A(\phi ):c=:\phi (f)A:c+(⟨Cf,\delta /\delta \phi ⟩:A{:}_c).$$

Пример:
$$\phi (x):\phi (y{)}^n{:}_C=:\phi (x)\phi (y{)}^n{:}_C+nC(x,y):{\phi }^{n-1}(y){:}_C.$$

Инфинитезимальное изменение викова упорядочения. Пусть $C(t)$ семейство ковариационных операторов, гладко зависящее от $t$. Тогда
$$d:A{:}_{C(t)}/dt=-\frac{1}{2}{\mathrm{\Delta }}_{\dot{C}}:A{:}_{C(t)}.$$

Здесь $\dot{C}=(d/dt)C(t)$, а
$${\mathrm{\Delta }}_C\equiv ⟨C\frac{\delta }{\delta \phi },\frac{\delta }{\delta \phi }⟩\equiv \int C(x,y)\frac{\delta }{\delta \phi (x)}\frac{\delta }{\delta \phi (y)}dxdy$$

обозначает дифференциальный оператор второго порядка в пространстве функций $\phi$, отвечающий оператору $C$.
Пример дифференцирования (9.1.9):
$$d:\phi (x{)}^n{:}_{c(t)}/dt=-\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)\dot{C}(x,x):\phi (x{)}^{n-2}{:}_{c(t)}.$$

Конечное изменение викова упорядочения. Если $C_1$ и $C_2$ — ковариационные операторы из класса $\mathcal{C}$ и $\delta c(x)=\underset{y\to x}{lim}[C_2(x,y)-$ — $C_1(x,y)]$, то
$$:\phi (x{)}^n{:}_{C_1}=\sum _{j=0}^{[n/2]}\frac{n!}{(n-2j)!j!2^j}\delta c(x{)}^j:\phi (x{)}^{n-2j}{:}_{C_2}.$$

Это равенство следует из (9.1.2) и формулы (1.5.12) для полиномов Эрмита.
Доказательство формулы (9.1.6). Пусть $h(\lambda ,\phi )=\exp [\lambda \phi (f)-\frac{1}{2}{\lambda }^2⟨f,Cf⟩]$, так что : $\phi (f{)}^n:c=d^{n}h(\lambda ,\phi )/{d{\lambda }^n|}_{\lambda =0}$. Тогда
$$\begin{array}{r}\frac{\delta }{\delta \phi (x)}:\phi (f{)}^n{:}_C={\frac{\delta }{\delta \phi (x)}\frac{d^n}{d{\lambda }^n}h(\lambda ,\phi )|}_{\lambda =0}=\frac{d^n}{d{\lambda }^n}[\lambda f(x)h(\lambda ,\phi ){]}_{\lambda =0}=\\ =nf(x){[\frac{d^{n-1}}{d{\lambda }^{n-1}}h(\lambda ,\phi )]}_{\lambda =0}=nf(x):\phi (f{)}^{n-1}{:}_C=:\frac{\delta }{\delta \phi (x)}\phi (f{)}^n{:}_C.\end{array}$$

Полилинейность полиномов Вика и так называемое поляризационное тождество
$$x_1\dots x_n=2^{-n}(n!{)}^{-1}\sum _{{\epsilon }_j=\pm 1}{\epsilon }_1\dots {\epsilon }_n{({\epsilon }_1{x}_1+\dots +{\epsilon }_n{x}_n)}^n$$

позволяют доказать (9.1.6) в случае $A=\phi \left(f_1\right)\dots \phi \left(f_n\right)$. Для $A$ вида (9.1.1) с гладкими коэффициентами у полинома $R$ равенство можно получить, суммируя сходящийся ряд разложения экспоненты. Для доказательства формулы в случае, когда $A$ содержит полиномы Вика из § 8.5, мы должны ограничиться лишь функциональным пространством, в котором сосредоточена мера, и распространить определение $D_f$ на функционалы $A(\phi )$.

