ГЛАВА 15. Циклические алгебры с делением

Первые примеры алгебр с делением, которые были обнаружены после открытия кватернионов, принадлежат классу циклических алгебр с делением. Этот класс алгебр по-прежнему играет главную роль в теории центральных простых алгебр. Если поле F локально либо является полем алгебраических чисел или, более общо, глобальным полем, то каждая центральная алгебра с делением над F циклична. Это утверждение (которое будет доказано ниже) является одним из самых глубоких результатов, изложенных в этой книге.

Эта глава преследует две цели. В первых двух параграфах собраны основные результаты о циклических алгебрах, которые будут необходимы в дальнейшем. Остальная часть главы посвящена детальной разработке теории циклических алгебр с делением. В частности, мы докажем теорему Веддербёрна о цикличности алгебр с делением степени 3. В заключительном параграфе содержится пример Алберта нециклической алгебры с делением степени 4.

§ 15.1. Циклические алгебры

Поле называется циклическим расширением поля если расширение Галуа и группа циклична.

Определение. Алгебра называется циклической, если существует строго максимальное подполе алгебры А, такое, что расширение циклично.

В частности, всякая циклическая алгебра является скрещенным произведением. Однако циклические алгебры — это весьма частный случай скрещенных произведений. Цель этого параграфа — приспособить результаты гл. 14 к циклическим алгебрам.

Предложение а. Пусть циклическое расширение, группа Галуа которого имеет порядок и образующую а. Если алгебра содержит в качестве строго

максимального подполя, то существует элемент и такой, что

Обратно, если А является алгеброй над определенной условиями то

Доказательство. Предположим, что строго максимальное подполе алгебры По теореме Нётер — Сколема существует элемент и такой, что для всех По индукции заключаем, что при В частности, Так как то ввиду леммы Следовательно, Чтобы получить обратное, следует проверить при помощи вычисления (упр. 1), что Положим где (поскольку коцикл нормализован), и (для удобства обозначений). Пусть тогда Следовательно, по индукции заключаем, что для Кроме того, Таким образом, алгебра, определенная условиями

Удобно упростить некоторые обозначения, связанные со скрещенными произведениями, для случая циклических алгебр. Мы будем писать вместо если Символы будут обозначать элемент группы удовлетворяющий таким условиям: для всех где порядок автоморфизма

Следующие три следствия предложения а являются переформулировкой результатов гл. 14. В этих утверждениях циклическое расширение степени

Следствие a. (i) . В частности, .

(ii) Если причем взаимно просто с то

Поскольку утверждение (i) следует из теоремы 14.2. Утверждение (ii) очевидно, поскольку

Следствие Пусть -подполе содержащее такое, что Тогда циклическое расширение с группой Галуа и

Доказательство. Это следствие является в сущности переформулировкой предложения 14.5, хотя и требуются некоторые рассуждения для установления связи между этими двумя утверждениями. Так как циклическая группа, то все ее подгруппы нормальны и факторгруппы цикличны. Если то где образующая имеет порядок Определим так же, как и в предложении для для Таким образом, В силу предложения где для Для того чтобы получить явную формулу для представим в следующем виде: где Ясно, что

Доказательство следствия будет завершено, если показать, что отображения и принадлежат одному классу когомологий. Определим отображение с помощью правила если Вычисление показывает, что

Из (1) и (2) тогда следует, что

так что

Для циклических алгебр предложение принимает следующую форму.

Следствие с. Пусть подполя поля циклическое расширение. Тогда циклично и где Кроме того, циклическая алгебра и

Утверждение этого следствия непосредственно получается из предложения если с помощью ограничения автоморфизмов отождествить группы

Для конечного расширения полей обозначим через отображение нормы из Норму можно рассматривать как гомоморфизм группы Если расширение Галуа с группой то В циклическом случае гдел

Лемма. Пусть циклическое расширение степени с группой Галуа Если то в том и только том случае, когда В частности, тогда и только тогда, когда

Доказательство. Пусть элемент удовлетворяет условиям при всех Если при некотором с то исис

Это вычисление показывает, что если то Обратно, предположим, что -изоморфизм, где Как и в доказательстве леммы 14.2, можно предположить, что Тогда т. е. Последнее утверждение леммы вытекает из следствия а.

Предложение Пусть циклическое расширение с группой Галуа Тогда и изоморфизм задается отображением .

Доказательство. В силу предложения а и следствия а отображение является сюръективньш гомоморфизмом По предыдущей лемме группа есть ядро этого гомоморфизма.

Доказанное предложение имеет множество применений. Вот одно из них; два других приведены в упр. 4 и 5.

Следствие Если циклическое расширение степени и если порядок по модулю есть то — алгебра с делением.

Доказательство. В силу предложений 13.4Ь и 14.4b . Следовательно, — алгебра с делением.

Упражнения

(см. скан)