§ 11.7. Расщепляющиеся расширения алгебр

Теорему Веддербёрна можно рассматривать как результат о расширениях алгебр. В этом параграфе мы введем расщепляющиеся расширения и сформулируем теорему 11.6 как утверждение о таких расширениях.

Определение. Пусть - некоторая -алгебра. Мультипликативным -бимодулем называется -бимодуль на котором определено -билинейное ассоциативное умножение причем

При этом не предполагается, что мультипликативный Л-би-модуль обладает единичным элементом относительно умножения, так что не обязан быть алгеброй в смысле определения 1.1. Тем не менее для мультипликативных бимодулей можно использовать терминологию теории алгебр. В частности, будем называть мультипликативный -бимодуль -нильпотентным если т. е. для любой последовательности элементов из Гомоморфизмом из, мультипликативного -бимодуля в мультипликативный -бимодуль называется такой гомоморфизм бимодулей что для всех Если к тому же биективен, то он называется изоморфизмом.

Из соотношения (1) и бимодульных тождеств для вытекает, что умножение (и, в мультипликативном -бимодуле индуцирует гомоморфизм удовлетворяющий условию ассоциативности

для всех из Обратно, любой гомоморфизм удовлетворяющий (2), задает на -бимодуле мультипликативную структуру. В частности, нулевое отображение задает на -нильпотентную мультипликативную структуру.

Существует еще один источник мультипликативных -бимо-дулей. Пусть В — некоторая -алгебра, ее подалгебра и ее идеал. Произведение в В наделяет структурой -бимо-дуля и умножением превращающим в мультипликативный -бимодуль. Как показывает следующий результат, этот пример универсален.

Лемма а. Пусть мультипликативный -бимодуль. Положим равным как R-модуль и определим в нем умножение формулой ( для Тогда выполняются следующие утверждения:

(i) является R-алгеброй с единичным элементом (0,1);

(ii) является подалгеброй в а отображение осуществляет изоморфизм между А и

(iii) является идеалом в причем отображение осуществляет изоморфизм между мультипликативными -бимодулями

Утверждения проверяются путем стандартных вычислений. Более интересен обратный результат.

Лемма Пусть В — некоторая R-алгебра, подалгебра, идеал в В, связанные соотношением как R-модули. Тогда является мультипликативным -бимодулем относительно операций, индуцируемых с В, причем В лак R-алгебры.

Доказательство. Тот факт, что является мультипликативным -бимодулем, есть частный случай сделанных ранее замечаний. Отображение осуществляет изоморфизм между -модулями поскольку Кроме того, так что является изоморфизмом -алгебр.

Если выполняются условия леммы то В называется расщепляющимся расширением при помощи Терминология и обозначение объясняются аналогией с расщепляющимися расширениями групп. Следует, однако, сделать одно предупреждение. Прямая сумма двух -алгебр обычно не является примером расщепляющегося расширения, ибо не является подалгеброй в так как если (см. упр. 4 и 5).

Основной результат этого параграфа является в сущности переформулировкой (частного случая) основной теоремы Веддербёрна с использованием лемм

Предложение. Пусть В — конечномерная F-алгебра, такая, что алгебра сепарабельна. Тогда радикал является нильпотентным мультипликативным -бимодулем и Обратно, если А — полупростая F-алгебра, нильпотентный мультипликативный -бимодуль и то

Это предложение можно дополнить утверждением о единственности. Грубо говоря, утверждается, что в том и только том случае, если алгебры можно отождествить таким образом, что становятся изоморфными мультипликативными -бимодулями.

Следствие. Пусть сепарабельные F-алгебры, и пусть мультипликативные А- и -бимодули соответственно. Тогда если как F-алгебры, то существуют изоморфизм и изоморфизм такие, что

для всех Обратно, если изоморфизм F-алгебр и изоморфизм F-пространств, причем удовлетворяются условия (3), то

Доказательство. Пусть изоморфизм -алгебр. Тогда, согласно предыдущему предложению, По теореме для некоторого Определим равенством равенством Очевидно, что является изоморфизмом алгебр, изоморфизмом -пространств. Соотношения (3) получаются стандартными вычислениями. Для доказательства обратного утверждения определим равенством Прямое вычисление показывает, что является изоморфизмом -алгебр.

Упражнения

(см. скан)