Для краткости величину 
мы будем называть просто индексом — имя Шура и без того прославлено (например, выражением «лемма Шура») 
В этом параграфе мы воспользуемся результатами о полях разложения для доказательства некоторых важных фактов об индексе.
Лемма. Пусть 
Если 
конечное расширение, расщепляющее А, то 
делит 
Обратно, алгебра А содержит подполе 
являющееся ее полем разложения и такое, что 
Доказательство. Если 
расщепляет алгебру 
то по теореме 13.3 существует алгебра 
содержащая 
в качестве строго максимального подполя и такая, что 
Если 
где 
алгебра с делением, то 
Для доказательства обратного утверждения представим алгебру 
в виде 
где 
-алгебра с делением и 
при некотором 
Согласно следствию 
максимальное подполе 
алгебры 
является строго максимальным. Это означает, что 
Ввиду теоремы 13.3 произвольное максимальное подполе алгебры 
есть поле разложения алгебры 
Предложение. Пусть 
конечное расширение.
(ii) 
делит 
и 
в том и только том случае, когда А — алгебра с делением.
(iii) 
расщепляет А}.
(iv) 
делит 
.
(v) 
делит 
.
(vi) Если 
взаимно прост с 
то 
в этом случае, если А — алгебра с делением, то такова же и алгебра А.
(vii) 
делит 
.
(viii) Если то 
делит 
где 
тензорное произведение 
экземпляров алгебры А.
Доказательство. Утверждения 
простые следствия определений индекса и степени. Формула 
очевид
ное следствие предыдущей леммы. При доказательстве остальных утверждений можно считать, что 
алгебры с делением. Свойства 
вытекают тогда из 
Чтобы доказать 
рассмотрим расширение 
такое, что К — поле разложения алгебры 
Ясно, что К является полем разложения алгебры А, так что 
делит 
Из утверждений 
тогда непосредственно вытекает 
Для доказательства 
рассмотрим расширение 
такое, что К расщепляет 
В группе Брауэра поля К имеет место соотношение 
В силу леммы 
делит 
В качестве приложения докажем полезный вариант следствия 13.3.
Следствие. Предположим, что 
-алгебра с делением и 
такое расширение, что 
— простой делитель 
Тогда следующие свойства эквивалентны.
(i) К изоморфно подполю алгебры D
(ii) 
не является алгеброй с делением,
Доказательство. Для доказательства импликации 
можно считать, что К — подполе алгебры 
Пусть 
максимальное подполе 
содержащее 
По теореме 
поле разложения алгебры 
поэтому 
расщепляет также и 
Ввиду доказанной выше леммы и предложения 13.1 получаем 
так что в силу утверждения (ii) предыдущего предложения 
не является алгеброй с делением. Обратно, если 
не является алгеброй с делением, то 
В этом случае из утверждений 
того же предложения и предположения 
простое число» следует, что 
Наконец, в силу леммы существует расширение 
такое, что 
расщепляет 
и 
Таким образом, 
расщепляет алгебру 
и утверждение (iii) влечет за собой 
В силу следствия 13.3 поле 
изоморфно подполю алгебры 
поэтому этим свойством обладает и 
Упражнения
(см. скан)
такая, что 
причем 
однозначно определена с точностью до изоморфизма. Явным образом алгебра 
определяется условиями: 
для подходящего 
алгебра с делением. Индекс Шура алгебры А есть число
