§ 5.5. Представления алгебр

Изучение модулей в весьма значительной степени стимулируется потребностями теории представлений групп. В этом параграфе мы хотим прояснить связи между представлениями алгебры и модулями над ней. При этом мы ограничимся алгебрами над полем, ибо именно с такой ситуацией приходится сталкиваться в большинстве приложений.

Определение. Матричным представлением -алгебры называется гомоморфизм 8 алгебры в алгебру всех -матриц с коэффициентами из поля

Натуральное число называется степенью 6 и обозначается через

Представление 6 алгебры называется точным, если В этом случае где В частности, бесконечномерная алгебра не может иметь точного представления (относительно обратного утверждения — см. следствие ниже).

При работе с представлениями очень удобно использовать понятия теории категорий. Первым шагом в этом направлении является введение подходящего определения морфизма

представлений. В его основе лежит идея, которая использовалась уже в ранних работах по теории представлений. Пусть представления алгебры степеней пит соответственно. Говорят, что -матрица а с коэффициентами из F сплетает представления если для всех Сплетающие матрицы играют роль морфизмов. По этой причине мы используем запись для обозначения того, что а сплетает Если матрицы, сплетающие соответствующие представления алгебры то для всех Таким образом, произведение матриц сплетает представления Это вычисление показывает, что в качестве композиции морфизмов в категории представлений алгебры можно принять умножения матриц в обратном порядке, т. е. Требование ассоциативности композиции выполняется автоматически. Наконец, ясно, что единичная матрица сплетает любое представление степени с самим собой и обладает стандартными свойствами тождественного морфизма. Это рассуждение показывает, что представления данной алгебры вместе со сплетающими матрицами образуют категорию. Здесь следует, однако, сделать одно предостережение. Не совсем правильно отождествлять морфизмы этой категории с матрицами. Их следует рассматривать как тройки ( где Одна и та же матрица может сплетать много различных пар представлений и при этом не сплетать ряд других. Тем не менее мы будем использовать сокращенное обозначение, не указывающее область определения морфизма и его образ.

Представления и алгебры называются эквивалентными, если они изоморфны в смысле теории категорий. Это означает, что существуют морфизмы а: в обе композиции которых являются тождественными морфизмами. Легко показать (используя, например, лемму 5.3), что представления и эквивалентны в том и только том случае, если и существует невырожденная квадратная матрица а, сплетающая и Другими словами, для всех Эквивалентность и обозначается так: Отношение очевидно, является отношением эквивалентности.

Пусть представление алгебры степени Используя его, определим -модуль следующим образом. Как -пространство есть Операция умножения на элементы из задается так:

(где справа стоит произведение матриц) для всех Стандартное вычисление показывает, что действительно является

правым -модулем. Из (1), очевидно, следует, что

Соответствие продолжается до функтора в категорию правых -модулей. Действительно, если то определим положив Очевидно, что является линейным отображением из причем т. е. Ясно, что раор. Таким образом, отображения определяют функтор из категории представлений алгебры А в категорию правых -модулей. Основные свойства этого функтора содержатся в следующем утверждении:

Предложение. Пусть и представления F-алгебры А. Тогда:

(i) если морфизмы удовлетворяют условию то ;

(ii) если то существует такой морфизм а: что ;

(iii) если такой правый -модуль, что то существует представление алгебры А со свойством

Доказательство. Если то для всех Ясно, что это может произойти лишь в том случае, когда Если то он, в частности, является линейным отображением векторных пространств строк. Таким образом, существует такая матрица а, что а для всех из Кроме того, является гомоморфизмом -модулей. Тогда для всех так что а сплетает По определению Для доказательства выберем базис модуля Определим отображение следующим условием (записанным в матричном виде):

где верхний индекс обозначает транспонирование матриц. Простое вычисление, основанное на равенстве (3), показывает, что для всех Таким образом, является представлением алгебры Определим отображение равенством где

ипап. Ясно, что является изоморфизмом -пространств, удовлетворяющим условию Если то согласно (3), ввиду того, что Следовательно, является изоморфизмом -модулей.

Следствие а. Пусть и представления алгебры А. Тогда в том и только том случае, если

Доказательство. Если сплетающая матрица невырожденна, то гомоморфизм обладает обратным Обратно, любой изоморфизм между и имеет вид где невырожденная сплетающая матрица.

Следствие Пусть А — некоторая F-алгебра размерности Тогда существует точное представление алгебры А степени

Доказательство. Согласно предыдущему предложению, существует такое представление алгебры что Тогда в силу (2).

Рассмотренные в настоящем параграфе свойства представлений алгебр имеют близкие аналоги для представлений групп. Если некоторая группа, поле, то F-представлением группы называется групповой гомоморфизм из где полная линейная группа, состоящая из всех невырожденных матриц размера с коэффициентами из поля Как и в случае алгебр, -представления группы образуют категорию, морфизмами которой являются тройки ( такие, что матрица а сплетает представления и т. е. для всех

Самое важное из того, что можно сказать о категории -представлений группы это то, что она изоморфна категории представлений групповой алгебры Действительно, согласно предложению 1.2, гомоморфизм группы обладает единственным продолжением до гомоморфизма групповой алгебры в Обратно, любой гомоморфизм групповой алгебры в при ограничении на дает гомоморфизм группы Таким образом, имеется естественное взаимно однозначное соответствие между -представ-лениями группы и представлениями групповой алгебры Это соответствие является изоморфизмом категорий, ибо матрица а сплетает -представления и группы тогда и

только тогда, когда она сплетает их продолжения на Короче говоря, -представления группы и представления групповой алгебры полностью взаимозаменяемы.

Упражнения

(см. скан)