В случае $d=2$ для гауссовых мер и $P(\phi )$-мер в конечном объеме в гл. 8 было введено ультрафиолетовое импульсное обрезание для полиномов $A$. В результате получается полином с гладкими коэффициентами, для которого выполняется (9.1.6). После интегрирования по $x$, как в (9.1.4), в полученной формуле можно перейти к пределу при снятии обрезания (это вытекает из оценок § 8.5). Таким образом, определение $D_f$ можно продолжить по непрерывности так, что останется справедливой формула (9.1.6).
Доказательство формулы (9.1.7). Для определенной выше величины $h(\lambda ,\phi )$ находим, что

Таким образом,
$$⟨Cf,\delta /\delta \phi ⟩h(\lambda ,\phi )=\lambda ⟨f,Cf⟩h(\lambda ,\phi ).$$
$$\begin{array}{rl}:\mathrm{\Phi }(f{)}^n{:}_C& ={\frac{d^n}{d{\lambda }^n}h(\lambda ,\phi )|}_{\lambda =0}=\frac{d^{n-1}}{d{\lambda }^{n-1}}[(\phi (f)-\lambda ⟨f,Cf⟩)h(\lambda ,\phi ){]}_{\lambda =0}=\\ & =\phi (f):\phi (f{)}^{n-1}{:}_C-⟨Cf,\delta /\delta \phi ⟩:\phi (f{)}^{n-1}{:}_C.\end{array}$$

Применяя (9.1.13) и суммируя сходящиеся ряды для $e^{\phi (f)}$, получаем (9.1.7) в случае гладких коэффициентов. Общий случай доказывается введением ультрафиолетового обрезания, а затем снятием его, как в § 8.5.
Доказательство формуль (9.1.9). Для $A(\phi )=e^{i\phi (f)}$, используя обозначение (9.1.10), имеем
$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}:A{:}_{C(t)}& =\frac{d}{dt}\exp (\frac{1}{2}⟨f,C(t)f⟩+i\phi (f))=\\ & =\frac{1}{2}⟨f,\dot{C}(t)f⟩:A{:}_{C(t)}=-\frac{1}{2}{\mathrm{\Delta }}_{\dot{C}}:A{:}_{C(t)}{}^{\ast }\end{array}$$

Для того чтобы доказать формулу для полиномов, Заменим в предыдущем равенстве $f$ на $\lambda f$ и возьмем производную соответствующего порядка по $\lambda$ в точке $\lambda =0$. Негладкие $A$ рассматриваются, как и раньше, с помощью ультрафиолетового обрезания. Для того чтобы намеченное здесь доказательство было корректным, достаточно предположить, что $C(t)\in \mathcal{Z}$ (см. $\mathrm{\S }7.9$ ) и что ядро $\dot{C}(t,x,y)$ оператора $\dot{C}(t)$ удовлетворяет условию $|C(t,x,y)|⩽$ const $C(x,y)$ для некоторого $C\in \mathcal{C}$. Фактически нужно рассматривать только простейший случай
$$C(t)=t{C}_1+(1-t)C_2,C=\delta C=C_1-C_2.$$
(II) Гауссовы интегралы ($6.3)

Преобразование Фурье (Характеристическая функция. Среднее 0 , ковариация $C$ ):
$$S(f)=\int e^{i\phi (f)}d{\phi }_C=e^{-⟨Cf,f⟩/2}.$$

Моменты:
$$\int \phi (f{)}^{2n+1}d{\phi }_C=0,\int \phi (f{)}^{2n}d{\phi }_C=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}⟨Cf,f{⟩}^n.$$

Скалярное произведение экспонент. В качестве следствия из (9.1.16) и (9.1.2) получаем равенство
$$\int :e^{-i\phi (f)}{:}_C:e^{i\phi (g)}:{}_{C}d{\phi }_C=e^{(f,cg)}.$$

Ортогональность полиномов Эрмита (Вика). Разлагая
в степенной ряд, получаем, что
$$\int :\phi (f{)}^n{:}_C:\phi (g{)}^m{:}_{C}d{\phi }_C={\delta }_{nm}n!⟨f,Cg{⟩}^n.$$

Примеры: при $n⩾1$
$$\begin{array}{l}\int :\phi (f{)}^n{:}_{C}d{\phi }_C=0,\\ \int :A(\phi ){:}_{C}d{\phi }_C=A(\phi =0).\end{array}$$

Ниже мы будем обозначать через $v$ интегральный оператор с ядром $v(x,y)$, действующий в пространстве $L_2(R^d,dx)$. Кроме того, будем предполагать, что $I+C^{1/2}v{C}^{1/2}>0$. Пусть
$$:V:=\frac{1}{2}\int :\phi (x)v(x,y)\phi (y):dxdy.$$

Константа викова упорядочения. Пусть оператор $vC$ имеет след; тогда
$$:V{:}_C=V-\frac{1}{2}\mathrm{Tr}(vC).$$

Равенство следует из соотношений : $\phi (x)\phi (y):c=\phi (x)\phi (y)-C(x,y)$ и $\mathrm{Tr}(vC)=\int v(x,y)C(y,x)dxdy$.

