ГЛАВА 17. Алгебры с делением над локальными полями

В этой главе дано достаточно полное описание конечномерных алгебр с делением над полями, которые локально компактны в топологии, определяемой дискретным нормированием (т. е. локальными полями). Наиболее важное свойство этих алгебр состоит в том, что они содержат максимальные подполя, являющиеся неразветвленными расширениями их центров. Отсюда следует, что все такие алгебры цикличны. Кроме того, описание всех неразветвленных расширений локальных полей ведет к описанию их групп Брауэра; все они оказываются изоморфными группе

Теорию нормирований полей без значительных изменений можно распространить на алгебры с делением. В первой части настоящей главы дано изложение этого вопроса, не апеллирующее к другим источникам.

§ 17.1. Нормирования алгебр с делением

В этом параграфе даются основные определения теории нормирований. Основной результат связывает нормирования алгебры с делением с ее приведенной нормой

Определение. Нормирование алгебры с делением есть отображение такое, что

существует положительное вещественное число а, такое,

Если нормирование алгебры то ограничение является гомоморфизмом группы в мультипликативную группу положительных вещественных чисел. Обратно, если условие (3) выполнено, то гомоморфизм можно продолжить до нормирования, положив Например, гомоморфизм группы в группу приводит к нормированию такому, что для всех и Это нормирование называется тривиальным нормированием алгебры Остальные ее нормирования называются нетривиальными.

Ввиду однозначности извлечения корней в группе из равенства вытекает, что В частности, если корень из единицы, содержащийся в алгебре то Часто используются частные случаи этого замечания:

В силу условия (3) множество ограничено. Положим

Лемма а. Пусть нормирование алгебры с делением Тогда

где наименьшее целое число, превосходящее

В случае это неравенство доказывается простым рассуждением. Применение индукции позволяет распространить утверждение леммы на случай, когда степень числа 2. Общий случай получается из этого присоединением нулей к сумме

Если нормирование алгебры с делением то отображение определяемое правилом также является нормированием алгебры Кроме того, поскольку 1 тогда и только тогда, когда 1, то из определения (4) следует, что

Два нормирования алгебры с делением называются эквивалентными, если для некоторого числа Так как то понятие эквивалентности нормирований задает отношение эквивалентности на множестве нормирований алгебры

Лемма Пусть нормирование алгебры с делением Тогда имеют место следующие утверждения-.

(ii) Если то для всех нормирований эквивалентных нормированию

(iii) Если то существует единственное нормирование такое, что эквивалентно нормированию

Свойство (i) следует непосредственно из определения (4), поскольку свойства легко следуют из равенства (5).

Предложение. Пусть нормирование алгебры с делением Тогда в том и только том случае, если удовлетворяет неравенству треугольника: для всех Каждое нормирование алгебры эквивалентно нормированию, удовлетворяющему неравенству треугольника.

Доказательство. Если нормирование удовлетворяет неравенству треугольника, то для всех таких, что Следовательно, Обратно, если то из леммы а следует, что (поскольку Поэтому где есть сумма мономов Слагаемые суммы удовлетворяют равенствам так что Следовательно, Извлекая корни степени из обеих частей равенства и устремляя к бесконечности, получим неравенство треугольника, так как Последнее утверждение предложения вытекает из лёммы

Имеется одно очевидное свойство нормирований, которое заслуживает упоминания. Пусть нормирование алгебры с делением подалгебра алгебры которая также является алгеброй с делением. Тогда — нормирование алгебры А. Если алгебра конечномерна, то любая ее подалгебра является алгеброй с делением.

Теорема. Пусть алгебра с делением. Если нормирование алгебры то где нормирование поля определяемое формулой

Доказательство. Если для элемента Ввиду предложения Таким образом,

Утверждение, обратное этой теореме, неверно: если нормирование поля то отображение может не удовлетворять условию (3) (см. упр. 4 в § 17.2).

Упражнения

(см. скан)