§ 8.4. Подколчаны

В этом параграфе мы немного продвинемся в доказательстве теоремы 8.2. Наша первая цель — показать, что если диаграмма колчана не является несвязным объединением диаграмм Дынкина то имеет бесконечный тип; затем будет установлено обратное утверждение.

Начнем с одного наблюдения, которое будет использоваться несколько раз.

Лемма а. Пусть —колчан. Предположим, что существует такое натуральное что имеется бесконечно много классов изоморфизма представлений со свойством колчан бесконечного типа

Доказательство. Если то В частности, если то Таким образом, если число классов изоморфизма неразложимых представлений колчана конечно, то конечно и общее число классов изоморфизма всех представлений таких, что

Пусть некоторый колчан. Подколчаном в называется такой колчан что и Для

любого подмножества существует наибольший подколчан которого множество вершин совпадает с V, а именно Этот максимальный подколчан называется полным подколчаном на множестве вершин V и обозначается через

Если и колчаны с непересекающимися множествами вершин, то объединение является колчаном, который называется несвязным объединением колчанов Очевидно, что Колчан называется связным, если его нельзя представить в виде несвязного объединения непустых колчанов. Таким образом, связен в том и только том случае, если из того, что вытекает существование таких вершин что либо либо

Если и I — вершины колчана то будем писать в том и только том случае, когда либо либо в диаграмме графа существует путь (состоящий из ребер), соединяющий и Легко видеть, что является слабейшим отношением эквивалентности на V, содержащим Если различные классы эквивалентности относительно то разложение является однозначно определенным представлением в виде несвязного объединения связных подколчанов. В частности, колчан связен тогда и только тогда, когда любую пару его вершин можно соединить путем в диаграмме графа

Пусть подколчан в Тогда можно определить ограничение любого представления колчана на положив для для другой стороны, если то можно определить продолжение представления на условиями для для Для для Очевидно, что Отображения объектов продолжаются до функторов между если положить для для для Легко видеть, что два объекта из изоморфны в том и только том случае, если их продолжения на изоморфны. Кроме того, представление неразложимо в том и только том случае, если его продолжение неразложимо.

Лемма Пусть некоторый колчан. Тогда имеют место следующие утверждения:

(i) если некоторый подколчан имеет бесконечный тип, то и имеет бесконечный тип;

(ii) если то имеет конечныйтип тогда и только тогда, когда оба колчана имеют конечный тип.

Доказательство. Обозначим через отображения ограничения представлений на соответственно. Пусть также отображения продолжения представлений на Если то Следовательно, неразложимые объекты в являются продолжениями неразложимых объектов из Отсюда следует, что если имеют конечный тип, то этим же свойством обладает и Остальные утверждения леммы вытекают из ранее сделанных замечаний.

Согласно второй части леммы мы можем ограничиться изучением типов связных колчанов. Первая часть леммы приводит к еще более интересному результату. Напомним, что колчан называется петлей, если и циклом, если он либо является петлей, либо связным колчаном, каждая вершина которого принадлежит в точности двум ребрам. При подходящей индексации вершин цикл выглядит следующим образом: где есть либо либо при и или Неориентированная диаграмма цикла имеет вид

Лемма с. Любой цикл есть колчан бесконечного типа.

Доказательство. Пусть цикл, у которого как описано выше. Положим для Для каждого определим систему условиям для Если изоморфизмом, то из условий перестановочности для вытекает, что и

откуда Это доказывает, что только

в том случае, когда Ввиду бесконечности поля F из леммы а вытекает, что имеет бесконечный тип.

Колчан называется ацикличным, если в нем нет подколчанов-wиклов. Леммы и с приводят к основному результату этого параграфа.

Предложение. Любой колчан конечного типа ацикличен.

Упражнение

(см. скан)