Функциональный определитель ($9.3):
$Z\equiv \int e^{-:V:C}d{\phi }_C=\exp \{-\frac{1}{2}\mathrm{Tr}[\ln (I+C^{1/2}v{C}^{1/2})-C^{1/2}v{C}^{1/2}]\}$.
Гауссово возмущение ( $\mathrm{\S }9.3$ ):
$$d{\phi }_{{(c^{-1}+v)}^{-1}}=Z^{-1}{e}^{-:V:c}d{\phi }_C.$$

Пример: пусть $v$ есть оператор умножения на $m(x{)}^2,C=(-\mathrm{\Delta }+I{)}^{-1}$. Тогда
$$\begin{array}{c}:V:=\frac{1}{2}\int m(x{)}^2:\phi (x{)}^2:{}_{C}dx,\\ d{\phi }_{{(-\mathrm{\Delta }+I+m(x{)}^2)}^{-1}}=Z^{-1}{e}^{-:V:}d{\phi }_{(-\mathrm{\Delta }+I{)}^{-1}}\\ Z=\exp \{-\frac{1}{2}\mathrm{Tr}[\ln (I+C^{1/2}{m}^2{C}^{1/2})-C^{1/2}{m}^2{C}^{1/2}]\}.\end{array}$$

Масштабное преобразование ( $\mathrm{\$}8.6$ ). Пусть $\alpha >0$ и $R_{\alpha }$ обозначает преобразование, изменяющее масштаб длины в $\alpha$ раз. В частности, для $C={(-{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma }}+m^2)}^{-1}$ определим $R_{\alpha }C={(-{\mathrm{\Delta }}_{\alpha \mathrm{\Gamma }}+(m/\alpha {)}^2)}^{-1}$. Для $f\in C_0^{\mathrm{\infty }}$ положим $\left(R_{\alpha }f\right)(x)={\alpha }^{-(d+2)/2}f(x/\alpha )$. Тогда справедливо равенство
$$\int e^{i-\varphi \left(R_{\alpha }f\right)}d{\phi }_{R_{\alpha }C}=\int e^{i\phi (f)}d{\phi }_C,$$

называемое масштабным тождеством. Масштабное тождество в негауссовом случае заключено в формуле (8.6.26).
Сдвиг гаусовой меры. Пусть $g\in \mathcal{S}$ и $\psi =\phi -g$. Заменим интегрирование по $\phi$ интегрированием по сдвинутой переменной $\psi$. тогда
$$d_{{\phi }_C}=\exp [-\frac{1}{i2}⟨g,C^{-1}g⟩-⟨C^{-1}g,\psi ⟩]d{\psi }_C.$$

Доказательство формуль (9.1.27). Докажем это равенство для преобразований Фурье обеих мер. Проинтегрируем обе части (9.1.27), умножив их на функцию $\exp (i\phi (f))=\exp (i\psi (f))\exp (i⟨g,f⟩)$. Оба интеграла можно вычислить, используя (9.1.16), и они оказываются равными $\exp (-\frac{1}{2}⟨f,Cf⟩)$. Так как мера однозначно определяется своим преобразованием Фурье, то равенство (9.1.27) доказано.
(III) Интегрирование по частям
Формула гауссова интегрирования по частям
$$\begin{array}{rl}\int \phi (f)Ad{\phi }_C& =\int ⟨Cf,\delta /\delta \phi ⟩Ad{\phi }_C=\\ & =\int (\delta A/\delta \phi (Cf))d{\phi }_C=\int D_{Cf}Ad{\phi }_C\end{array}$$

была доказана в § 6.3. Она вытекает также из соотношений (9.1.6), (9.1.7) и (9.1.20). Для обобщения этого равенства на случай негауссовых мер положим
$$\begin{array}{rl}V& ={\int }_{\mathrm{\Lambda }}:P(\phi ){:}_{C_1}dx,\\ d\mu & =d{\mu }_{\mathrm{\Lambda }}=e^{-V}d{\phi }_{C_2}/\int e^{-V}d{\phi }_{C_2},\\ B& =A{e}^{-V}.\end{array}$$

