§ 19.8. Поля рядов Лорана

Этот параграф закладывает основу доказательства главного результата следующего параграфа. Материал, который мы излагаем здесь, интересен сам по себе, однако мы обсуждаем его

кратко. В упр. 4 приведен один результат об алгебрах с делением над полями рядов Лорана.

Если поле, то алгебра рядов Лорана построенная с помощью тождественного автоморфизма, является полем. Ясно, что над полем F алгебра имеет несчетную размерность. Следовательно, степень трансцендентности алгебры над F также несчетна. Дискретное нормирование поля определенное в § 19.7, является основным инструментом его изучения. Мы будем обозначать это нормирование через Так как единственное нормирование поля которое мы будем использовать, то нет необходимости его всякий раз указывать.

Нас будут интересовать конечные расширения полей рядов Лорана. Мы будем использовать некоторые результаты гл. 17. В частности, будем считать известным, что нормирование поля имеет единственное продолжение на любое конечное расширение К поля и что К полно относительно продолженного нормирования. Это утверждение было доказано только для локальных полей. Доказательство основывалось на лемме В случае если предположение о компактности заменяется предположением о полноте, необходим другой подход. В упр. 2 содержится набросок доказательства необходимого нам обобщения предложения 17.6.

В дальнейшем удобно иметь внутреннюю характеристику полей рядов Лорана.

Лемма а. Пусть К — поле, полное относительно топологии дискретного нормирования Если такое его подполе, что ограничение тривиально, и если элемент таков, что то алгебраическое замыкание поля в К алгебраически и топологически изоморфно полю

Доказательство. Поскольку нормирование и тривиально на поле то из леммы 17.7а следует, что элемент не является алгебраическим над полем Тогда утверждение о том, что алгебры конечных рядов Лорана от изометрически изоморфны, если совпадает с является легким следствием из принципа доминирования. Лемма тогда вытекает из следствия 17.4а.

Эта лемма служит оправданием введения обозначения для поля, полного относительно дискретного нормирования если униформизующая и ограничение тривиально. Элементы поля являются рядами Лорана сходящимися в -топологий.

До сих пор мы избегали разветвленных расширений полей с нормированием. Далее невозможно откладывать их

рассмотрение. Однако нам потребуются лишь слабо и вполне разветвленные расширения.

Лемма Пусть К — поле, полное в топологии дискретного нормирования Пусть замкнутое подполе поля К, такое, что расширение конечно и характеристика поля вычетов не делит натурального числа Отображение перехода от элементов к их вычетам в будем обозначать через Справедливы следующие утверждения:

(i) Если для некоторого то существует элемент такой, что

Предположим, что вполне разветвленное расширение, униформизующая поля F и множество отображается при переходе к вычетам на множество Тогда существуют элементы такие, что

Доказательство. Пусть Поскольку характеристика поля не делит индекса то полином взаимно прост со своей производной Поскольку 1 является корнем полинома по модулю то утверждение (i) вытекает из леммы Гензеля. Для доказательства утверждения (ii) обозначим через униформизующую поля К. Если то поскольку Следовательно, существует элемент с X, такой, что Так как для элемента то из утверждения (i) следует, что для некоторого элемента такого, что Если то поскольку Следовательно, в силу леммы и обобщенного варианта леммы (см. упр. 2(a)).

Из леммы мы выведем следствие, которое будет использовано в § 20.8. Хотя этот результат никак не связан с полями рядов Лорана, это самое подходящее место, чтобы его отметить.

Следствие. Если расширение вполне разветвлено и является расширением Галуа степени а число не делит то делит

Доказательство. Продолжение нормирования на поле К будем обозначать через По лемме где Полином неприводим в кольце поскольку Поэтому все корни этого полинома принадлежат полю К. Отсюда следует, что примитивный корень степени из 1 лежит в Заметим, что поскольку

так что для всех Из стандартного тождества следует, что Отсюда при элемент имеет порядок в группе В частности, число делит

Предложение а. Пусть К — конечное расширение поля причем его характеристика не делит степени Положим Тогда имеют место следующие утверждения:

(i) существует конечное расширение такое, что отображение перехода к вычетам является изоморфизмом между полями расширение неразветвлено, а расширение вполне разветвлено;

(ii) , где минимальный полином элемента над полем имеет вид где

Доказательство. Отождествим поле Степень расширения не делится на так что это расширение сепарабельно. Следовательно, при некотором Минимальный полином элемента х над полем F неприводим, имеет степень Поскольку, кроме того, то из леммы Гензеля следует, что элемент х можно считать вычетом элемента такого, что Пусть По построению отображение изоморфизм полей Так как конечное расширение, то в силу леммы 17.7а ограничение тривиально. По лемме а замыкание поля является полем рядов Лорана Следовательно, расширение неразветвлено, вполне разветвлено. В силу леммы где корень полинома Этот полином неприводим, так как Таким образом, Кроме того, если то Следовательно,

Мы обобщим этот результат на поля, которые получаются с помощью итерации конструкции рядов Лорана. Для этого нам необходима еще «одна лемма.

Лемма с. Предположим, что алгебраически замкнутое поле характеристики нуль. Положим Если

то каждый элемент из имеет вид где для

Доказательство. Положим если По индукции можно считать, что лемма справедлива для поля Это так, если поскольку поле F алгебраически замкнуто. Так как то каждый элемент из можно записать в виде где В силу предположения индукции где согласно лемме Для некоторого Следовательно, где

Предложение Пусть алгебраически замкнутое поле характеристики нуль. Положим Если расширение степени то где элементы удовлетворяют соотношению

и числа таковы, что при

Доказательство. Если то где расширение конечно, в силу предложения а. Поскольку поле алгебраически замкнуто, то элемент удовлетворяет равенству (1) и Предположим, что наше утверждение справедливо для где Положим так что Из предложения а вытекает существование такого конечного расширения степени и такого элемента что Мы можем считать в силу предположения индукции, что элементы удовлетворяют соотношениям (1) для всех По лемме с где при Остается положить

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)