В этом параграфе мы приведем основные формулы и равенства с указанием параграфа, в котором они доказываются. Как и в § 8.5, обозначим $R(\varphi)$ полином от $\varphi$ или полином от $\varphi, \ldots,: \varphi(x)^{\prime}$ : . Положим
\[
A(\varphi)=R(\varphi) e^{i \varphi(f)} .
\]
(I) Равенства для полиномов Вика
Упорядочение экспоненты (§ 6.3):
\[
: e^{\varphi(f)}: c=e^{\varphi(f)} e^{-\langle f, C f\rangle / 2} .
\]
Здесь $\langle\cdot, \cdot>$ обозначает скалярное произведение в вещественном пространстве $L_{2}$.
Дифференцирование функционалов. Производная функционала $A(\varphi)$ на $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right)$ вдоль направления $\psi$ определяется формулой
\[
\left(D_{\psi} A\right)(\varphi)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{A(\varphi+\varepsilon \psi)-A(\varphi)}{\varepsilon} .
\]
Здесь $\psi \in \mathscr{D}^{\prime}$, а производная, в зависимости от $A(\varphi)$, может существовать в каждой точке, или как функция из $L_{p}$ относительно меры $d \mu(\varphi)$, и т. д. Вот два примера производных от фуңкций вида (9.1.1):
\[
D_{\psi} \varphi(f)^{n}=n \psi(f) \varphi(f)^{n-1}, \quad D_{\psi} e^{\varphi(f)}=\psi(f) e^{\varphi(f)} .
\]
В важном частном случае, когда $\psi=\delta_{x}$ есть функция Дирака в точке $x$, используется специальное обозначение:
\[
\delta A(\varphi) / \delta \varphi(x) \equiv D_{\delta_{x}} A(\varphi) .
\]
Для полиномов $A$ с гладкими коэффициентами, т. е. для линейных комбинаций мономов вида $\varphi\left(f_{1}\right) \ldots \varphi\left(f_{n}\right), f_{j} \in \mathscr{D}$, определение
(9.1.3) совпадает с алгебраическим определением, использованным в $\$ 1.5$ и 6.3 . В случае негладких коэффициентов, например когда $A$ в (9.1.1) содержит локальные виковы произведения : $\varphi(x)^{j}$, определение (9.1.3) следует продолжьть по непрерывности. Такое продолжение зависит и от коэффициентов в $A$, и от меры в функциональном пространстве, относительно которой и проводится продолжение. Напомним, что $\varphi(y)$ и : $\varphi(y)^{i}$ : нельзя рассматривать ни как функции на $\mathscr{D}^{\prime}$, ни как операторы умножения. На самом деле $\varphi(y)$ и $: \varphi(y)^{f}$ : являются билинейными формами с соответствующими областями определения, поэтому либо нужно понимать равенство (9.1.4a) как равенство билинейных форм, либо рассматривать $\delta / \delta \varphi(x)$ как обобщенную функцию по переменной $x$, а тогда равенство (9.1.4а) приобретает смысл после интегрирования по $x$. Другим примером служит
\[
\delta \varphi(y) / \delta \varphi(x)=\delta(x-y) .
\]
Определение викова упорядочения относительно ковариации $C$ (\$8.5). Пусть $c_{x}=\delta_{x} * C_{*}$. Тогда
\[
: \varphi^{n}(x):_{C}=\lim _{x \rightarrow \infty} \sum_{j=0}^{[n / 2]} \frac{(-1)^{t} n !}{(n-2 j) ! j ! 2^{j}} c_{x}(x)^{I} \varphi_{x}(x)^{n-2]} .
\]
Дифференцирование виковых полиномов:
\[
\delta: A: c / \delta \varphi(x)=: \delta A / \delta \varphi(x): c .
\]
Пример: $\delta: \varphi(y)^{n}: c / \delta \varphi(x)=n \delta(x-y): \varphi(y)^{n-1}: c$.
Умножение виковых полиномов:
\[
\varphi(f): A(\varphi): c=: \varphi(f) A: c+\left(\langle C f, \delta / \delta \varphi\rangle: A:_{c}\right) .
\]
Пример:
\[
\varphi(x): \varphi(y)^{n}:_{C}=: \varphi(x) \varphi(y)^{n}:_{C}+n C(x, y): \varphi^{n-1}(y):_{C} .
