§ 5.4. Теорема Крулля-Шмидта

В этом параграфе исследуется вопрос об однозначности разложения в прямую сумму. Основным результатом здесь является принадлежащее Адзумае обобщение классической теоремы

Крулля и Шмидта. В доказательстве используются две леммы, одна из которых содержит стандартный критерий расщепляемости точной последовательности, а вторая — техническое вычисление с матрицами.

Лемма а. Пусть точная последовательность -модулей. Тогда следующие условия эквивалентны.

(i) существует такой, что ;

(ii) существует такой, что При этом

Доказательство. При выполнении условия (i) имеем для всех и Таким образом, Кроме того, ибо Далее ввиду равенства и инъективности соотношение задает гомоморфизм из со свойством для всех Доказательство того, что (ii) влечет за собой проводится аналогично; мы оставляем его в качестве упр.

При выполнении условий этой леммы последовательность называется расщепляющейся точной последовательностью. Кроме того, при выполнении условия называется расщепляющимся сюръективным гомоморфизмом, а гомоморфизм при выполнении условия расщепляющимся инъективным гомоморфизмом.

Лемма b. Пусть -два разложения некоторого -модуля в прямую сумму. Предположим, что существует такой автоморфизм модуля с матрицей

что компонента является изоморфизмом. Тогда

Доказательство. Очевидно, что матрицы

задают автоморфизмы модуля Так как автоморфизм, то гомоморфизм, задаваемый матрицей

где также является автоморфизмом. Поэтому изоморфизм.

Предложение. Пусть А — некоторая R-алгебра. Предположим, что заданы разложения двух -модулей такие, что алгебры локальны для всех Если то и существует такая перестановка а, что для

Доказательство. Используем индукцию по начиная с т. е. При имеем так что что обеспечивает базу индукции. (Заметим, что по определению локальные алгебры нетривиальны, поэтому из локальности вытекает, что Предположим, что и что предложение справедливо для тех модулей, которые могут быть представлены в виде прямой суммы менее чем слагаемых с локальными алгебрами эндоморфизмов. Не теряя общности, можно предполагать, что ибо разложение модуля можно перенести на используя изоморфизм, который по предположению существует между Таким образом,

Пусть канонические проекции и вложения, ассоциированные с этими разложениями модуля Тогда Ввиду локальности алгебры из предложения 5.2 вытекает, что обратимый элемент в Ел для некоторого Для удобства обозначений упорядочим разложение таким образом, чтобы Далее, положим так что Из леммы а вытекает, что Однако ввиду локальности модуль неразложим (следствие поэтому является изоморфизмом. Положим так что пусть соответствующие канонические проекции и вложения. Матрица

соответствует композиции изоморфизмов (определенных формулами и поэтому определяет изоморфизм. Так как

также изоморфизм, то из леммы вытекает, что Предположение индукции, примененное к завершает доказательство.

Следствие а. Пусть правый -модуль, являющийся одновременно артиновым и нётеровым. Тогда где каждый модуль неразложим; такое разложение однозначно с точностью до изоморфизма.

Следствие а непосредственно вытекает из предложения этого параграфа, предложения 5.1 и следствия 5.3. Классическая теорема Крулля — Шмидта несколько обобщает утверждение этого следствия (на группы с операторами).

Следствие Пусть А — артинова справа R-алгебра. Тогда любой конечно порожденный -модуль единственным образом (с точностью до изоморфизма) разлагается в конечную прямую сумму неразложимых -модулей.

Этот результат получается из следствия а и следствия

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)