§ 8.5. Жесткие представления

Представление колчана называется жестким в вершине если для любого его автоморфизма отображение является скалярным кратным тождественного отображения. Например, если то представление является жестким в вершине Следующий результат показывает, как используется понятие жесткости для изучения типов представлений.

Лемма. Пусть представление колчана Предположим, что представление является жестким в вершине причем Определим колчан следующим образом: Тогда колчан бесконечного типа.

Доказательство. Для любого ненулевого гомоморфизма F-пространств определим представление колчана положив для для докажем следующую импликацию:

Ввиду бесконечности F и того факта, что из леммы 8.4а вытекает, что имеет бесконечный тип. Если - некоторый изоморфизм, то система задает автоморфизм Поскольку является

жестким в вершине то существует со свойством для всех и Отображение является автоморфизмом F-пространства F, и поэтому также для всех где Условие перестановочности тогда дает равенство

откуда , где

Во многих случаях жесткость представления в одной или нескольких вершинах может быть установлена путем элементарных вычислений. Мы проиллюстрируем это на четырех примерах возрастающей сложности. Во всех этих примерах пространства представления являются подпространствами одного и того же пространства гомоморфизмы являются отображениями вложения, а жесткость (во всех вершинах) устанавливается путем доказательства того факта, что из всех линейных преобразований 6 пространства лишь скалярные кратные тождественного преобразования обладают свойством Представления такого рода называются -представлениями колчана

Пример а. Пусть колчан с диаграммой вида

Определим представление колчана условиями все отображения являются гомоморфизмами вложения. Если то из условий перестановочности вытекает, что для Отсюда следует, что Если то так что т. е. Отсюда следует, что представление является жестким во всех вершинах.

Следствие а. Для любого колчан

имеет бесконечный тип.

Это утверждение вытекает из леммы ввиду того, что представление построенное в примере а, удовлетворяет условию

Пример Пусть диаграмма колчана имеет вид

Определим -представление колчана полагая Заметим, что Если ее то где Таким образом, для всех Ввиду того что множество является подрешеткой в любое подпространство принадлежащее подрешетке в порожденной обладает свойством В частности, Поэтому в F существуют такие элементы что из) с. Из этих условий вытекает, что является скалярным кратным отображения Таким образом, представление является жестким.

Следствие Колчан, диаграмма которого имеет вид

имеет бесконечный тип.

Пример с. Пусть колчан с диаграммой

Определим -представление при помощи подпространств Отметим, что как и требуется, и остальные необходимые включения очевидным образом выполняются. Кроме того, Если то где гомоморфизм удовлетворяет условиям для подходящих из Стандартные вычисления приводят к заключению о том, что так что представление является жестким.

Следствие с. Колчан с диаграммой вида

имеет бесконечный тип.

Пример Пусть колчан с диаграммой

Определим -представление колчана при помощи подпространств

Несложная проверка показывает, что требуемые включения действительно выполняются. Доказательство того, что любой имеет вид а для некоторого проводится по той же схеме, что и в примерах Рассуждения основываются на том факте, что отображает в себя следующие одномерные подпространства:

При этом также необходимо использовать инвариантность относительно двумерных подпространств Мы оставляет детали в качестве упражнения.

Интересен вопрос о происхождении этого странного примера. Решающую роль играет здесь выбор размерностей пространств Он, однако, оказывается вполне естественным с другой точки зрения, которую мы объясним позднее. Остальные моменты построения основываются, главным образом, на методе проб и ошибок с учетом некоторых общих соображений.

Следствие Колчан с диаграммой

имеет бесконечный тип.

Эти четыре примера рассмотрены здесь не случайно. Как мы покажем, они, вместе с предложением 8.4 и одним фактом, который будет установлен в § 8.7, позволяют доказать первую часть теоремы 8.2.

Предложение. Если колчан конечного типа, то он является несвязным объединением колчанов, неориентированные диаграммы которых есть диаграммы Дынкина типов

Доказательство. Необходимый нам результат из § 8.7 состоит в том, что тип колчана не зависит от ориентации. В частности, если колчан, неориентированная диаграмма которого совпадает с неориентированной диаграммой одного из колчанов из следствий с или то имеет бесконечный тип. Таким образом, из предположения о том, что имеет конечный тип, в силу леммы вытекает, что не имеет подколчанов с диаграммами, приведенными в следствиях Кроме того, согласно предложению ацикличен. Рассматривая отдельно связные компоненты, мы можем предполагать, что колчан связен. Из следствия 8.5а вытекает, что ни в одной вершине не может сходиться более трех ребер, причем имеется не более одной вершины, в которой сходятся три ребра. Следовательно, диаграмма имеет вид

Можно предполагать, что В силу следствия Если то диаграмма имеет тип где Предположим, что В силу следствия с Если то диаграмма имеет тип где Предположим, что Согласно следствию В этих трех случаях получаем, что диаграмма имеет тип где

Упражнение

(см. скан)