§ 20.3. Тождества центральных простых алгебр

Для обозначим через класс всех центральных простых F-алгебр А со свойством . В этом параграфе наше внимание будет сосредоточено на многообразии порожденном классом Будет удобно обозначать это многообразие через или в случае, если необходимо указать поле Наш главный результат состоит в том, что мнообразие порождается любой алгеброй в частности алгеброй Этот факт весьма полезен для исследования полиномиальных тождеств многообразия

Доказательство этого результата основано на сохранении полиномиальных тождеств при расширении поля скаляров алгебры. Самый простой случай этого явления имеет место для полилинейных тождеств.

Лемма а. Пусть X — подмножество F-алгебры А, такое, что Если равномерный полилинейный полином, такой, что для всех то алгебра А удовлетворяет тождеству

Доказательство. Если то из того, что следует существование элементов таких, что Для всех Из предположения о равномерности и полилинейности вытекает, что Поэтому алгебра А удовлетворяет тождеству

Аналогичный результат имеет место и для произвольных полиномов, но в этом случае необходимы более сильные ограничения на алгебру.

Лемма Пусть поле К является расширением бесконечного поля Предположим, что В — алгебра над К, а А является F-подалгеброй алгебры В, такой, что Пусть Тогда алгебра А удовлетворяет тождеству в том и только том случае, если этому тождеству удовлетворяет алгебра В.

Доказательство. Предположим, что алгебра В удовлетворяет тождеству Тогда так как алгебра А является подалгеброй алгебры В, то в силу предложения 20.1а она удовлетворяет тождеству Предположим, что А удовлетворяет тождеству Для произвольного натурального , переиндексируем некоторое подмножество переменных множества в виде и пусть множество переменных, коммутирующих между собой и со всеми Подставим в вместо у; сумму и представим полученный полином как сумму мономов относительно с коэффициентами из алгебры пусть

где суммирование ведется по всем последовательностям неотрицательных целых чисел, таких, что Покажем, что тождество на алгебре А. Пусть произвольные элементы из А. Для всех наборов мы имеем Поэтому

Поскольку F бесконечно, (см. упр. 1). Этот формальный результат позволяет сделать вывод о том, что алгебра В удовлетворяет тождеству Действительно, если то для подходящих будем иметь Следовательно,

Предложение. Если то

Доказательство. Если конечное поле, то все алгебры в изоморфны алгебре В этом случае предложение очевидно ввиду определения многообразия Предположим, что F бесконечно. Пусть К — алгебраическое замыкание поля В силу леммы

Следовательно,

Следствие а. то

Доказательство. Так как то достаточно доказать, что алгебра не удовлетворяет тождеству если Если это не так, то в силу следствия 20.2 алгебра удовлетворяет равномерному полилинейному тождеству степени где сумма распространена на все перестановки множества Мы можем считать, что Определим гомоморфизм такой, что если если Ввиду такое задание образов возможно. Ясно, что или С другой стороны, если то где Следовательно, гомоморфизм отображает все мономнальные слагаемые полинома в нуль, исключая моном Это приводит к противоречив) (или

Следствие

Доказательство. Если то поскольку алгебра гомоморфный образ подалгебры алгебры (см. упр. 2). Следовательно, в силу предыдущего предложения. Тот факт, что эти включения строгие, вытекает из теоремы Амицура — Левицкого и следствия а.

Упражнения

(см. скан)