§ 6.2. Гомоморфизмы проективных модулей
В этом параграфе мы исследуем связь между гомоморфизмами 
-модуля 
-модуль 
и гомоморфизмами 
-модуля 
Если алгебра 
артинова, а модули 
проективны, то эта связь в действительности очень тесная.
Результаты § 2.1 показывают, что фактормодули 
и 
можно рассматривать и как 
-модули, и как 
-модули. Поскольку
то мы можем выбирать ту алгебру скаляров, которая нам удобнее.
Пусть 
некоторая 
-алгебра и 
ее произвольный идеал. Тогда отображение 
продолжается до функтора из категории правых 
-модулей в категорию правых 
-модулей. Действительно, если 
гомоморфизм 
-модулей, то 
Следовательно, существует единственный гомоморфизм 
-модулей 
такой, что 
где 
проекции 
и 
Отображение 
не только функториально, но и является гомоморфизмом 
-модулей.
Лемма а. Для всех пар 
правых 
-модулей существует R-модульный гомоморфизм 
такой, что 
Если 
и 
то 
В частности, 
является гомоморфизмом R-алгебры 
в R-алгебру 
Доказательство этой леммы оставляется в качестве упражнения (см. упр. 1).
Лемма 
Сохраним предположения и обозначения леммы а. Тогда если модуль 
проективен, то гомоморфизм 
-> Ношл/у 
сюръективен.
Доказательство. Рассмотрим 
Тогда ввиду проективности 
и сюръективности гомоморфизма 
из предложения 
вытекает существование гомоморфизма 
-модулей 
такого, что диаграмма
коммутативна. По определению 
Предложение. Пусть 
артинова справа алгебра и 
проективный правый 
-модуль. Тогда функтор 
индуцирует изоморфизм
Кроме того, если 
то 
для всех 
Доказательство. Для упрощения обозначений будем писать 
вместо 
. А вместо 
и 
вместо 
Согласно леммам 
гомоморфизм 
-алгебр 0: Ел 
является сюръекцией. Пусть 
тогда 
Применяя это соотношение 
раз, получим 
для любого 
Таким образом, каждый элемент из 
нильпотентен, так что 
в силу следствия 
Остается показать, что 
Ввиду полупростоты алгебры 
модуль 
согласно предложению 
также полупрост, так что 
в соответствии в примером 4.3. Последнее означает, что 
откуда 
по лемме 
Следствие. Пусть А — артинова справа алгебра. Проективные правые 
-модули 
изоморфны в том и только том случае, если изоморфны фактормодули 
Доказательство. Если 
изоморфизм, то из функториальности 
вытекает, что 
Следовательно, 
Обратно, если 
то существуют гомоморфизмы 
такие, что — 
Согласно предложению 
так что 
обладает левым обратным. Аналогично показывается, что 
обладает правым обратным. Таким образом, 
изоморфизм.
