§ 5.6. Неразложимые и неприводимые представления

Если представления алгебры степеней соответственно, то их прямой суммой называется отображение определяемое так:

Очевидно, что является представлением степени

Представление алгебры называется неразложимым, если оно не может быть записано в виде прямой суммы двух представлений (положительных степеней). Теорему Крулля — Шмидта можно сформулировать на языке теории представлений, где она играет важную роль. Удобно вначале привести следующее утверждение.

Лемма а. Пусть — представления алгебры А. Тогда

Доказательство. Ясно, что задает изоморфизм -пространств

причем операции умножения на скаляры определены в этих модулях таким образом, что это отображение оказывается изоморфизмом модулей.

Предложение a. (i) Представление 6 алгебры А является неразложимым в том и только том случае, когда -модуль неразложим;

(ii) любое представление 6 алгебры А эквивалентно конечной прямой сумме неразложимых представлений-,

(iii) если причем представления неразложимы, то и существует такая перестановка а, что для всех

Доказательство. Если то в силу леммы а, так что модуль не является неразложимым. Обратно, если то, согласно предложению для подходящих представлений Ввиду леммы а и следствия 5.5а имеем т. е. представление 6 не будет неразложимым. Для доказательства (ii) заметим, что модуль является конечномерным векторным пространством, и поэтому он артинов и нётеров. Согласно предложению 5.1, существует разложение вида где конечномерные неразложимые -модули. В силу предложения 5.5 существуют такие представления алгебры что Следовательно, как и выше, заключаем, что Ввиду утверждения (i) каждое представление является неразложимым. Утверждение (iii) о единственности получается теперь из (i) и следствия 5.4а: из того, что вытекает, что причем все слагаемые являются неразложимыми модулями; таким образом, (а следовательно, в силу следствия 5.5а) для подходящей перестановки а.

Нулевая матрица (подходящего размера) сплетает любые представления алгебры причем для некоторых пар представлений это единственная матрица с таким свойством.

Предложение Пусть некоторое представление F-алгебры А. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) эквивалентно такому представлению алгебры А, что для всех матрица имеет вид

где представления алгебры

(ii) существуют представление алгебры А степени и ненулевая сплетающая матрица ;

(iii) модуль не является простым.

Доказательство. Если выполняется то выполняется и ибо можно положить В самом деле, если и нулевая матрица размера то матрица сплетает Так как то существует ненулевое сплетение Предположим, что выполняется В силу предложения 5.5 отображение является ненулевым гомоморфизмом. Если предположить, что модуль прост, то по лемме Шура инъективен, так что в силу что противоре чит предположению. Таким образом, из (ii) следует Если модуль не является простым, то он содержит ненулевой собственный подмодуль Выберем в базис как -пространства таким образом, чтобы элементы образовывали базис Таким образом, Определим отображение посредством равенства Доказательство предложения 5.5 показывает, что является представлением алгебры причем Следовательно, согласно следствию 5.5а. так что по определению Так как то при Другими словами, имеет вид

подходящие отображения. Легкое вычисление, использующее тот факт, что является представлением, показывает, что также представления.

Представление 8 алгебры называется неприводимым, если оно удовлетворяет отрицаниям условий (i), (ii) и (iii) предложения В частности, представление неприводимо в том и только том случае, когда модуль прост.

Нам понадобится еще одна характеризация простых модулей. Этот результат справедлив для всех -алгебр.

Лемма Пусть правый -модуль. Если модуль прост, то неразложим. Если алгебра А артинова слева или справа, то имеет место и обратное: если неразложим, то прост.

Доказательство. Если модуль прост, то в силу следствия 4.lb имеем Неразложимость очевидна. Для доказательства обратного утверждения заметим, что, согласно предложению 2.1, можно рассматривать как -модуль. Предположение об артиновости обеспечивает полупростоту алгебры следовательно, модуль полупрост ввиду предложения Так как также неразложим, то он прост согласно следствию

Следствие а. Если F-алгебра А полупроста, то ее неразложимые представления совпадают с неприводимыми.

Следствие Пусть А — артинова справа F-алгебра. Тогда число классов эквивалентности неприводимых представлений алгебры А совпадает с числом слагаемых в разложении в прямую сумму простых алгбер.

Доказательство. По лемме существует взаимно однозначное соответствие между классами изоморфизма простых Л-мо-дулей и классами изоморфизма простых -модулей. Если где каждая алгебра Л,- проста, то, согласно предложению и лемме 3.2а, каждый простой -модуль изоморфен минимальному правому идеалу одной из алгебр Согласно предложению З.ЗЬ, все минимальные правые идеалы в изоморфны, в то время как при минимальные правые идеалы алгебр неизоморфны. Поэтому следствие вытекает из предложения

Следствие с. Пусть алгебраически замкнутое поле и конечномерная F-алгебра. Тогда число неприводимых представлений алгебры А равно

Доказательство. Согласно следствию

Число и есть (см. упр. 1 к § 3.6).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

Замечания к гл. 5

Наш подход к изложению теоремы Крулля — Шмидта считается классическим в теории колец; впервые он был предложен Адзумаей. Мы совсем не затронули подход Оре, основанный на теории решеток. В последние годы проводились обширные исследования по обобщению теоремы Крулля — Шмидта, однако последнее слово здесь, вероятно, еще не сказано. Два последних параграфа этой главы разъясняют сделанные ранее замечания о тесной связи между теорией представлений групп и ассоциативными алгебрами. Материал этих параграфов фактически сводится к пояснению понятий.