ГЛАВА 6. Проективные модули над артиновыми алгебрами

При изучении строения алгебр нам встретились неразложимые модули весьма специального вида, а именно прямые слагаемые модуля . В частности, такие модули проективны.

Первые четыре параграфа настоящей главы содержат результаты о строении и классификации проективных модулей над артиновыми алгебрами. В последующих трех параграфах даются приложения проективных модулей к теории артиновых алгебр; одним из них и является обещанная структурная теорема. Ее доказательство следует общей схеме, развитой в гл. 3 в связи с изучением полупростых алгебр, однако получаемый результат гораздо менее удовлетворителен, чем структурная теорема Веддербёрна.

§ 6.1. Проективные модули

Имеются по крайней мере два способа определения проективных модулей. Мы изберем тот из них, который технически наименее сложен.

Определение. -модуль называется проективным, если он изоморфен прямому слагаемому свободного -модуля.

Из этого определения легко следует ряд свойств проективных модулей.

Предложение а. Пусть А — некоторая алгебра. Тогда имеют место следующие утверждения.

(i) каждый свободный -модуль проективен,

(ii) прямая сумма проективных модулей является проективным модулем

(iii) прямое слагаемое проективного модуля является проективным модулем.

Эти утверждения являются очевидными следствиями определения проективных модулей. Свойство поднятия гомоморфизмов проективного модуля не столь очевидно.

Предложение Пусть А — некоторая алгебра, а (правые или левые) -модули, причем модуль проективен. Тогда, если сюръективный гомоморфизм, то каждый гомоморфизм Ногпл пропускается через существует такой гомоморфизм что

Это предложение легче всего запомнить, представив его в виде коммутативной диаграммы

Другая формулировка предложения состоит в том, что индуцирует сюръективный гомоморфизм

Доказательство. Ввиду проективности существует свободный -модуль содержащий в качестве подмодуля, и такой гомоморфизм что Пусть X — базис В силу сюръективности прообраз непуст для всех Ввиду аксиомы выбора существует такое отображение что для всех Так как свободно порождается множеством X, то продолжается до гомоморфизма из Очевидно, Следовательно, положив получим

Следствие а. Пусть некоторые -модули, причем модуль проективен, : сюръективный гомоморфизм. Тогда где

Доказательство. В силу предложения существует гомоморфизм такой, что По лемме 5.4а

Доказательство этого следствия показывает, что любой модуль удовлетворяющий свойству поднятия из предложения проективен. В самом деле, возьмем в качестве свободный модуль, для которого существует сюръективный гомоморфизм тогда изоморфен прямому слагаемому модуля Следовательно, свойство поднятия гомоморфизмов из предложения является характеристическим для проективных модулей и поэтому часто используется в качестве их определения.

Следствие Пусть А — некоторая алгебра. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) алгебра А полупроста;

(ii) любой правый -модуль проективен.

Доказательство. Если алгебра А полупроста, то в силу предложения 3.lb любой правый -модуль изоморфен прямой сумме ее правых идеалов, а любой правый идеал алгебры согласно предложению 2.4, является прямым слагаемым модуля Таким образом, ввиду предложения а, любой правый -модуль проективен. Обратно, предположим, что каждый -модуль проективен. Если правый идеал в то из проективности и следствия а вытекает, что является прямым слагаемым модуля откуда ввиду предложения 2.4 следует полупростота модуля

Ввиду того что полупростота слева и полупростота справа эквивалентны, те же рассуждения показывают, что алгебра полупроста в том и только том случае, если любой левый -модуль проективен.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)