§ 15.4. Характеризация циклических алгебр с делением

Задача характеризации циклических алгебр с делением важна и интересна. Она не имеет вполне удовлетворительного решения, но в этом параграфе мы получим частичную характеризацию циклических алгебр с делением в терминах их максимальных подполей.

Лемма. Если циклическая алгебра с делением степени то полином а неприводим в кольце содержит строго максимальное подполе К, которое как F-алгебра изоморфно полю

Доказательство. В обозначениях § 15.1 будем иметь где элемент и удовлетворяет условию Таким образом, и — корень полинома Следовательно, полином а неприводим.

Стоит заметить, что даже если система элементов линейно независима над то полином не обязательно неприводим над Арифметика полиномов над алгебрами с делением не является прямым обобщением арифметики полиномов над полем.

Необходимы некоторые дополнительные предположения, чтобы доказать утверждение, обратное приведенной выше лемме. Его легко получить, если поле F содержит корни подходящей степени из 1. В следующем параграфе мы покажем, что для алгебр с делением простой степени без этого предположения можно обойтись.

Предложение. Пусть поле, характеристика которого не является делителем натурального числа Предположим, что примитивный корень степени из 1 принадлежит Пусть — алгебра степени Если элемент обладает тем свойством, что полином а неприводим и алгебра А содержит подполе, изоморфное то она циклична.

Доказательство. Если подполе в А, изоморфное полю то ввиду неприводимости полинома Таким образом, поле строго максимально в Из теории Куммера вытекает, что циклическое расширение. Следовательно, алгебра циклична.

Алгебры, удовлетворяющие условию этого предложения, легко поддаютая описанию. Подполе алгебры имеет вид где Группа Галуа расширения порождается автоморфизмом а, определяемым условием

где примитивный корень степени из 1. Если такой элемент, что то Эти замечания приводят к следующим соотношениям:

Обратно, если полином а неприводим, то -алгебра, определенная условиями (1), (2) и (3), является центральной простой и циклической.

Алгебры, определяемые условиями (1), (2) и (3), являются обобщением алгебр кватернионов. Действительно, если то алгебра А совпадает с Это замечание служит мотивировкой использования обозначения для алгебр, определенных условиями (1), (2) и (3).

Если полиномы оба неприводимы, Пользуясь обозначениями для циклических алгебр, получим Если алгебра с делением, то в силу предыдущей леммы полином должен быть неприводим.

Упражнения

(см. скан)