§ 14.5. Инфляция

Ввиду следствия 13.5 группа Брауэра является объединением относительных групп Брауэра по всем расширениям Галуа В свою очередь относительные группы Брауэра можно отождествить с группами когомологий. Чтобы связать полную группу Брауэра с набором этих групп когомологий, необходимо иметь интерпретацию отображений вложения которые возникают, если и являются расширениями Галуа. Эти отображения вложения соответствуют гомоморфизмам инфляции. Этой теме и посвящен настоящий параграф.

Полезно зафиксировать обозначения для этого параграфа. Пусть расширения Галуа, и Тогда группы Галуа будем обозначать соответственно через

Отображение ограничения является сюръективным гомоморфизмом который следующим образом индуцирует гомоморфизм где Простое вычисление показывает, что это отображение коммутирует с кограничным: Таким образом, индуцированное отображение переводит Следовательно, оно в свою очередь индуцирует гомоморфизм группы который называется отображением инфляции и обозначается (или, если это необходимо, явном виде он задается формулой где

Предложение. Если гомоморфизм вложения, то т. е. диаграмма

коммутативна.

Пусть тогда Наше предложение эквивалентно

следующему утверждению: . Положим где множество удовлетворяет условиям леммы строго максимальное подполе алгебры В. Пусть Тогда поскольку Предложение будет доказано, если мы вложим и сумеем построить множество удовлетворяющее условию 14.1(1) и условию для всех

Лемма. Пусть действует на алгебре по формуле Существуют инъективный гомоморфизм -алгебр и отображение такие, что

Доказательство. Зафиксируем базис пространства и определим с помощью равенств Стандартное вычисление показывает, что X — гомоморфизм -алгебр и имеют место соотношения Вычисления можно упростить, если использовать некоторые общие соображения. Заметим сначала, что является -бимодулем и точным циклическим правым -модулем (относительно матричного умножения) с образующей Отображения можно охарактеризовать с помощью равенств Следовательно, что приводит к утверждению и что влечет за собой Так как то из (i) вытекает, что

Доказательство предложения. Пусть отображения, определенные в лемме. Так как то X можно рассматривать как вложение поля в алгебру Поскольку X является гомоморфизмом -алгебр, то группа Галуа действует на по правилу Чтобы избежать путаницы с обозначениями, которые были введены в лемме, мы не будем обозначать через элемент этим обозначениям в доказательстве придается различный смысл. При пусть произведение скаляра на матрицу т. е. Из леммы следует, что

Значит,

Упражнения

(см. скан)