§ 6.7. Тип алгебры

Теорема Крулля — Шмидта сводит проблему классификации конечно порожденных модулей над артиновыми алгебрами к изучению неразложимых модулей. К сожалению, исследование таких модулей связано с громадными трудностями. В этом параграфе мы покажем, что для «большинства» артиновых алгебр число классов изоморфизма конечно порожденных неразложимых модулей бесконечно.

Говорят, что артинова справа алгебра имеет конечный тип) (или является алгеброй конечного типа), если число классов изоморфизма конечно порожденных неразложимых правых -модулей конечно. В противном случае имеет бесконечный

тип. В силу следствий каждая полупростая алгебра имеет конечный тип. В следующей главе будет дано несколько примеров алгебр, которые имеют конечный тип, но не являются полупростыми. Однако, как показывает следующий результат, такие алгебры являются исключительными.

Теорема. Пусть А — артинова справа алгебра конечного типа. Тогда решетка идеалов алгебры А дистрибутивна.

Эта теорема выводится из одной леммы, в которой даны достаточные условия того, что артинова справа алгебра А обладает неразложимыми модулями произвольно большой длины. Используя предложение из § 2.2, мы покажем, что условия этой леммы выполняются, если решетка не является дистрибутивной. Предварительно установим одну лемму, выделяющую структурный аспект основной конструкции.

Лемма а. Пусть артиновы справа R-алгебры, причем алгебра В локальна. Предположим, что ненулевой -бимодуль, который конечно порожден и проективен как -модуль. Пусть также собственный подбимодуль в Тогда справедливы следующие утверждения.

(i) множество является В-бимодулем и подалгеброй в

если С содержит идеал I, все элементы которого ниль-потентны, причем то алгебра С локальна, а -модуль неразложим.

Доказательство. Утверждение (i) очевидно. В силу предложения 5.2 для доказательства локальности алгебры С в условиях достаточно показать, что для включение имеет место тогда и только тогда, когда Если обратимый элемент, то причем лежит в следовательно, нильпотентен. Поэтому а значит, и -обратимые элементы. Обратно, если то элемент обратим. В частности, х ненильпотентен и потому ввиду того, что алгебра В локальна и артинова. Чтобы установить неразложимость модуля обозначим через гомоморфизм проекции. Если то что эквивалентно включению Таким образом, существует единственный элемент со свойством Легко проверить, что отображение является гомоморфизмом алгебр. Кроме того, сюръективен: для каждого существует такой, что проективен, а сюръективен); при этом из вытекает включение т. е. Согласно лемме 4.3Ь

имеем Следовательно, факторалгебра является нетривиальным (ввиду того, что гомоморфным образом алгебры которая в силу локальности С является алгеброй с делением. Таким образом, алгебра локальна, так что модуль неразложим.

Теперь у нас имеется все необходимое для доказательства леммы о существовании.

Лемма Предположим, что артинова справа алгебра А содержит главный неразложимый правый -модуль в котором существуют два ненулевых подмодуля удовлетворяющие условиям:

(i) характеристичны в т. е. для всех

Тогда для любого существует неразложимый -модуль длина которого больше

Доказательство. Положим и обозначим через соответствующие координатные проекции и вложения, Пусть изоморфизм бимодулей, который по предположению существует. Положим для Очевидно, что является подмодулем в длина которого не превосходит в силу следствия 2.6. Обозначим через фактор-модуль Так как

ввиду условий то, еще раз применяя следствие 2.6, получаем, что Мы завершим доказательство применением леммы а, которая позволит установить неразложимость модуля Для того чтобы воспользоваться этой леммой, положим Так как модуль неразложим и конечно порожден, то алгебра В локальна. Ее артиновость вытекает из последней части следствия если принять во внимание артиновость алгебры А и тот факт, что выделяется в прямым слагаемым. Так как модули характеристичны в является гомоморфизмом бимодулей, то есть подмодуль в Таким образом, множество является подалгеброй в и -бимо-дулем. Нам удобно представлять элементы из матрицами, используя изоморфизм Ел определяемый соответствием где Положим для всех Ввиду локальности В

множество является идеалом в С. Кроме того, согласно предложению 5.2, имеем и идеал нильпотентен, скажем Следовательно, если то так что элементы нильпотентны. Остается показать, что при существуют такие что Если и то Таким образом, существуют обладающие свойством

Применяя к этому соотношению проекции получим

и

Учитывая, что согласно согласно из этих соотношений получаем

Отсюда следует, что при (рппх. Положим Тогда для для всех Так как то где для всех Это и дает требуемое равенство где

Теперь мы можем доказать нашу теорему. Предположим, что решетка не является дистрибутивной. Тогда, согласно замечанию, сделанному после предложения 2.2, в А существуют различные идеалы такие, что как -бимодули. Если имеется бесконечно много классов изоморфизма неразложимых -модулей, то по лемме 2.1а имеется и бесконечно много классов изоморфизма неразложимых -модулей. Поэтому можно предполагать, что Пусть разложение модуля в прямую сумму неразложимых модулей. Так как то существует такой главный неразложимый правый -модуль что Положим Очевидно, являются подмодулями в Если то по лемме 6.4 имеем для некоторого Таким образом, Аналогично, Следовательно, характеристичны в По условию имеется изоморфизм как -бимодулей, т. е. существует такой групповой изоморфизм что

для для Отсюда следует, что причем для имеем Таким образом, изоморфизм бимодулей.

Упражнения

(см. скан)

Замечания к гл. 6

Обычно при исследовании проективных модулей над артиновыми алгебрами используют идемпотенты. Мы не прибегали к этому методу в первых трех параграфах настоящей главы, однако ценность идемпотентов в теории алгебр достаточно продемонстрирована в заключительных параграфах.

Базисные алгебры были введены Несбиттом и Скоттом [60], причем они приписывают это понятие Брауэру. Определение приведенных алгебр впервые появилось в гл. 6 заметок Брауэра и Вайсса [20]. Там же рассматриваются базисные алгебры и устанавливается возможность представления алгебры в виде клеточной матричной алгебры как в упр. 2 к § 6.6. Теорема из § 6.7 принадлежит Джансу [50] (для конечномерных алгебр над полем) и Колби [23] (для артиновых алгебр). Наше доказательство построено на рассуждениях Диксона [27].