§ 2.2. Решетка подмодулей

Для произвольного -модуля множество всех его подмодулей является частично упорядоченным по включению. Кроме того, если произвольное семейство подмодулей модуля то пересечение также является подмодулем. (Если то Очевидно, что это пересечение является наибольшим подмодулем модуля содержащимся во всех т. е. есть наибольшая нижняя грань семейства относительно упорядочения по включению. Семейство обладает также наименьшей верхней гранью в множестве подмодулей модуля В общем случае она не совпадает с теоретико-множественным объединением, а является подмодулем, порожденным этим объединением: В частности, наименьшая верхняя грань двух подмодулей модуля есть Произвольное частично упорядоченное множество, в котором все подмножества обладают наибольшими нижними и наименьшими верхними гранями, называется полной решеткой.

Суммируя сказанное выше, можно утверждать, что является полной решеткой.

Многие основные свойства модулей можно интерпретировать в терминах решеток подмодулей. § 2.4 доставляет характерный пример этого явления. Имеется несколько свойств решеток, которыми обладают любые решетки вида Наиболее важным среди них является

Свойство модулярности. Пусть такие подмодули модуля что Тогда

Доказательство, Очевидно, а из предположения о том, что вытекает включение Таким образом, С другой стороны, если и то до, где и до Тогда

Свойство модулярности (или просто модулярность) является довольно слабым условием на решетку. Некоторые из интересующих нас решеток подмодулей обладают более сильным свойством — дистрибутивностью.

Лемма. Пусть некоторый -модуль. Тогда следующие тождества соотношения, справедливые для всех в эквивалентны:

Доказательство. Применяя дважды получим

что и доказывает Аналогично, несколько раз применяя получим

Наконец, из (iii) и свойства модулярности следует, что

Решетка подмодулей называется дистрибутивной, если она удовлетворяет тождествам

Замечание. Включения

и

справедливы независимо от того, является решетка дистрибутивной или нет.

Предложение. Пусть такой -модуль, что решетка не является дистрибутивной. Тогда в существуют такие различные подмодули что фактормодули изоморфны.

Доказательство. Так как не является дистрибутивной, то существуют такие подмодули модуля что

Положим

В соответствии со свойством модулярности

В частности, так как Кроме того, симметричные вычисления дают равенства Используя теорему Нётер об изоморфизме, получаем

Аналогично, Таким образом,

Обозначим через множество всех идеалов -алгебры В § 2.1 было отмечено, что их можно трактовать как подмодули в рассматривая при этом как правый модуль над своей обертывающей алгеброй (см. § 10.1). Отсюда следует, что является полной модулярной решеткой. Кроме того, если не дистрибутивна, то в существуют такие различные идеалы что как -бимодули. Эти факты можно установить и непосредственно путем незначительных изменений в доказательствах этого параграфа.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)