§ 4.4. Радикал артиновой алгебры
Для большинства колец проблема нахождения радикала является чем-то средним между трудным и невозможным. Однако для конечномерных алгебр над полем (или, более общо, для артиновых алгебр) она оказывается более доступной.
Предложение. Пусть А — артинова (слева или справа) алгебра. Тогда существует такое натуральное число 
что 
Доказательство. Цепочка 
является убывающей последовательностью двусторонних идеалов; поэтому из артиновости вытекает существование такого натурального числа 
что 
Если предположить, что идеал 
конечно порожден как 
-модуль, то из следствия 4.2 получаем, что 
Таким образом, если 
наряду со свойством артиновости обладает свойством нётеровости, то предложение доказывается простым применением леммы Накаямы. В действительности, как мы покажем в следующем параграфе, алгебра 
обязана быть нётеровой. Однако доказательство этого утверждения само использует существование 
для которого 
так что необходимо строить наши рассуждения исключительно на условии обрыва убывающих цепей (например) правых идеалов алгебры 
Предположим, что 
Это значит, что множество ненулевых правых идеалов 
алгебры 
таких, что 
содержит, в частности, 
Следовательно, найдется минимальный идеал 
с этим свойством. Так как 
то существует 
со свойством 
Очевидно, что 
является правым идеалом в 
содержащимся. в 
причем
Из минимальности 
тогда следует, что 
Следовательно, 
конечно порожден, и мы получаем противоречие с леммой Накаямы, ибо 
Следствие. Пусть А — артинова (слева или справа) алгебра, 
ее соответственно правый или левый идеал. Тогда следующие условия эквивалентны:
(ii) существует такое натуральное число 
что 
(iii) все элементы из 
нильпотентны.
Доказательство. Тот факт, что из (i) следует 
вытекает из предложения; импликация 
очевидна. Наконец, (i) вытекает из (iii) для произвольной алгебры согласно следствию 
Из следствия вытекает, что каждый элемент радикала Джекобсона артиновой (справа или слева) алгебры нильпотентен. Обратное утверждение не имеет места — нильпотентные элементы не обязаны принадлежать радикалу. Например, при 
матричная алгебра 
некоторая алгебра с делением) имеет много нильпотентных элементов (ими являются, например, матричные единицы 
при 
но 
