§ 17.10. Группы Брауэра локальных полей

Теперь мы в состоянии объединить результаты предыдущих параграфов, чтобы получить полное описание групп Брауэра локальных полей.

Теорема. Пусть локальное поле с униформизующей а. Тогда отображение

где является изоморфизмом групп и

Напомним, что обозначает единственное подполе К сепарабельного алгебраического замыкания такое, что неразветвленное расширение степени автоморфизм Фробениуса расширения Наша теорема является комбинацией трех следующих утверждений.

(i) Для фиксированного числа отображение где является корректно определенным изоморфизмом между группами

Если то следующая диаграмма коммутативна (в ней горизонтальные отображения — отображения вложения):

Доказательство утверждений (i), (ii) и (iii) В силу следствия 15.1а отображение является гомоморфизмом группы в группу Ввиду предложений 17.9 и 15.lb этот гомоморфизм сюръективен и его ядро совпадает с группой Отсюда вытекает утверждение поскольку умножение на индуцирует изоморфизм группы в группу Коммутативность диаграммы из утверждения (ii) вытекает из следствия Утверждение о группе из (iii) очевидно.

Если алгебра с делением степени то в силу следствия 17.7а и предложения Таким образом,

Стоит определить еще один инвариант для алгебр из класса где локальное поле. Для положим

где изоморфизм групп и определенный в теореме. Если рассматривается лишь одно поле то мы будем писать вместо Ясно, что можно рассматривать как инвариант элементов группы Брауэра. В таком качестве он используется в локальной теории полей классов. Однако для наших целей удобнее рассматривать как инвариант центральных простых алгебр.

Следствие а. Пусть локальное поле; предположим, что Тогда имеют место следующие утверждения:

Доказательство. Утверждения следуют непосредственно из теоремы и следствия 15.1а. Для доказательства утверждения (iii) положим где и Следовательно, порядок элемента Порядок элемента по модулю группы также равен в силу предложения 17.9. Значит, в соответствии со следствием

Из утверждений следствия а вытекает один из основных фактов о центральных простых алгебрах над локальным полем.

Следствие Если локальное поле и то

Заключительное утверждение этой главы связывает инвариант с инвариантом для конечного расширения локальных полей Оно основано на результатах, полученных в § 14.7.

Предложение. Пусть конечное расширение степени где F-локальное поле. Тогда

Доказательство основано на диаграмме расширений полей.

Пусть В силу леммы Из следствия вытекает, что расширения содержащиеся в неразветвлены. Поэтому и степень взаимно проста с Так как то число делит Поэтому и расширение неразветвлено. Так как существует единственное неразветвленное расширение заданной степени, то Из предыдущего рассуждения следует, что

Автоморфизмы Фробениуса полей связаны соотношением

Кроме того, если а — униформизующая поля то элемент является униформизующей поля Воспользуемся предыдущими соотношениями для того, чтобы доказать коммутативность диаграммы

где отображение индуцировано вложением поля Ее коммутативность, очевидно, эквивалентна утверждению предложения. Если

В этом вычислении помимо соотношений (1), (2) и (3) использовано также следствие 5.1с.

Упражнения

(см. скан)

Замечания к гл. 17

В этой главе дано краткое введение в теорию нормирований, соответствующее традиционному изложению этого предмета. При этом мы ограничились вопросами, необходимыми для изучения алгебр с делением. Результаты этой главы закладывают основу для изучения алгебр с делением над числовыми полями, предмета нашего внимания в следующей главе.

Чтобы удержать наше изложение в разумных рамках, нам пришлось оставить в стороне некоторые весьма важные разделы теории нормирований. Читатель, желающий поглубже освоить этот предмет, может найти немало источников, которые не столь узко ориентированы. Наиболее полное изложение теории локальных полей дано в книге Серра [71]. Можно рекомендовать также книги Артина [7] и [8] и гл. 1, 2 и 6 книги [22]. В гл. 19 мы кратко рассмотрим поля, полные относительно некоторого дискретного нормирования, которые не являются локальными.