Интегрирование по частям (общий случай: $\mathrm{\S }12.2$ ):
$$\int \phi (f)Ad\mu =\int ⟨C_{2}f,\frac{\delta A}{\delta \phi }-A\frac{\delta V}{\delta \phi }⟩d\mu .$$

Заметим, что если в (9.1.32) можно перейти к пределу при $\mathrm{\Lambda }\uparrow R^d$, то формула (9.1.32) верна и для меры $d\mu$ в бесконечном объеме.
Инфинитезимальное изменение ковариации (гауссов случай: $\mathrm{\$}9.2$ ). Пусть $C(t)$ есть гладкая операторнозначная функция от $t$. Тогда
$$\frac{d}{dt}\int Bd{\phi }_{C(t)}=\frac{1}{2}\int {\mathrm{\Delta }}_{\dot{C}}Bd{\phi }_{C(t)},$$

где $C=dC/dt$, а ${\mathrm{\Delta }}_C$ определено в (9.1.10).
Инфинитезимальное изменение ковариации (общий случай: $\mathrm{\$}9.2$, $12.2)$. Пусть $C_1(t),C_2(t)$-гладкие операторнозначные функции от $t$. Тогда
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\int A{e}^{-V}d{\phi }_{C_2(t)}=\frac{1}{2}\int \{{\mathrm{\Delta }}_{{\dot{C}}_2}A+A{\mathrm{\Delta }}_{{\dot{C}}_2-{\dot{C}}_1}V+\\ +A⟨{\dot{C}}_2\frac{\delta V}{\delta \phi },\frac{\delta V}{\delta \phi }⟩-⟨{\dot{C}}_2\frac{\delta V}{\delta \phi },\frac{\delta A}{\delta \phi }⟩\}{e}^{-V}d{\phi }_{C_2(t)}.\end{array}$$

Из (9.1.34) вытекает формула для ( $d/dt)\int Ad\mu$, где $d\mu$ есть мера (9.1.30) или соответствующая мера в бесконечном объеме, если в (9.1.34) возможен предельный переход к бесконечному объему. Обусловленность. Положим в $(9.1.31,34)A=I,C_1=C_2=C(t)$ :
$$\frac{d}{dt}\int e^{-V}d{\phi }_{C(t)}=\frac{1}{2}\int ⟨\dot{C}\frac{\delta V}{\delta \phi },\frac{\delta V}{\delta \phi }⟩e^{-V}d{\phi }_{C(t)}.$$

Это равенство чаще всего используется, когда $\dot{C}⩾0$ или $\dot{C}⩽0$, как, например, в случае $C=t{C}_1+(1-t)C_2,\dot{C}=C_1-C_2$ и $C_1⩾C_2$ или $C_2⩾C_1$.
Трансляция. Для случая взаимодействия в конечном объеме формула (9.1.27) принимает вид $e^{-V(\mathrm{\Phi })}d{\phi }_{C_2}=e^{-W(\psi )}d{\psi }_{C_2}$, где
$$W(\psi )={\int }_{\mathrm{\Lambda }}:P(\psi +g){:}_{o_1}dx+⟨C_2^{-1}g,\psi ⟩+\frac{1}{2}⟨g,C_2^{-1}g⟩.$$
Доказательство формуль (9.1.32). Если вместо $A$ подставить $B$ в (9.1.28), то $(9,1.32)$ сводитея к $(9.1,28)$. Таким образом, достаточно проверить для производной $\delta B/\delta \phi$ правило дифференцирования сложной функцин. Введя ультрафиолетовое обрезание и используя предложение 8.7.2, можно аппроксимировать $V$ последовательностью полиномов $Q^{(l)}$ вида (8.7.2). Для $B^{(l)}=A{e}^{-Q^{(l)}}$ правило дифференцирования сложной функции и формула нитегрирования по частям верны, так как $Q^{(l)}$-.- цилиндрические функцноналы (зависяцие от значений функции только в конечном числе переменных точек) и функцнональные производные функции $e^{-Q^{(l)}}$ превращаются в обычные производные. Следовательно, равенство справедливо для $B^{(t)}$. Кроме того, по предложению 8.7 .3 обе части равенства сходятся при $l\to \mathrm{\infty }$.
(IV) Предель мер

