ГЛАВА 2. Модули

Зарождение теории модулей над кольцом или алгеброй связано с теорией представлений. Однако с развитием гомологической алгебры выяснилось, что сама теория модулей составляет хорошую основу для построения структурной теории колец и алгебр. Это побуждает нас начать изложение с главы о модулях. Особое внимание уделено полупростым модулям, поскольку они приводят к полупростым алгебрам, основным строительным блокам всей теории алгебр. Наиболее существенные темы, обсуждаемые в этой главе — это (1) решетка подмодулей модуля, (2) лемма Шура, (3) характеризация полупростых модулей (предложение 2.4), (4) строение полупростых модулей и теорема единственности, (5) внешняя характеризация конечно порожденных полупростых модулей.

§ 2.1. Замена кольца скаляров

Всюду в этой главе мы обозначаем через А некоторую нетривиальную -алгебру. (Унитальный модуль над тривиальной алгеброй состоит из нулевого элемента и не представляет интереса.) Необходимость упоминать о кольце R возникает редко, поскольку его роль в элементарных аспектах теории модулей незначительна. В частности, вместо -алгебра» мы будем говорить просто «алгебра».

Так как алгебра А не обязательно коммутативна, то нельзя естественным образом отождествлять левые и правые -модули. С другой стороны, теории левых и правых модулей идентичны, так что достаточно изложить одну из них. Мы в основном будем рассматривать правые -модули, и выражение -модуль» следует понимать как «правый -модуль». Иногда, особенно при рассмотрении бимодулей, нам понадобятся и левые модули.

Любая алгебра сама является и правым, и левым -моду-лем, причем умножение на скаляры определяется умножением в алгебре. Мы часто используем обозначения и с целью указать, что рассматривается как правый (соответственно

левый) -модуль. Подмодули модуля это в точности правые идеалы алгебры А. Поэтому все понятия и результаты, касающиеся подмодулей некоторого модуля, остаются в силе по отношению к правым и левым идеалам. Позднее (в гл. 10) мы покажем, что аналогичное замечание применимо и к двусторонним идеалам: -бимодули можно рассматривать как правые модули над «обертывающей алгеброй» алгебры и подбимодули бимодуля являются двусторонними идеалами.

Имеется весьма обстоятельная общая теория класса всех -модулей. Мы не будем систематически развивать эту тему, хотя многие категорные аспекты теории модулей прослеживаются в наших рассуждениях. Читатель, знающий теорию категорий, признает многих старых знакомых. Неискушенный же читатель не должен испытывать беспокойства, ибо категорные понятия будут вводиться только в конкретных формах.

Один из наиболее полезных при изучении алгебр приемов заключается в сопоставлении модулям над алгеброй модулей над родственной алгеброй В. В теории категорий такое сопоставление можно производить абстрактно, пользуясь понятием функтора. С этой целью в последующих главах мы будем использовать различные специальные функторы. Впрочем, один из наиболее полезных приемов такого сорта совершенно элементарен.

Пусть — гомоморфизм алгебр. Определим на правом -модуле скалярное умножение на элементы из по правилу для и Стандартная проверка показывает, что эта операция превращает в правый Л-мо-дуль. Мы будем обозначать с введенной таким путем структурой -модуля через (или, при необходимости, через

Имеется два важных частных случая функтора замены скаляров. Первый возникает в ситуации, когда алгебра является подалгеброй алгебры есть гомоморфизм вложения. Соответствие называется стирающим функтором. Второй важный случай возникает, когда для некоторого идеала и гомоморфизм проектирования. Тогда действие на -модуле задается соотношением

Лемма а. Пусть гомоморфизм алгебр, а правые -модули. Тогда имеют место следующие утверждения:

(ii) если то Нотл если гомоморфизм сюръективен, то

(iii) если подмодуль модуля то подмодуль модуля если гомоморфизм сюръективен, то множества всех подмодулей модулей совпадают.

Мы оставляем доказательства этих элементарных фактов в качестве упражнений.

Если — сюръективный гомоморфизм алгебр, то существует удобная характеризация -модулей вида где некоторый -модуль.

Определение. Пусть правый -модуль и X — подмножество в Аннулятором множества X в алгебре называется множество

Имеется очевидный аналог этого определения для левых -модулей.

Аннулятор обладает рядом простых свойств, которые мы зафиксируем для удобства дальнейших ссылок.

Лемма Пусть правые -модули, Тогда справедливы следующие утверждения:

(i) является правым идеалом алгебры если X — подмодуль модуля то

(ii) велечет за собой

(v) если правый идеал в А, то является наибольшим идеалом К алгебры А, содержащимся в

Свойства непосредственно следуют из определения аннулятора. Чтобы получить заметим, что в соответствии с является идеалом в который, очевидно, содержится в С другой стороны, если то для всех так что

Предложение. Пусть некоторые R-алгебры и сюръективный гомоморфизм. Если правый А-модуль, то правый -модуль такой, что существует в том и только том случае, когда

Доказательство. Ясно, что Обратно, если то соотношение задает корректно определенное умножение элементов из на скаляры из Наделенный этой операцией, -модуль становится -модулем и по определению

Это предложение особенно полезно, когда для некоторого идеала алгебры А. В этой ситуации -модуль получается из некоторого -модуля тогда и только тогда, когда Мы обычно не будем делать различия между -модулями и такими -модулями что -модуль называется точным, если

Следствие. Если 1 — идеал алгебры правый -мо-дуль, то точен как -модуль тогда и только тогда, когда

Доказательство. Очевидно,

Упражнения

(см. скан)