\]
Инфинитезимальное изменение викова упорядочения. Пусть $C(t)$ семейство ковариационных операторов, гладко зависящее от $t$. Тогда
\[
d: A:_{C(t)} / d t=-\frac{1}{2} \Delta_{\dot{C}}: A:_{C(t)} .
\]
Здесь $\dot{C}=(d / d t) C(t)$, а
\[
\Delta_{C} \equiv\left\langle C \frac{\delta}{\delta \varphi}, \frac{\delta}{\delta \varphi}\right\rangle \equiv \int C(x, y) \frac{\delta}{\delta \varphi(x)} \frac{\delta}{\delta \varphi(y)} d x d y
\]
обозначает дифференциальный оператор второго порядка в пространстве функций $\varphi$, отвечающий оператору $C$.
Пример дифференцирования (9.1.9):
\[
d: \varphi(x)^{n}:_{c(t)} / d t=-\left(\begin{array}{c}
n \\
2
\end{array}\right) \dot{C}(x, x): \varphi(x)^{n-2}:_{c(t)} .
\]
Конечное изменение викова упорядочения. Если $C_{1}$ и $C_{2}$ – ковариационные операторы из класса $\mathscr{C}$ и $\delta c(x)=\lim _{y \rightarrow x}\left[C_{2}(x, y)-\right.$ – $\left.C_{1}(x, y)\right]$, то
\[
: \varphi(x)^{n}:_{C_{1}}=\sum_{j=0}^{[n / 2]} \frac{n !}{(n-2 j) ! j ! 2^{j}} \delta c(x)^{j}: \varphi(x)^{n-2 j}:_{C_{2}} .
\]
Это равенство следует из (9.1.2) и формулы (1.5.12) для полиномов Эрмита.
Доказательство формулы (9.1.6). Пусть $h(\lambda, \varphi)=\exp \left[\lambda \varphi(f)-\frac{1}{2} \lambda^{2}\langle f, C f\rangle\right]$, так что : $\varphi(f)^{n}: c=d^{n} h(\lambda, \varphi) /\left.d \lambda^{n}\right|_{\lambda=0}$. Тогда
\[
\begin{aligned}
\frac{\delta}{\delta \varphi(x)}: \varphi(f)^{n}:_{C}=\left.\frac{\delta}{\delta \varphi(x)} \frac{d^{n}}{d \lambda^{n}} h(\lambda, \varphi)\right|_{\lambda=0}=\frac{d^{n}}{d \lambda^{n}}[\lambda f(x) h(\lambda, \varphi)]_{\lambda=0}= \\
=n f(x)\left[\frac{d^{n-1}}{d \lambda^{n-1}} h(\lambda, \varphi)\right]_{\lambda=0}=n f(x): \varphi(f)^{n-1}:_{C}=: \frac{\delta}{\delta \varphi(x)} \varphi(f)^{n}:_{C} .
\end{aligned}
\]
Полилинейность полиномов Вика и так называемое поляризационное тождество
\[
x_{1} \ldots x_{n}=2^{-n}(n !)^{-1} \sum_{\varepsilon_{j}= \pm 1} \varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}\left(\varepsilon_{1} x_{1}+\ldots+\varepsilon_{n} x_{n}\right)^{n}
\]
позволяют доказать (9.1.6) в случае $A=\varphi\left(f_{1}\right) \ldots \varphi\left(f_{n}\right)$. Для $A$ вида (9.1.1) с гладкими коэффициентами у полинома $R$ равенство можно получить, суммируя сходящийся ряд разложения экспоненты. Для доказательства формулы в случае, когда $A$ содержит полиномы Вика из § 8.5, мы должны ограничиться лишь функциональным пространством, в котором сосредоточена мера, и распространить определение $D_{f}$ на функционалы $A(\varphi)$.
В случае $d=2$ для гауссовых мер и $P(\varphi)$-мер в конечном объеме в гл. 8 было введено ультрафиолетовое импульсное обрезание для полиномов $A$. В результате получается полином с гладкими коэффициентами, для которого выполняется (9.1.6). После интегрирования по $x$, как в (9.1.4), в полученной формуле можно перейти к пределу при снятии обрезания (это вытекает из оценок § 8.5). Таким образом, определение $D_{f}$ можно продолжить по непрерывности так, что останется справедливой формула (9.1.6).
