§ 20.7. Структурные теоремы

Результаты этого параграфа — высшая точка исследований всей главы. Теперь мы в состоянии показать, что представляют собой алгебры с полиномиальным тождеством. В первой части параграфа дано изложение теоремы Капланского-Амицура. Этот результат является краеугольным камнем теории полиномиальных тождеств. Опираясь на теорему Капланского — Амицура, мы докажем затем один результат, который найдет применение при изучении алгебр

Напомним, что F-алгебра А называется примитивной, если она обладает простым правым -модулем который является точным, т. е. из следует

Лемма а. Пусть А — примитивная F-алгебра, удовлетворяющая полиномиальному тождеству степени Предположим, что простой точный правый -модуль. Если то алгебра с делением,

Доказательство. В силу леммы Шура алгебра с делением. Пусть Тогда существуют линейно независимые над элементы Обозначим через подмодуль модуля Ясно, что -подалгебра алгебры По теореме плотности (см. § 122) отображение определенное правилом если сюръективно.

Стандартное вычисление показывает, что гомоморфизм алгебр. В силу предложения 20.1а алгебра и ее подалгебра удовлетворяют полиномиальному тождеству степени Это заключение противоречит следствию 20.3а, ибо Таким образом, и рассуждение, приведенное выше (где элементы образуют базис модуля показывает, что в этом случае изоморфизм, поскольку модуль точен.

Из этой леммы следует, что примитивная алгебра может удовлетворять нетривиальному тождеству только в том случае, когда она артинова. Теорема Капланского — Амицура усиливает этот вывод.

Теорема Капланского — Амицура. Пусть А — примитивная F-алгебра, удовлетворяющая полиномиальному тождеству степени Если центр алгебры А, то А — центральная простая -алгебра и

Доказательство. Пусть простой точный правый Л-мо-дуль. Обозначим через алгебру с делением Если а то эндоморфизм умножения справа принадлежит центру По лемме Цорна существует максимальное подполе К алгебры такое, что Положим и рассмотрим как правый -модуль. Поскольку простой -модуль, он также простой -модуль. Элементы из В являются эндоморфизмами модуля так что точный -модуль. Покажем, что Заметим сначала, что поскольку Если то Кроме того, для всех Следовательно, -подполе алгебры содержащее В силу максимальности Далее заметим, что согласно лемме 12.4а и предложению В частности, в силу предложения 20.2 и леммы 20.3а алгебра В удовлетворяет тождеству, степень которого не превосходит Следовательно, где Таким образом, Повторное применение леммы а завершает доказательство теоремы Капланского-Амицура.

Следствие. Пусть А — алгебра над полем такая, Если А удовлетворяет полиномиальному тождеству степени то существует инъективный гомоморфизм где расширение, и для всех гомоморфизм проекции отображает алгебру на алгебру

Доказательство. Пусть -множество максимальных правых идеалов алгебры Каждая алгебра примитивна и удовлетворяет полиномиальному тождеству степени По теореме Капланского — Амицура конечно, Пусть отображение, задаваемое по правилу Ясно, что гомоморфизм, тер

Лемма Пусть бесконечное поле и А -алгебра над такая, что Предположим, что алгебра А удовлетворяет полиномиальному тождеству. Если I — ненулевой идеал алгебры А, то

Доказательство. В силу следствия можно считать, что алгебра является подалгеброй в где каждая алгебра центральна и проста над расширением поля Из сюръективности гомоморфизма следует, что идеал простой алгебры а следовательно, или Так как то по крайней мере для одного Пусть Выберем нетривиальный -центральный полином с нулевым свободным членом. В силу выбора существуют элементы индекс такие, что ненулевой элемент поля Так как свободный член полинома равен нулю, то Доказательство будет завершено, если показать, что для всех поскольку Если то ясно, что Пусть тогда Если то тождество на алгебре в силу леммы В этом случае Если то полином централен для алгебры так что

Предложение. Пусть бесконечное поле и А — алгебра над полем удовлетворяющая полиномиальному тождеству степени Если А — область целостности, центр которой поле К, то алгебра с делением и

Доказательство. Пусть алгебра над полем F полиномов от переменной х с коэффициентами в А. Заметим, что Так как и алгебра

удовлетворяет полиномиальному тождеству степени то В также удовлетворяет полиномиальному тождеству степени Кроме того, В самом деле, если то степень полинома больше или равна 1. Следовательно, элемент необратим в В. Действительно, из того что Л— область целостности, следует, что так что В силу предложения Ввиду леммы каждый ненулевой идеал алгебры В содержит ненулевой элемент центра Если 1 — ненулевой идеал алгебры то ненулевой идеал алгебры В. Следовательно, Так как К — поле, то Это рассуждение показывает, что простая алгебра и, следовательно, примитивная. (Аннулятор произвольного простого -модуля всегда равен нулю.) Теперь предложение вытекает из теоремы Капланского — Амицура.

Упражнения

(см. скан)