§ 1.6. Алгебры кватернионов

История ассоциативных алгебр начинается с открытия Гамильтоном в 1843 г. вещественных кватернионов. В этом параграфе мы введем алгебры кватернионов над произвольными полями, а затем выведем путем непосредственных вычислений некоторые из основных свойств этих алгебр. Большая часть результатов этого параграфа оказывается частными случаями общих теорем, которые будут доказаны в последующих главах. В § 1.7 мы установим один важный факт об алгебрах кватернионов, который не распространяется на общий случай.

Всюду в этом параграфе через F обозначается некоторое поле, характеристика которого не равна 2. Аналоги алгебр кватернионов над полями характеристики 2 определяются по-другому (см. упр. 2).

Определение. Пусть ненулевые элементы поля Обозначим через А четырехмерное пространство над F с базисом к и билинейным умножением, определяемым следующими условиями: 1 является единичным элементом и

В первых двух равенствах в (1) используется обычное отождествление поля F с множеством скалярных кратных единичного элемента. Если предположить, что умножение в А является ассоциативным, то из (1) легко получить недостающую часть таблицы умножения для А:

Обратно, структурные константы, определяемые равенствами (1) и (2) (а также соотношениями удовлетворяют условию так что А является ассоциативной -алгеброй.

Обозначения и терминология: алгебра А — называется (обобщенной) алгеброй кватернионов над

Алгебра гамильтоновых кватернионов получается как частный случай, а именно

Лемма. Для любых ненулевых алгебра является простой алгеброй с центром

Доказательство. Удобно ввести операцию коммутирования (скобку Ли), положив Если то в соответствии с (1) и (2)

В частности, если то так что Следовательно, Предположим, что 1 — ненулевой идеал алгебры Так как двусторонний идеал, содержащий то он также содержит тройные произведения Ли

Если хотя бы один из коэффициентов или отличен от 0, то содержит обратимый в А элемент; если же то элемент сам обратим. Во всех случаях

Произвольная F-алгебра А называется центральной, если Таким образом, алгебры кватернионов являются простыми центральными алгебрами. В § 13.1 мы покажем, что любая четырехмерная центральная простая алгебра над полем F характеристики является алгеброй кватернионов. Из общей теории будет также следовать, что любая алгебра кватернионов над полем F либо является алгеброй с делением, либо изоморфна Набросок доказательства этого факта содержится в упр. 2 к § 1.7. Следовательно, естественно задать вопрос: для каких из F алгебра является алгеброй с делением? Этот вопрос оказывается очень трудным для большинства полей, например для Заметим, однако, что эта проблема может быть переформулирована на языке квадратичных форм, для которых развита обширная теория.

Представим А — в виде где

Элементы из пространства называются чистыми кватернионами. Элемент, сопряженный к элементу где определим равенством При

За исключением свойства все эти равенства очевидны. Билинейность умножения позволяет свести доказательство того, что к конечному числу проверок для элементов Мы оставляем эту малоинтересную работу в качестве упр. 1.

Определим норму элемента равенством . Если то непосредственным вычислением получаем В частности,

В самом деле, согласно (3),

а равенство очевидно.

Предложение. Пусть алгебра кватернионов.

Тогда следующие условия эквивалентны,

(i) А является алгеброй с делением,

(iii) если тройка удовлетворяет условию то

Доказательство. Из (i) следует ибо согласно (4). В свою очередь (i) является следствием потому что при имеем

Если то Следовательно, из (ii) вытекает Наконец, (iii) влечет за собой В самом деле, предположим, что для норма равна 0, т. е. Тогда Условие (iii) дает следовательно, Отсюда вытекает, что откуда т. е.

На языке квадратичных форм условия нашего предложения означают, что квадратичные формы являются анизотропными.

Из этого предложения следует, что гамильтоновы кватернионы образуют алгебру с делением, ибо равенство для влечет за собой

Упражнения

(см. скан)