Пусть $C_n$ — последовательность операторов ковариации. Если $C_n\to C$ в смысле слабой сходимости билинейных форм на $\mathcal{F}\times \mathcal{P}$, то из (9.1.16), (9.1.17) вытекает сходимость гауссовых мер $d{\phi }_{c_n}\to d{\phi }_C$ в смысле сходимости характеристических функций и моментов. Пусть $\mathcal{P}\subset \mathcal{P}$ есть конечномерное подпространство. Цилиндрическая функция $f$, определяемая с помощью $\mathcal{W}$, есть функция вида
$$f(\phi )=F(⟨\phi ,w_1⟩,\dots ,⟨\phi ,w_n⟩),$$

где $w_1,\dots ,w_n\in \mathcal{W}$. Интеграл $\int fd{\phi }_C$ можно записать как конечномерный гауссов интеграл с гауссовым показателем $C_w^{-1}/2$, где $C_w$ — ограничение $C$ на $\mathcal{W}\times \mathcal{P}$. Из сходимости $C_n$ к $C$ вытекает сходимость $C_{nw}$ к $C_w$ и $C_{nw}^{-1}$ к $C_w^{-1}$ (в предположении невырожденности $C$ ). В случае же вырождения $C$ гауссова мера будет содержать $\delta$-функцию. Из этих соображений вытекает, что для непрерывної ограниченной цилиндрической функции $f$
$$\int f(\phi )d{\phi }_{C_n}\to \int f(\phi )d{\phi }_C.$$

В ряде ситуаций бывает нужно обобщить эту сходимость на случай $P(\phi {)}_2$-меры (9.1.30).
Снятие решеточного обрезания ( $\mathrm{\S }9.5,9.6$ ). Пусть $C\in \mathcal{C}$ и $C_{\delta }$ — peшеточная аппроксимация $C$ с шагом решетки $\delta$. Тогда $C_{\delta }\to C$ в смысле слабой сходимости операторов в $L_2$ и соответствующие решеточные меры $d{\mu }_{c_8}$ сходятся к мере $d{\mu }_c$ в смысле сходимости характеристических функций.
Предел Дирихле (§ 7.8). Пусть $C\in \mathcal{C},\mathrm{\Lambda }$ — прямоугольник и ${\chi }_{{\mathrm{\Lambda }}^{\prime }}$ — характеристическая функция множества ${\mathrm{\Lambda }}^{\prime }$ (дополнение к $\mathrm{\Lambda }$ ). Положим $C_{\lambda }={(C^{-1}+\lambda {\chi }_{{\mathrm{\Lambda }}^{\prime }})}^{-1}$. Тогда существует предел $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{C}_{\lambda }=C_{\mathrm{\infty }}$ и $C_{\mathrm{\infty }}f=0$, если supp $f\subset {\mathrm{\Lambda }}^{\prime }$. Предположим, кроме того, что $C^{-1}=-{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{r}}+m^{2}I$, где ${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{r}}$ есть лапласиан Дирихле с нулевыми граничными условиями на $\mathrm{\Gamma }\subset \mathrm{\Lambda }$. Тогда оператор $C_{\mathrm{\infty }}^{-1}=$ $=-{\mathrm{\Delta }}_{\text{г }}\cup \partial \mathrm{\Lambda }+m^{2}I$ в пространстве $L_2(\mathrm{\Lambda })$ есть лапласиан Дирихле с нулевыми граничными условиями и на $\mathrm{\Gamma }$, как $C^{-1}$, и дополнительно на $\partial \mathrm{\Lambda }$.
Предел Неймана. Пусть
$$⟨f,C_{\lambda }^{-1}f⟩=⟨f,C^{-1}f⟩+\lambda {\int }_{{\mathrm{\Lambda }}^{\prime }}|ablaf(x){|}^{2}dx.$$

Тогда существует предел $\underset{\lambda \to \mathrm{\infty }}{lim}{C}_{\lambda }=C_{\mathrm{\infty }}$, и оператор $C_{\mathrm{\infty }}$ соответствует (по крайней мере формально) граничным условиям Неймана на $\partial \mathrm{\Lambda }$. В дальнейшем мы не будем использовать этот предельный переход.