ГЛАВА 11. Когомологии алгебр

Мы подошли к очередному этапу построения теории ассоциативных алгебр. На этот раз речь пойдет об аппарате теории когомологий алгебр. Следует предупредить читателя, что в первых пяти параграфах этой главы преобладают определения, а не теоремы. Однако, как мы увидим в гл. 14, когомологии ассоциативных алгебр играют важную роль при изучении центральных простых алгебр. В этой главе теория когомологий используется, чтобы дать изящное доказательство основной теоремы Веддербёрна — Мальцева, одного из краеугольных камней теории ассоциативных алгебр. Глава завершается обсуждением этой теоремы с точки зрения общей теории ассоциативных алгебр. Получаемые при этом факты о расширениях позволяют нам сформулировать результаты гл. 8 более естественным образом.

Тем читателям, которые испытывают неприязнь к диаграммному поиску и «абстрактной чепухе», мы советуем лишь просмотреть первую часть этой главы. Одно из достоинств когомологий состоит в том, что их использование основывается на небольшом количестве свойств. Для большинства приложений достаточно четырех утверждений из § 11.2 и интерпретации первой группы когомологий из § 11.5. Знакомства с этими результатами заведомо достаточно для понимания тех мест в этой книге, где используются когомологии.

§ 11.1. Когомологии Хохшильда

В этом параграфе даются определения, лежащие в основе теории когомологий ассоциативных алгебр. Как обычно, через А обозначается некоторая -алгебра. Буквами будут обозначаться -бимодули.

Отображение называется полилинейным, если оно -линейно по каждой компоненте, т. е. для всех Если полилинейные отображения из то

отображения также полилинейны. Таким образом, множество всех полилинейных отображений из в является -модулем относительно данных операций сложения и умножения на скаляры. Мы будем обозначать этот модуль через или в зависимости от того, какая информация заложена в контексте. Удобно отождествлять с (Это естественным образом согласуется с нашей договоренностью считать одноэлементным множеством Таким образом, модули определены для всех неотрицательных целых чисел Элементы из называются -коцепями на А со значениями в

Если -гомоморфизм -бимодулей, то индуцирует гомоморфизм -модулей определяемый формулой При таком определении, очевидно, выполняется условие которое необходимо для того, чтобы соответствие было функтором.

Для можно дать другое определение. Обозначим через тензорное произведение экземпляров алгебры А, рассматриваемой как -модуль. Определим формулой Несложная индукция по показывает, что отображение является полилинейным, множество порождает как -модуль и обладает свойством универсальности относительно полилинейных отображений т. е. если отображение полилинейно, то существует такой гомоморфизм что для всех Другими словами, отображение является изоморфизмом -модулей. Следовательно, можно перенести свойства на используя изоморфизм Законность этого приема базируется на том обстоятельстве, что является функториальным изоморфизмом, т. е. если -гомоморфизм Р-модулей, то диаграмма

коммутативна. В самом деле,

Конструкция модуля коцепей не использует ни структуру алгебры на А, ни структуру бимодуля на Для получения теории когомологий, однако, нужен кограничный оператор, в определении которого мультипликативная структура играет основную роль.

Определение а. Кограничным гомоморфизмом называется отображение из определяемое следующим образом:

Для нас при изучении алгебр наибольшее значение будут иметь частные случаи этого определения, когда и 2. Для удобства выпишем в явном виде выражения для кограничных гомоморфизмов

Лемма. Для всех является гомоморфизмом из в (как R-модулей), причем Кроме того, если гомоморфизм -бимодулей, то коммутативна следующая диаграмма:

Доказательство. Ясно, что отображение полилинейно, так что переводит Очевидно также, что является гомоморфизмом -модулей. Коммутативность диаграммы устанавливается путем стандартных вычислений, использующих предположение о том, что гомоморфизм бимодулей. Доказательство того, что требует утомительных вычислений. Если то Если то в результате вычислений для получается

выражение в виде суммы, дважды содержащей каждый из следующих членов, входящих один раз с коэффициентом 1, другой — с коэффициентом —1:

Таким образом, данная сумма равна 0. Мы рекомендуем читателю проделать эти вычисления с бумагой и карандашом в руках, ибо тогда они приобретают большую убедительность, чем будучи просто напечатанными в тексте. Короче говоря, мы оставляем эти вычисления в качестве упражнения.

Определение Положим для Тогда модулем когомологий Хохшильда алгебры А с коэффициентами в бимодулем называется фактормодуль

Это определение имеет смысл, ибо, согласно предыдущей, лемме,

Как и в случае мы будем использовать символы или или или для обозначения модулей и когда это не приводит к недоразумениям. Элементы из называются соответственно -коциклами, -кограницами и классами -когомологий.

Если -гомоморфизм бимодулей, то, как следует из леммы, отображение переводит коциклы в коциклы, а кограницы — в кограницы. Эти рассуждения доказывают первую часть следующего предложения, его вторая часть вытекает из замечания перед определением а; третья часть очевидна.

Предложение. Пусть гомоморфизмы -бимодулей. Определим формулой

Тогда выполняются следующие утверждения:

(i) является гомоморфизмом R-модулей;

На языке теории категорий данное предложение утверждает, что является ковариантным функтором из категории -бимодулей в категорию -модулей. В последующих четырех параграфах будут установлены основные свойства последовательности функторов

Если групповая алгебра, или, более общо, свободный -модуль с базисом X, который замкнут относительно умножения, то когомологии можно получить более экономичным путем по сравнению с конструкцией из определения Отобразим по правилу -Если определить на структуру -модуля, используя покомпонентные операции, это отображение становится гомоморфизмом. Ввиду полилинейности из того, что следует, что Наконец, из предположения о том, что X образует R-базис алгебры вытекает, что любое отображение из в единственным образом продолжается до полилинейного отображения в Следовательно, отображение ограничения индуцирует изоморфизм Ввиду того что X замкнуто относительно умножения, определение а позволяет определить кограничный гомоморфизм из Очевидно, что отображение ограничения переводит коциклы в коциклы, а кограницы — в кограницы. Таким образом, мы можем рассматривать классы -когомологий как классы отображений удовлетворяющих условию В частности, если множество X конечно, кольцо R нётерово, а бимодуль конечно порожден как -модуль, то, как легко видеть, модули когомологий конечно порождены.

Упражнения

(см. скан)