§ 15.3. Примарное разложение циклических алгебр

В § 14.4 было доказано, что всякая алгебра с делением однозначно представима в виде тензорного произведения алгебр с делением, степени которых имеют вид где простое число. Чтобы эффективно использовать этот результат, необходимо знать, как свойства алгебры связаны с соответствующими свойствами ее тензорных сомножителей. В этом параграфе мы доказываем, что алгебра с делением циклична в том и только том случае, когда ее примарные компоненты цикличны.

Для этого нам потребуется дополнить результаты о линейно разделенных расширениях полей из § 14.7. Следующая лемма

есть более общее утверждение, чем это здесь необходимо. Однако позднее в § 15.5 оно будет использовано в полной общности.

Лемма а. Пусть конечные сепарабельные расширения и подполя алгебраического замыкания поля Тогда имеют место следующие утверждения:

(i) Если степени взаимно просты, то поля линейно разделены над F.

(ii) Если расширения Галуа и линейно разделены над то расширение Галуа и .

(iii) Пусть расширение Галуа, и К — поле неподвижных элементов относительно группы поле неподвижных элементов относительно группы Тогда поля линейно разделены над полем расширения Галуа и

Доказательство. Утверждение (i) следует из соотношений В силу примера 9.2 и следствия 9.3а отображение определенное по правилу инъективно. Простое вычисление с тензорами ранга 1 показывает, что и что является гомоморфизмом групп. Таким образом, Следовательно, расширение Галуа, а отображение изоморфизм. Утверждение легкое следствие из теории Галуа: так что расширения Галуа с группами Галуа соответственно; -автоморфизмы поля оставляющие неподвижными элементы поля принадлежат группе так что и из вытекает

Лемма Пусть циклические расширения с группами Галуа соответственно. Предположим, что взаимно просто с запишем где Если то .

Доказательство. Ввиду леммы расширение Галуа с группой Галуа Поскольку порядки тип автоморфизмов взаимно просты, группа циклическая с образующей Пусть, как и в предложении 15.1а,

Тогда

для . Следовательно,

Предложение. Если — алгебры взаимно простых степеней, то алгебра В циклична в том и только том когда цикличны и А, и В.

Доказательство. Пусть для подходящих целых чисел Предположим, что где а Заметим, что причем изоморфизм задается отображением Пусть К — поле неподвижных элементов относительно автоморфизма поле неподвижных элементов относительно По лемме а Кроме того, от, согласно следствию 15.1а. В силу леммы Так как то в силу предложения в группе имеют место равенства

Аналогично, В силу предложения так что алгебры циклические. Обратно, если цикличны, то ввиду лемм циклична и алгебра

Следствие. Центральная алгебра с делением является циклической в том и только том случае, когда цикличны ее примарные компоненты.

Упражнения

(см. скан)