§ 16.2. Вычисления

Явные вычисления характеристических полиномов, норм и следов в центральных простых алгебрах обычно затруднительны. В этом параграфе мы указываем несколько случаев, когда удается найти явные формулы.

Ввиду равенства норму можно вычислить, исходя из характеристического полинома. Однако иногда легче работать непосредственно с нормой. Сначала мы покажем, что характеристический полином можно рассматривать как норму.

Лемма а. Пусть представление F-алгебры А. Если где алгебра отождествлена с подалгеброй в то для всех В частности, если то

Доказательство. По определению для всех Следовательно,

Пусть конечное расширение; из леммы следует, что характеристический полином элемента над полем F есть Нам требуется несколько более общий вариант этого замечания.

Лемма Предположим, что расширение степени Пусть тогда унитарный полином степени в кольце

Доказательство. Пусть базис в Определим отображение по правилу (т. е. левое регулярное матричное представление алгебры относительно базиса Поскольку множество является также базисом над полем то, следовательно, является также базисом над полем то, следовательно,

Предложение Пусть Если К — подполе алгебры А, то существует такое натуральное число что для всех

Доказательство. Как было отмечено в следствии 13.1а, делит Пусть базис модуля Если базис в то множество является базисом в Пусть левое регулярное матричное представление алгебры относительно базиса т. е. для Поскольку то для Следовательно, левое регулярное матричное представление алгебры относительно базиса имеет вид тензорного матричного произведения: силу следствия 16.1а число делит С точностью до корня из единицы это есть последнее утверждение предложения. Если теперь заменить алгебру и поля соответственно на и то, согласно лемме а, мы имеем Так как унитарные полиномы от

то В частности, в силу

Следствие. Если алгебра с делением степени элемент, минимальный полином которого над полем F есть то где

В самом деле, подполе алгебры с делением Это же доказательство проходит и в случае, если предположение о том, что А — алгебра с делением, заменить на условие неприводимости минимального полинома элемента у. Действительно, это условие эквивалентно принадлежности элемента у подполю алгебры А.

В случае когда алгебра А является скрещенным произведением, можно получить явное расщепляющее представление алгебры А и, следовательно, формулу для нормы.

Предложение Пусть скрещенное произведение степени где для всех Тогда формула

определяет расщепляющее представление алгебры А. В частности, если алгебра циклическая и при для всех то

Доказательство. Если то является матрицей отображения относительно базиса алгебры Вычисление, доказывающее это утверждение, оставляется читателю в качестве упражнения (см. упр. 1).

Если алгебра кватернионов, то равенство (3) приобретает вид

Таким образом, приведенная норма алгебры кватернионов совпадает с нормой, введенной в § 1.6.

Предостережение: если то коэффициенты при степенях а в равенстве (3) для являются довольно сложными однородными полиномами от разных а и их сопряженных. Они не будут такими простыми выражениями, как Это обстоятельство проиллюстрировано в упр. 2.

Упражнения

(см. скан)