Доказательство формулы (9.1.7). Для определенной выше величины $h(\lambda, \varphi)$ находим, что
Таким образом,
\[
\langle C f, \delta / \delta \varphi\rangle h(\lambda, \varphi)=\lambda\langle f, C f\rangle h(\lambda, \varphi) .
\]
\[
\begin{aligned}
: \Phi(f)^{n}:_{C} & =\left.\frac{d^{n}}{d \lambda^{n}} h(\lambda, \varphi)\right|_{\lambda=0}=\frac{d^{n-1}}{d \lambda^{n-1}}[(\varphi(f)-\lambda\langle f, C f\rangle) h(\lambda, \varphi)]_{\lambda=0}= \\
& =\varphi(f): \varphi(f)^{n-1}:_{C}-\langle C f, \delta / \delta \varphi\rangle: \varphi(f)^{n-1}:_{C} .
\end{aligned}
\]
Применяя (9.1.13) и суммируя сходящиеся ряды для $e^{\varphi(f)}$, получаем (9.1.7) в случае гладких коэффициентов. Общий случай доказывается введением ультрафиолетового обрезания, а затем снятием его, как в § 8.5.
Доказательство формуль (9.1.9). Для $A(\varphi)=e^{i \varphi(f)}$, используя обозначение (9.1.10), имеем
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}: A:_{C(t)} & =\frac{d}{d t} \exp \left(\frac{1}{2}\langle f, C(t) f\rangle+i \varphi(f)\right)= \\
& =\frac{1}{2}\langle f, \dot{C}(t) f\rangle: A:_{C(t)}=-\frac{1}{2} \Delta_{\dot{C}}: A:_{C(t)}{ }^{*}
\end{aligned}
\]
Для того чтобы доказать формулу для полиномов, Заменим в предыдущем равенстве $f$ на $\lambda f$ и возьмем производную соответствующего порядка по $\lambda$ в точке $\lambda=0$. Негладкие $A$ рассматриваются, как и раньше, с помощью ультрафиолетового обрезания. Для того чтобы намеченное здесь доказательство было корректным, достаточно предположить, что $C(t) \in \mathscr{Z}$ (см. $\S 7.9$ ) и что ядро $\dot{C}(t, x, y)$ оператора $\dot{C}(t)$ удовлетворяет условию $|C(t, x, y)| \leqslant$ const $C(x, y)$ для некоторого $C \in \mathscr{C}$. Фактически нужно рассматривать только простейший случай
\[
C(t)=t C_{1}+(1-t) C_{2}, \quad C=\delta C=C_{1}-C_{2} .
\]
(II) Гауссовы интегралы (\$6.3)
Преобразование Фурье (Характеристическая функция. Среднее 0 , ковариация $C$ ):
\[
S(f)=\int e^{i \varphi(f)} d \varphi_{C}=e^{-\langle C f, f\rangle / 2} .
\]
Моменты:
\[
\int \varphi(f)^{2 n+1} d \varphi_{C}=0, \quad \int \varphi(f)^{2 n} d \varphi_{C}=\frac{(2 n) !}{2^{n} n !}\langle C f, f\rangle^{n} .
\]
Скалярное произведение экспонент. В качестве следствия из (9.1.16) и (9.1.2) получаем равенство
\[
\int: e^{-i \varphi(f)}:_{C}: e^{i \varphi(g)}:{ }_{C} d \varphi_{C}=e^{(f, c g)} .
\]
Ортогональность полиномов Эрмита (Вика). Разлагая
в степенной ряд, получаем, что
\[
\int: \varphi(f)^{n}:_{C}: \varphi(g)^{m}:_{C} d \varphi_{C}=\delta_{n m} n !\langle f, C g\rangle^{n} .
\]
Примеры: при $n \geqslant 1$
\[
\begin{array}{l}
\int: \varphi(f)^{n}:_{C} d \varphi_{C}=0, \\
\int: A(\varphi):_{C} d \varphi_{C}=A(\varphi=0) .
\end{array}
\]
Ниже мы будем обозначать через $v$ интегральный оператор с ядром $v(x, y)$, действующий в пространстве $L_{2}\left(R^{d}, d x\right)$. Кроме того, будем предполагать, что $I+C^{1 / 2} v C^{1 / 2}>0$. Пусть
\[
: V:=\frac{1}{2} \int: \varphi(x) v(x, y) \varphi(y): d x d y .
