§ 18.7. Образ отображения INV

В этом параграфе мы завершим доказательство теоремы 18.5. Нам осталось показать, что образ отображения INV совпадает с ядром у. Доказательство будет проведено в два приема: сначала мы докажем, что если то а затем что для элемента удовлетворяющего условию существует алгебра такая, что для всех нормирований Доказательство этих утверждений использует закон взаимности Артина и теорему плотности Чеботарева.

Начнем с закона взаимности Артина. Пусть поле алгебраических чисел. Группой иделей поля F называется подгруппа произведения состоящая из всех последовательностей таких, что для почти всех На группе имеется топология, определяемая в терминах у-топологий сомножителей Мы не будем давать ее определения, поскольку формулировка закона взаимности никак с ней не связана. Если то для почти всех нормирований ввиду формулы произведения. Следовательно, диагональное отображение вкладывает группу как подгруппу в группу Эту подгруппу мы также будем обозначать через

Пусть К — поле алгебраических чисел, содержащее поле Если причем то поле можно рассматривать как подполе поля Отображение нормы из будет сокращенно обозначаться через Отображения индуцируют гомоморфизм по правилу

Действительно, если для всех нормирований делящих то в силу 17.9(1). Мы уже видели, что если расширение Галуа, то пополнения одинаковы для всех делителей нормирования Следовательно, множество зависит только от нормирования Мы будем обычно писать вместо для множества в случае, когда расширение Галуа.

Закон взаимности Артина. Пусть абелево расширение, причем поля алгебраических чисел. Тогда существует гомоморфизм такой, что последовательность

точна.

Имеется несколько причин, по которым эта теорема называется «законом взаимности». Упражнение 1 показывает, что классический квадратичный закон взаимности является частным случаем закона взаимности Артина.

Гомоморфизм называется отображением Артина. Нам потребуются некоторые сведения об этом отображении для вычисления его в нескольких частных случаях. Результаты, которые нам потребуются, получаются непосредственно из определения а.

Ограничения гомоморфизма а на компоненты группы задают локальные отображения Артина такие, что если Пусть расширение неразветвлено и тогда в силу леммы этого замечания и предположения об абелевости вытекает, что корректно определенный гомоморфизм группы в группу Таким образом, это определение восстанавливает гомоморфизм а: отображение Артина является копроизведением локальных отображений Артина. Следовательно, для определения отображения Артина а достаточно описать все отображения Мы проделаем это в двух случаях: дискретное нормирование и расширение неразветвлено относительно архимедово, циклическое расширение и

Предположим, что нормирование дискретно и Пусть значение показателя элемента относительно нормирования равно I, т. е. где униформизующая. Тогда локальное отображение Артина относительно определяется по формуле Как и в § 18.3, обозначает автоморфизм Фробениуса расширения соответствующий нормированию

Пусть циклическое расширение степени нормирование архимедово и Тогда число четно, поскольку степень делит степень В этом случае определяется как единственный нетривиальный гомоморфизм группы в группу ядро которого совпадает с Если то для для

Лемма. Пусть циклическое расширение, причем поля алгебраических чисел, Элементы группы действуют как эндоморфизмы на группе по правилу Пусть Тогда в следующих случаях: дискретное нормирование и нормирование архимедово.

Доказательство. Предположим, что нормирование и дискретно Согласно следствию где Как автоморфизм так и автоморфизм являются образующими группы разложения Следовательно, при подходящем целом числе взаимно простом с Согласно следствию 15.1а, Обозначим через показатель элемента а в поле Если униформизующая, то, согласно лемме в силу леммы 15.1. Сравнивая последнюю эквивалентность с определением отображения из § 17.10, замечаем, что Описание локального отображения Артина, соответствующего дискретному неразветвленному нормированию, показывает, что что Если то Если то тогда и только тогда, когда а Если то Из описания гомоморфизма для неразветвленного нормирования вытекает, что если если

Предложение а. Пусть поле алгебраических чисел и Тогда

Доказательство. По геореме Грюнвальда — Ванга и следствию существует циклическое рисширение такое, что расщепляет алгебру для всех дискретных нормирований обладающих свойством На основании теоремы 13.3 мы можем считать, что где Если то в силу леммы В этом случае Согласно лемме и закону взаимности Артина, получаем Следовательно,

Для завершения доказательства теоремы 18.5 нам потребуется ослабленный вариант теоремы плотности Чеботарева. Эта теорема является обобщением теоремы Дирихле о существовании простых чисел в арифметических прогрессиях (см. упр. 2). Она также заостряет внимание на сюръективности отображения а в законе взаимности.

Теорема плотности Чеботарева. Пусть абелево расширение, причем поля алгебраических чисел. Если то существует бесконечно много дискретных нормирований поля таких, что

Предложение Пусть поле алгебраических чисел. Если элемент удовлетворяет условию то для некоторой алгебры

Доказательство. Пусть Для нормирования положим где и Если то нормирование вещественно и Согласно теореме Грюнвальда — Ванга, существует циклическое расширение полей алгебраических чисел, такое, что числа делят для всех нормирований для всех дискретных Пусть группа порядка Если нормирование дискретно, то ввиду теоремы 17.10 циклическая -алгебра с требуемым инвариантом существует, т. е. существует элемент такой, что Как и в доказательстве предложения а, получаем где Взаимная простота чисел влечет за собой существование элемента такого, что Поэтому и

Для архимедова нормирования равенство (1) получается непосредственно, если положить В этом случае Согласно теореме плотности Чеботарева, существует дкекретное нормирование с униформизующей такое, что Определим следующим образом элемент для в противном случае. По построению Следовательно, существует элемент а со свойством

для всех нормирований Пусть Если то в силу леммы 15.1

Для нормирования из (1) и (2) следует, что В случае когда имеем Наконец, ввиду предложения а и равенства получаем Следовательно, что и требовалось.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

Замечания к гл. 18

Первоисточником результатов этой главы является классическая статья [40] Хассе, Брауэра и Нётер. Ее расширенный вариант приведен в книге Дойринга [26].

В § 18.4 и 18.6 мы почти полностью следовали работе Алберта [3]. Наше изложение теории групп Брауэра полей алгебраических чисел аналогично изложению Райнера в его книге [66]. Мы старались более полно, чем это сделано у Райнера или Дойринга, отразить значение теории полей классов в доказательствах основных теорем об алгебрах с делением над полями.

Вполне доступное изложение теории полей классов полей алгебраических чисел имеется в книге [56] Ленга. Изложение теории полей классов на когомологической основе дано в [22] и в книге Артина — Тейта [10]. Теорему 18.5 можно легко получить, используя строение некоторых групп когомологий. Всякий, кто хорошо знаком с теорией полей классов, сможет легко разобрать доказательство теоремы Грюнвальда — Ванга, изложенное в книге Артина и Тейта; большинство других доказательств этого результата менее прозрачно.