§ 15.6. Алгебры с делением степени три

Алгебра с делением степени два всегда является циклической, поскольку сепарабельные квадратичные расширения всегда цикличны. В этом параграфе мы докажем, что всякая алгебра с делением степени три циклична. Этот результат — еще один фрагмент фундаментального вклада Веддербёрна в теорию ассоциативных алгебр.

Теорема. Если алгебра с делением степени три, то циклическая алгебра.

Мы докажем этот результат для полей характеристика Которых не равна 3. Набросок доказательства для случая содержится в упр. 2.

Ввиду следствия 15.5 достаточно показать, что алгебра обладает полем разложения вида где Такое поле разложения будет найдено среди подполей алгебры где квадратичное расширение поля такое, что алгебра циклична. Приступим к подробному доказательству.

Пусть -максимальное сепарабельное подполе алгебры!). Ввиду предложения 13.5 оно строго максимально в т. е. Поскольку расширение сепарабельно, то существует элемент такой, что Кроме того, элемент можно выбрать так, что его минимальный полином над F имеет вид так как Пусть поле разложения полинома над содержащее положим Мы можем предполагать, что группа неабелева; в противном случае циклическое расширение и доказательство закончено. Следовательно, есть группа всех перестановок корней полинома Пусть и образующая (нормальной) силовской -подгруппы группы Тогда где автоморфизмы имеют порядки два и три соответственно и тот Пусть поле неподвижных элементов автоморфизма 0. Тогда расширение Галуа степени Ясно, что так что и корнями полинома являются элементы В частности,

и

Алгебра является циклической, поскольку она содержит в качестве строго максимального подполя а расширение циклично. Итак, где для всех Положим Так как то ясно, что при всех Следовательно, с для всех Поэтому если то для всех элементов мы имеем поскольку из вытекает, что Ввиду этих замечаний и предложения 15.1а «получаем

Положим Прямое вычисление с использованием соотношений (1), (2), (3) и (4) показывает, что где Кубический полином а неприводим над полем . В противном случае поскольку расширение Галуа. Из равенств (3) и (4) вытекает, что Однако последнее соотношение противоречит (3), так как корни полинома различны. Таким образом, строго максимальное подполе в алгебре так что ее поле разложения. Поскольку то в силу предложения 13.4 поле расщепляет алгебру Таким образом, в силу следствия 15.5 алгебра циклична.

Следствие. Если алгебра с делением степени шесть, то она — циклическая алгебра.

Следствие вытекает из предыдущей теоремы и следствия 15.3 в случае Случай, когда рассматривается с помощью упр. 2.

Упражнения

(см. скан)