\]
Константа викова упорядочения. Пусть оператор $v C$ имеет след; тогда
\[
: V:_{C}=V-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}(v C) .
\]
Равенство следует из соотношений : $\varphi(x) \varphi(y): c=\varphi(x) \varphi(y)-C(x, y)$ и $\operatorname{Tr}(v C)=\int v(x, y) C(y, x) d x d y$.
Функциональный определитель (\$9.3):
$Z \equiv \int e^{-: V: C} d \varphi_{C}=\exp \left\{-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left[\ln \left(I+C^{1 / 2} v C^{1 / 2}\right)-C^{1 / 2} v C^{1 / 2}\right]\right\}$.
Гауссово возмущение ( $\S 9.3$ ):
\[
d \varphi_{\left(c^{-1}+v\right)^{-1}}=Z^{-1} e^{-: V: c} d \varphi_{C} .
\]
Пример: пусть $v$ есть оператор умножения на $m(x)^{2}, C=(-\Delta+I)^{-1}$. Тогда
\[
\begin{array}{c}
: V:=\frac{1}{2} \int m(x)^{2}: \varphi(x)^{2}:{ }_{C} d x, \\
d \varphi_{\left(-\Delta+I+m(x)^{2}\right)^{-1}}=Z^{-1} e^{-: V:} d \varphi_{(-\Delta+I)^{-1}} \\
Z=\exp \left\{-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left[\ln \left(I+C^{1 / 2} m^{2} C^{1 / 2}\right)-C^{1 / 2} m^{2} C^{1 / 2}\right]\right\} .
\end{array}
\]
Масштабное преобразование ( $\$ 8.6$ ). Пусть $\alpha>0$ и $R_{\alpha}$ обозначает преобразование, изменяющее масштаб длины в $\alpha$ раз. В частности, для $C=\left(-\Delta_{\Gamma}+m^{2}\right)^{-1}$ определим $R_{\alpha} C=\left(-\Delta_{\alpha \Gamma}+(m / \alpha)^{2}\right)^{-1}$. Для $f \in C_{0}^{\infty}$ положим $\left(R_{\alpha} f\right)(x)=\alpha^{-(d+2) / 2} f(x / \alpha)$. Тогда справедливо равенство
\[
\int e^{i-\phi\left(R_{\alpha} f\right)} d \varphi_{R_{\alpha} C}=\int e^{i \varphi(f)} d \varphi_{C},
\]
называемое масштабным тождеством. Масштабное тождество в негауссовом случае заключено в формуле (8.6.26).
Сдвиг гаусовой меры. Пусть $g \in \mathscr{S}$ и $\psi=\varphi-g$. Заменим интегрирование по $\varphi$ интегрированием по сдвинутой переменной $\psi$. тогда
\[
d_{\varphi_{C}}=\exp \left[-\frac{1}{i 2}\left\langle g, C^{-1} g\right\rangle-\left\langle C^{-1} g, \psi\right\rangle\right] d \psi_{C} .
\]
Доказательство формуль (9.1.27). Докажем это равенство для преобразований Фурье обеих мер. Проинтегрируем обе части (9.1.27), умножив их на функцию $\exp (i \varphi(f))=\exp (i \psi(f)) \exp (i\langle g, f\rangle)$. Оба интеграла можно вычислить, используя (9.1.16), и они оказываются равными $\exp \left(-\frac{1}{2}\langle f, C f\rangle\right)$. Так как мера однозначно определяется своим преобразованием Фурье, то равенство (9.1.27) доказано.
(III) Интегрирование по частям
Формула гауссова интегрирования по частям
\[
\begin{aligned}
\int \varphi(f) A d \varphi_{C} & =\int\langle C f, \delta / \delta \varphi\rangle A d \varphi_{C}= \\
& =\int(\delta A / \delta \varphi(C f)) d \varphi_{C}=\int D_{C f} A d \varphi_{C}
\end{aligned}
\]
была доказана в § 6.3. Она вытекает также из соотношений (9.1.6), (9.1.7) и (9.1.20). Для обобщения этого равенства на случай негауссовых мер положим
\[
\begin{aligned}
V & =\int_{\Lambda}: P(\varphi):_{C_{1}} d x, \\
d \mu & =d \mu_{\Lambda}=e^{-V} d \varphi_{C_{2}} / \int e^{-V} d \varphi_{C_{2}}, \\
B & =A e^{-V} .
\end{aligned}
\]
Интегрирование по частям (общий случай: $\S 12.2$ ):
\[
\int \varphi(f) A d \mu=\int\left\langle C_{2} f, \frac{\delta A}{\delta \varphi}-A \frac{\delta V}{\delta \varphi}\right\rangle d \mu .
\]
Заметим, что если в (9.1.32) можно перейти к пределу при $\Lambda \uparrow R^{d}$, то формула (9.1.32) верна и для меры $d \mu$ в бесконечном объеме.
Инфинитезимальное изменение ковариации (гауссов случай: $\$ 9.2$ ). Пусть $C(t)$ есть гладкая операторнозначная функция от $t$. Тогда
\[
\frac{d}{d t} \int B d \varphi_{C(t)}=\frac{1}{2} \int \Delta_{\dot{C}} B d \varphi_{C(t)},
\]
где $C=d C / d t$, а $\Delta_{C}$ определено в (9.1.10).
Инфинитезимальное изменение ковариации (общий случай: $\$ 9.2$, $12.2)$. Пусть $C_{1}(t), C_{2}(t)$-гладкие операторнозначные функции от $t$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \int A e^{-V} d \varphi_{C_{2}(t)}=\frac{1}{2} \int\left\{\Delta_{\dot{C}_{2}} A+A \Delta_{\dot{C}_{2}-\dot{C}_{1}} V+\right. \\
\left.\quad+A\left\langle\dot{C}_{2} \frac{\delta V}{\delta \varphi}, \frac{\delta V}{\delta \varphi}\right\rangle-\left\langle\dot{C}_{2} \frac{\delta V}{\delta \varphi}, \frac{\delta A}{\delta \varphi}\right\rangle\right\} e^{-V} d \varphi_{C_{2}(t)} .
\end{array}
\]
Из (9.1.34) вытекает формула для ( $d / d t) \int A d \mu$, где $d \mu$ есть мера (9.1.30) или соответствующая мера в бесконечном объеме, если в (9.1.34) возможен предельный переход к бесконечному объему. Обусловленность. Положим в $(9.1 .31,34) A=I, C_{1}=C_{2}=C(t)$ :
\[
\frac{d}{d t} \int e^{-V} d \varphi_{C(t)}=\frac{1}{2} \int\left\langle\dot{C} \frac{\delta V}{\delta \varphi}, \frac{\delta V}{\delta \varphi}\right\rangle e^{-V} d \varphi_{C(t)} .
\]
Это равенство чаще всего используется, когда $\dot{C} \geqslant 0$ или $\dot{C} \leqslant 0$, как, например, в случае $C=t C_{1}+(1-t) C_{2}, \quad \dot{C}=C_{1}-C_{2}$ и $C_{1} \geqslant C_{2}$ или $C_{2} \geqslant C_{1}$.
Трансляция. Для случая взаимодействия в конечном объеме формула (9.1.27) принимает вид $e^{-V(\Phi)} d \varphi_{C_{2}}=e^{-W(\psi)} d \psi_{C_{2}}$, где
\[
W(\psi)=\int_{\Lambda}: P(\psi+g):_{o_{1}} d x+\left\langle C_{2}^{-1} g, \psi\right\rangle+\frac{1}{2}\left\langle g, C_{2}^{-1} g\right\rangle .
\]
Доказательство формуль (9.1.32). Если вместо $A$ подставить $B$ в (9.1.28), то $(9,1.32)$ сводитея к $(9.1,28)$. Таким образом, достаточно проверить для производной $\delta B / \delta \varphi$ правило дифференцирования сложной функцин. Введя ультрафиолетовое обрезание и используя предложение 8.7.2, можно аппроксимировать $V$ последовательностью полиномов $Q^{(l)}$ вида (8.7.2). Для $B^{(l)}=A e^{-Q^{(l)}}$ правило дифференцирования сложной функции и формула нитегрирования по частям верны, так как $Q^{(l)}$-.- цилиндрические функцноналы (зависяцие от значений функции только в конечном числе переменных точек) и функцнональные производные функции $e^{-Q^{(l)}}$ превращаются в обычные производные. Следовательно, равенство справедливо для $B^{(t)}$. Кроме того, по предложению 8.7 .3 обе части равенства сходятся при $l \rightarrow \infty$.
(IV) Предель мер
Пусть $C_{n}$ – последовательность операторов ковариации. Если $C_{n} \rightarrow C$ в смысле слабой сходимости билинейных форм на $\mathscr{F} \times \mathscr{P}$, то из (9.1.16), (9.1.17) вытекает сходимость гауссовых мер $d \varphi_{c_{n}} \rightarrow d \varphi_{C}$ в смысле сходимости характеристических функций и моментов. Пусть $\mathscr{P} \subset \mathscr{P}$ есть конечномерное подпространство. Цилиндрическая функция $f$, определяемая с помощью $\mathscr{W}$, есть функция вида
\[
f(\varphi)=F\left(\left\langle\varphi, w_{1}\right\rangle, \ldots,\left\langle\varphi, w_{n}\right\rangle\right),
\]
где $w_{1}, \ldots, w_{n} \in \mathscr{W}$. Интеграл $\int f d \varphi_{C}$ можно записать как конечномерный гауссов интеграл с гауссовым показателем $C_{w}^{-1} / 2$, где $C_{w}$ – ограничение $C$ на $\mathscr{W} \times \mathscr{P}$. Из сходимости $C_{n}$ к $C$ вытекает сходимость $C_{n w}$ к $C_{w}$ и $C_{n w}^{-1}$ к $C_{w}^{-1}$ (в предположении невырожденности $C$ ). В случае же вырождения $C$ гауссова мера будет содержать $\delta$-функцию. Из этих соображений вытекает, что для непрерывної ограниченной цилиндрической функции $f$
\[
\int f(\varphi) d \varphi_{C_{n}} \rightarrow \int f(\varphi) d \varphi_{C} .
\]
В ряде ситуаций бывает нужно обобщить эту сходимость на случай $P(\varphi)_{2}$-меры (9.1.30).
Снятие решеточного обрезания ( $\S 9.5,9.6$ ). Пусть $C \in \mathscr{C}$ и $C_{\delta}$ – peшеточная аппроксимация $C$ с шагом решетки $\delta$. Тогда $C_{\delta} \rightarrow C$ в смысле слабой сходимости операторов в $L_{2}$ и соответствующие решеточные меры $d \mu_{c_{8}}$ сходятся к мере $d \mu_{c}$ в смысле сходимости характеристических функций.
Предел Дирихле (§ 7.8). Пусть $C \in \mathscr{C}, \Lambda$ – прямоугольник и $\chi_{\Lambda^{\prime}}$ – характеристическая функция множества $\Lambda^{\prime}$ (дополнение к $\Lambda$ ). Положим $C_{\lambda}=\left(C^{-1}+\lambda \chi_{\Lambda^{\prime}}\right)^{-1}$. Тогда существует предел $\lim _{n \rightarrow \infty} C_{\lambda}=C_{\infty}$ и $C_{\infty} f=0$, если supp $f \subset \Lambda^{\prime}$. Предположим, кроме того, что $C^{-1}=-\Delta_{\mathrm{r}}+m^{2} I$, где $\Delta_{\mathrm{r}}$ есть лапласиан Дирихле с нулевыми граничными условиями на $\Gamma \subset \Lambda$. Тогда оператор $C_{\infty}^{-1}=$ $=-\Delta_{\text {г }} \cup \partial \Lambda+m^{2} I$ в пространстве $L_{2}(\Lambda)$ есть лапласиан Дирихле с нулевыми граничными условиями и на $\Gamma$, как $C^{-1}$, и дополнительно на $\partial \Lambda$.
Предел Неймана. Пусть
\[
\left\langle f, C_{\lambda}^{-1} f\right\rangle=\left\langle f, C^{-1} f\right\rangle+\lambda \int_{\Lambda^{\prime}}|
abla f(x)|^{2} d x .
\]
Тогда существует предел $\lim _{\lambda \rightarrow \infty} C_{\lambda}=C_{\infty}$, и оператор $C_{\infty}$ соответствует (по крайней мере формально) граничным условиям Неймана на $\partial \Lambda$. В дальнейшем мы не будем использовать этот предельный переход.
